第二章

三角形2.2第2課時真、假命題與定理下列命題哪些正確？哪些錯誤？

（1），（2）（3）是錯的，（4）是正確的.

（1）每一個月都有31天；（2）如果a是有理數，那么a是整數.（3）同位角相等；

（4）同角的補角相等.

我們把正確的命題稱為真命題

把錯誤的命題稱為假命題判斷下列命題是真命題還是假命題(1)相等的角是對頂角(2)內錯角相等(3)大于90度的角是平角(4)如果a>b，b>c，那么a>c真命題假命題假命題假命題例題講解1、同旁內角互補，兩直線平行.2、如果兩個角都是直角，那么這兩個角相等.逆命題：兩直線平行，同旁內角互補.真逆命題：如果兩個角相等，那么這兩個角是直角.假3、如果一個整數的個位數字是5，那么這個整數能被5整除.逆命題：如果一個整數能被5整除，那么這個整數的個位數字是5.假說出下列命題的逆命題，并判斷其逆命題是真命題還是假命題.

像此例那樣，從一個命題的條件出發，通過講道理(推理)，得出它的結論成立，從而判斷該命題為真，這個過程叫作證明.（1）如果a是整數，那么a是有理數；解

如果a是整數，根據有理數的定義：“整數和分數統稱為有理數”，得出a是實數.因此命題(1)為真．

像此例那樣，找出一個例子，它符合命題的條件，但它不滿足命題的結論，從而判斷這個命題為假，這個過程叫作舉反例.（2）如果a是有理數，那么a是整數解

0.5是有理數，因此命題(2)為假．但是0.5不是整數.判斷下列命題為真命題是根據什么呢？說一說是分別根據有理數、等腰（等邊）三角形的定義作出的判斷．（1）如果a是整數，那么a是有理數；（2）如果三角形ABCD是等邊三角形，那么它是等腰三角形．

從上面的例子看到，在判斷一個命題是否為真命題時常常要利用一些概念的定義，但是光用定義只能判斷一些很簡單的命題是否為真.

對于絕大多數命題的真假的判斷，光用定義是遠遠不夠的，那么除了根據定義外，還能根據什么來推理，去判斷命題的真假呢？數學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據，這樣的真命題叫做基本事實。有些命題可以從公理或其他真命題出發，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據，這樣的真命題叫做定理。

古希臘數學家歐幾里得(Euclid，約公元前330—前275)對他那個時代的數學知識作了系統化的總結，他挑選出一些人們在長期實踐中總結出來的公認的真命題，作為證明的原始依據，稱這些真命題為公理.

歐幾里得結論小知識

歐幾里得按照這種方法(現在稱為公理化方法)編寫了一本書，書名叫《原本》.全書共分13卷，包括有5條公理，5條公設，119個定義和465條命題，構成了歷史上第一個數學公理體系．（注：歐幾里得把公設和公理加以區分，即公理是適用于一切科學的真理，而公設只適用于幾何.近代數學對此不再區分，都稱為公理.)舉例：

本書中常用的基本事實：過兩點有且只有一條直線.（2）兩點之間，線段最短.（1）（3）經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.舉例：定理：同角或等角的補角相等.（2）余角的性質：同角或等角的余角相等.（4）垂線的性質：①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；（1）補角的性質：（3）對頂角的性質：對頂角相等②垂線段最短.內錯角相等，兩直線平行.（5）平行線的判定定理：

定理也可以作為判斷其他命題真假的依據,由某定理直接得出的真命題叫作這個定理的推論.在圖2-15

中，外角∠ACD

和與它不相鄰的內角∠A，∠B

之間有什么大小關系？根據三角形內角和定理：∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠ACD-∠A-∠B=0

（等量減等量，差相等）.于是∠ACD=∠A+∠B.平行線的性質定理Ｉ

兩條直線被第三條直線所截，如果這兩條直線平行，那么同位角相等．平行線的基本事實Ｉ兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．上述這兩個定理是不是互逆的命題？1212結論

如果一個定理的逆命題也是定理，那么稱它是原來定理的逆定理，這兩個定理稱為互逆定理.例如：平行線的基本事實Ｉ是平行線的性質定理Ⅰ的逆定理．下列定理有逆定理嗎？如果有，把它寫出來．

兩條直線被第三條直線所截，如果這兩直線平行，那么內錯角相等；答：兩直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行；1.下列命題中，哪些是真命題，哪些是假命題？請說說你的理由.（1）絕對值最小的數是0；答：真命題（2）相等的角是對頂角；（3）一個角的補角大于這個角；（4）在同一平面內，如果直線a⊥l，b⊥l，那么a∥b.答：假命題答：假命題答：真命題2.舉反例說明下列命題是假命題：（1）兩個銳角的和是鈍角；（2）如果數a，b的積ab＞0，那么a，b都是正數；（3）兩條直線被第三條直線所截同位角相等.答：直角三角形的兩個銳角和不是鈍角答：-1和-3的積是(-1)(-3)>0，-1和-3不是正數.答：兩條相交的直線a、b被第三條直線l所截，它們的同位角不相等3.

試寫出兩個命題，要求它們不僅是互逆命題，而且都是真命題.答：兩直線平行，內錯角相等。內錯角相等，兩直線平行。①題同位角相等是在兩直線平行的前提下才有，所以它是錯的；解4.下列四個命題中是真命題的有（）.

①同位角相等；②相等的角是對頂角；③直角三角形兩銳角互余；④三個內角相等的三角形是等邊三角形.A.4個B.