編者小注：本專輯專為2022年上海高二數學選修一研發，供中等生及以上學生使用。題源主要來自于上海四校、八大、13名校、統考之試題，專練等。思路設計為選擇題、填空題、解答題各10道，每道題都包含詳細解析，難度從低到高，有難度層級，適合現在雙減形式下的備課要求。專題11曲線與方程重難點綜合專練（原卷版）一、單選題1．已知曲線：與曲線：恰好有兩個不同的公共點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．2．下面各對方程中，兩個方程表示同一曲線的是（）A．與 B．與C．與 D．與3．（2021·上海·高二期中）在棱長為1的正方體中，分別為的中點，點在正方體的表面上運動，且滿足，則下列說法正確的是（）A．點可以是棱的中點 B．線段的最大值為C．點的軌跡是正方形 D．點軌跡的長度為4．關于曲線，給出下列四個命題：①曲線關于軸對稱；②曲線關于直線對稱；③點（）可能在曲線上；④曲線圍成的面積小于；上述命題中，真命題的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2021·上海·閔行中學高二期末）若曲線上存在兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線的自公切線，下列方程的曲線有自公切線的是（）A． B．C． D．6．雙紐線最早于1694年被瑞士數學家雅各布·伯努利用來描述他所發現的曲線.在平面直角坐標系中,把到定點,距離之積等于（）的點的軌跡稱為雙紐線C.已知點是雙紐線C上一點,下列說法中正確的有（）①雙紐線C關于原點O中心對稱；②；③雙紐線C上滿足的點P有兩個；④的最大值為.A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③7．方程為的曲線，給出下列四個結論：①關于軸對稱；②關于坐標原點對稱；③關于軸對稱；④，；以上結論正確的個數是A．1 B．2 C．3 D．48．已知曲線（為常數），給出下列結論：①曲線為中心對稱圖形；②曲線為軸對稱圖形；③當時，若點在曲線上，則或；其中，正確結論是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③9．（2021·上海中學高二期中）已知正方體的棱長為1，點，分別為線段，上的動點，點在平面內，則的最小值是（）A． B． C． D．10．（2021·上海市西南位育中學高二期中）祖暅原理也稱祖氏原理，是我國數學家祖暅提出的一個求積的著名命題：“冪勢既同，則積不容異”，“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩個同高的立體，如在等高處截面積相等，則體積相等.由曲線圍成的圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積為，滿足的點組成的圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積為，則滿足以下哪個關系式（）A． B． C． D．二、填空題11．（2021·上海市新場中學高二期中）已知定點和曲線上的動點，則線段中點的軌跡方程是________12．曲線是平面內與兩個定點和的距離的積等于常數的點的軌.給出下列四個結論：①曲線過坐標原點；②曲線關于坐標原點對稱；③若點在曲線上，則；④若點在曲線上，則的面積.其中，所有正確的序號是______.13．曲線C為：到兩定點、距離乘積為常數16的動點P的軌跡.以下結論正確的個數為______.（1）曲線C一定經過原點（2）曲線C關于x軸對稱，但不關于y軸對稱（3）的面積不大于8（4）曲線C在一個面積為60的矩形范圍內.14．是橢圓上的動點，作軸，為垂足，則中點的軌跡方程為_________．15．（2021·上海奉賢區致遠高級中學高二期末）數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個結論：①曲線C恰好經過6個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區域的面積小于3；其中，所有正確結論的序號是________．16．直線上有動點，為坐標原點，等腰直角，，動點的軌跡方程為______．17．（2021·上海浦東新·高二期中）關于曲線，則以下結論正確的序號是____________．①曲線關于原點對稱；②曲線中；③曲線不是封閉圖形，且它與圓無公共點；④曲線與曲線有4個交點，這4點構成正方形．18．（2021·上海市復興高級中學高二階段測）如圖，在棱長為2的正方體中，點為平面上一動點，且滿足，則滿足條件的所有點圍成的平面區域的面積為___________.19．（2021·上海徐匯·高二期末）已知函數與的圖像相交于點，兩點，若動點滿足，則點的軌跡方程是______.20．在三棱錐中，，，，點在側面上，且到直線的距離為，則的取值范圍是__________．三、解答題21．（2021·上海市延安中學高二期末）已知拋物線，F是它的焦點，P是拋物線上的動點.（1）若P的縱坐標為，求；（2）求線段的中點Q的軌跡方程.22．已知定點，和曲線上的動點C.（1）求線段AB的垂直平分線的方程：（2）若點G是的重心，求動點G的軌跡方程.23．（2021·上海市大同中學高二開學考試）已知曲線，點是曲線上的動點，是坐標原點．（1）已知定點，動點滿足，求動點的軌跡方程；（2）如圖，設點為曲線與軸的正半軸交點，將點繞原點逆時針旋轉得到點，點在曲線上運動，若，求的最大值．24．（2021·上海市復興高級中學高二期末）設為拋物線的焦點，過點的直線與拋物線相交于、兩點.（1）若，求此時直線的方程；（2）若與直線垂直的直線過點，且與拋物線相交于點、，設線段、的中點分別為、，如圖，求證：直線過定點；（3）設拋物線上的點、在其準線上的射影分別為、，若△的面積是△的面積的兩倍，如圖，求線段中點的軌跡方程.25．（2021·上海市松江二中高二期末）已知拋物線上一點到焦點的距離為4，動直線交拋物線于坐標原點O和點A，交拋物線的準線于點B，若動點P滿足，動點P的軌跡C的方程為.（1）求拋物線的標準方程；（2）求動點P的軌跡方程；（3）以下給出曲線C的四個方面的性質，請分別進行研究，并寫出簡要的理由：①對稱性；②范圍：③漸近線；④時，寫出由確定的函數的單調區間.26．（2021·上海市莘莊中學高二期末）已知兩點，過動點P作x軸的垂線，垂足為H，且滿足，其中．（1）求動點的軌跡C的方程，并討論C的軌跡形狀；（2）過點且斜率為1的直線交曲線C于兩點，若中點橫坐標為，求實數的值.27．（2021·上海中學高二期中）如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是線段AB、CD的中點，，，將沿DM翻折，在翻折過程中A點記為P點．（1）從翻折至的過程中，求點P運動的軌跡長度；（2）翻折過程中，二面角P?BC?D的平面角為θ，求的最大值.28．已知復數滿足：（），且在復平面上的對應點的軌跡經過點.（1）求的軌跡；（2）若過點，傾斜角為的直線交軌跡于、兩點，求的面積.29．已知定點，動點在軸上運動，過點作直線交軸于點，延長至點，使．點的軌跡是曲線．（1）求曲線的方程；（2）若，是曲線上的兩個動點，滿