高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省四校2024-2025學年高一上學期10月聯考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，則，.故選：D.2.如圖，已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合的子集個數為（）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】D【解析】由題意得，故圖中陰影部分表示的集合為，所以圖中陰影部分表示的集合的子集個數為個.故選：D.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，可得或；由可得且，所以由不能推出，但由能推出，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知，那么的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由可得，所以.故選：A.5.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】命題“”的否定是“”.故選：B.6.若命題“，”為真命題，則實數a可取的最小整數值是（）A. B.0 C.1 D.3【答案】A【解析】因為，即，又因為，當且僅當時，等號成立，若，，即，所以實數a可取的最小整數值是.故選：A.7.已知關于不等式的解集為，則（）A.B.點在第二象限C.的最大值為D.關于不等式的解集為【答案】D【解析】原不等式等價于，因為解集為，所以和分別是和的實數根，故且，，故A錯誤；因為，，所以點在第三象限，故B錯誤；，由于開口向下，故最大值為，故C錯誤，由得即解集為，故D正確．故選：D．8.若數集具有性質：對任意的與中至少有一個屬于A，則稱集合A為“權集”，則（）A.“權集”中一定有1 B.為“權集”C.為“權集” D.為“權集”【答案】B【解析】因為，，都屬于數集，是“權集”，所以“權集”中不一定有1，所以A錯誤；因為都屬于數集，為“權集”，所以B正確；因為與均不屬于數集，不為“權集”，所以C錯誤；因為與均不屬于數集，不為“權集”，所以D錯誤.故選：B.二、多選題：本題3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分．9.中國古代重要的數學著作《孫子算經》下卷有題：“今有物，不知其數．三三數之，剩二．五五數之，剩三；七七數之，剩二．問：物幾何？”現有如下表示：已知，，若，則下列選項中符合題意的整數為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】對A，，滿足的描述，所以，符合；對B，，不滿足的描述，則，不符合；對C，，滿足的描述，，符合；對D，，不滿足的描述，則，不符合.故選：AC.10.根據不等式的有關知識，下列日常生活中的說法正確的是（）A.自來水管的橫截面制成圓形而不是正方形，原因是：圓的面積大于與它具有相同周長的正方形的面積.B.購買同一種物品，可以用兩種不同的策略.第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數量一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數一定.用第一種方式購買比較經濟.C.某工廠第一年的產量為，第二年的增長率為，第三年的增長率為，則這兩年的平均增長率等于.D.金店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店內購買20g黃金，店員先將10g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中，使天平平衡；再將10g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中，使得天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．記顧客實際購得的黃金為，則.【答案】AD【解析】對于選項A：設周長為，則圓的面積為，正方形的面積為，因為，可得，即，故A正確；對于選項B：按第一種策略購物，設第一次購物時的價格為元/kg，購，第二次購物時的價格為元/kg，購，兩次購物的平均價格為；若按第二種策略購物，第一次花m元錢，能購物品，第二次仍花m元錢，能購物品，兩次購物的平均價格為.比較兩次購的平均價格：，當且僅當時，等號成立，所以第一種策略的平均價格不低于第二種策略的平均價格，因而用第二種策略比較經濟，故B錯誤；對于選項C：設這兩年的平均增長率為，則，可得，因為，即，當且僅當，即時，等號成立，即這兩年的平均增長率不大于，故C錯誤；對于選項D：設天平左臂長為，右臂長為，且，左盤放的黃金為克，右盤放的黃金為克，，解得，，當且僅當時，取到等號，由于，所以，故D正確.故選：AD.11.若正實數滿足，則下列說法正確的是（）A.有最大值為 B.有最小值為C.有最小值為 D.有最大值為【答案】ABC【解析】對于A：因為，則，當且僅當，即時取等號，故A正確；對于B，，當且僅當，即時取等號，故B正確；對于C：因為，則，當且僅當，即時取等號，故C正確；對于D：因為，當且僅當，即，時取等號，這與均為正實數矛盾，故D錯誤.故選：ABC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某學校舉辦秋季運動會時，高一某班共有名同學參加比賽，有人參加游泳比賽，有人參加田賽，有人參加徑賽，同時參加游泳比賽和田賽的有人，同時參加游泳比賽和徑賽的有人，沒有人同時參加三項比賽，借助文氏圖（Venndiagram），可知同時參加田賽和徑賽的有________人．【答案】【解析】設同時參加田賽和徑賽的學生人數為，如下圖所示：由韋恩圖可的，解得.因此，同時參加田賽和徑賽的有人.13.甲、乙兩地相距1000千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成．可變部分與速度（千米/時）的平方成正比，比例系數為2，固定部分為5000元．為使全程運輸成本最小，汽車的速度是________千米/時．【答案】50【解析】設汽車速度為千米/時，運輸成本為，∴當且僅當，即時，運輸成本最小．14.若一個三角形的三邊長分別為，記，則此三角形面積，這是著名的海倫公式.已知的周長為，則的面積的最大值為___________.【答案】【解析】由題意，由，則時取等，則.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.用籬笆在一塊靠墻的空地圍一個面積為的等腰梯形菜園，如圖所示，用墻的一部分做下底，用籬笆做兩腰及上底，且腰與墻成，當等腰梯形的腰長為多少時，所用籬笆的長度最小？并求出所用籬笆長度的最小值．解：設，上底，分別過點作下底的垂線，垂足分別為，則，，則下底，該等腰梯形的面積，所以，則，所用籬笆長為，當且僅當，即，時取等號．所以，當等腰梯形的腰長為時，所用籬笆長度最小，其最小值為．16.已知集合，集合．（1）若，求；（2）設命題；命題，若命題是命題的必要不充分條件，求實數的取值范圍.解：（1）由題意可知，若故，或．（2）命題是命題的必要不充分條件，集合是集合的真子集，當時，，解得，當時，（等號不能同時成立），解得，綜上所述，實數的取值范圍為.17.如圖，為梯形，其中，，設O為對角線的交點.表示平行于兩底且與它們等距離的線段（即梯形的中位線），表示平行于兩底且使梯形與梯形相似的線段，表示平行于兩底且過點O的線段，表示平行于兩底且將梯形分為面積相等的兩個梯形的線段.試研究線段，，，與代數式，，，之間的關系，并據此推測它們之間的一個大小關系.你能用基本不等式證明所得到的猜測嗎？解：因為是梯形的中位線，所以；因為梯形與梯形相似，所以，所以；因為，所以，所以，所以，所以，設梯形，的面積分別為，高分別為，則，，所以，所以，所以；由圖可知，，即；證明：顯然，，因為，所以，所以，所以.18.已知二次函數（1）若的解集為，解關于的不等式；（2）若且，求的最小值；（3）若，且對任意，不等式恒成立，求的最小值．解：（1）由已知的解集為，且，所以是方程的解，所以，，所以，，所以不等式可化為，所以，故不等式解集為.（2）因為，所以，因為，所以，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，即當且僅當，時等號成立，所以的最小值為.（3）因為對任意，不等式恒成立，所以，，所以，，，令，則，，所以，當且僅當，時等號成立，即當且僅當，時等號成立，所以的最小值為.19.已知集合非空數集，定義：，（實數a，b可以相同）（1）若集合，直接寫出集合S、T；（2）若集合，，且，求證：；（3）若集合，，記為集合中元素的個數，求的最大值．解：（1）因為集合，，，所以由，可得，，可得．（2）由于集合，，則T集合的元素在0，，，，，，中，且，，而，故中最大元素必在中，而為7個元素中