江蘇海門中學(xué)2025屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)試題含答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.命題“VxeN,必〉。”的否定為（）

A.VxeN,x2<0B.eN,x2<0

C.HxeN,x2>0D.VxeN,x2<0

2.已知集合4={刈》|<2,%62},5={x|y=ln(3x-%2)},則An§=()

A.{x[0<x<2}B.[x\-2<x<3}C.{1}D.{0,1,2}

3.已知點(diǎn)P(3,—4)是角a終邊上一點(diǎn)，則cos2a=()

772424

A.—B.-----C.—D.------

25252525

L+,x<l

4.已知函數(shù)/(x)=I,J在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.a<0B.a〉—C.—<a<0D.0<<7<—

222

5.已知函數(shù)/（%）部分圖象如圖所示，則其解析式可能為（）

B./(x)=x2(ev+e-x)

C./(x)=x(er-e-x)D./(x)=%⑹+b)

6.過點(diǎn)（3,1）作曲線y=ln（x-1）的切線，則這樣的切線共有（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

7.銳角1、/?滿足51!1，=以）5（。+，）5111。，若tana='，則cos（a+月）=（）

1叵

A.-D.---------D.

22V

8.若函數(shù)/(X)=51!120%-2\/^<：052<?》+6(<?〉0)在[0,'|')上只有一個零點(diǎn)，則O的取值范圍為()

141714

A.B.1勺C.D.

3533'3)6'66'6)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.己知0<a<l—Z?<1,則()

A.0</?<1B.a>bC.a-b<lD.ab<—

4

10.已知X],X2,%3是函數(shù)/(x)=%3-〃2%+]的三個零點(diǎn)(。>0,項<々<%3),貝!J()

B.jq<0<x2

111

C.f'M=f'(^3)D.------1--------1-------

'f'Mf'Mf'M

11.若定義在R上的函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,2)成中心對稱，且/(x+1)是偶函數(shù)，貝I()

A.7(x)圖象關(guān)于x=0軸對稱B./(x+2)-2為奇函數(shù)

20

C./(x+2)=/(x)D.￡/(，)=42

i=0

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若函數(shù)/(x)=2sm;v+"是奇函數(shù),貝力2]=______.

cosx-2I2J

13."l<x<y”是“xlnx<ylny”的條件.(選填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分

也不必要”)

14.班上共有45名學(xué)生，其中40人會打乒乓球，30人會騎自行車，25人會打羽毛球，則三個運(yùn)動項目都會

的同學(xué)至少有人.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

]

15.(13分)已知，為銳角，sina=[6，tan/?=j.

(1)求tan2a的值;

(2)求。+2分的大小.

16.(15分)已知函數(shù)/(x)=e]—e^—2%+2.(e=2.71828…)

(1)判斷函數(shù)y=/(%)-2的奇偶性并證明，據(jù)此說明/(九)圖象的對稱性;

(2)若任意工￡(l,+oo),/(minx)+/(x)>4,求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

八?[兀圖象的相鄰對稱軸距離為曰，且/用=-g

17.(15分)若函數(shù)/(%)=cos(3x+9)(o>Q,\(p\<-

(1)求/(%)的解析式;

(2)將/(x)的圖象向右平移E個單位，再將所得圖象上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變)得

到函數(shù)y=g(x)的圖象.當(dāng)xe(O,兀)時，求不等式g(2x)Vg|x+：J的解.

18.(17分)綠色、環(huán)保是新時代健康生活的理念，某一運(yùn)動場館投放空氣凈化劑凈化場館，已知每瓶空氣凈

化劑含量為a,投放后該空氣凈化劑以每小時10%的速度減少，根據(jù)經(jīng)驗，當(dāng)場館內(nèi)空氣凈化劑含量不低于

3a時有凈化效果，且至少需要持續(xù)凈化12小時才能達(dá)到凈化目的.現(xiàn)有9瓶該空氣凈化劑.

(1)如果一次性投放該空氣凈化劑9瓶，能否達(dá)到凈化的目的？如果能，說明理由；如果不能，最多可凈化

多長時間？(精確到0.1小時)

(2)如果9瓶空氣凈化劑分兩次投放，在第一次投放后間隔6小時進(jìn)行第二次投放，為達(dá)到凈化目的，試給

出兩次投放的所有可能方案？(每次投放的瓶數(shù)為整數(shù)，投放用時忽略不計)

(參考數(shù)據(jù)：lg3土0.477,0.96?0.53).

19.(17分)已知函數(shù)/(x)=21nx-ax2+1,a>0.

(1)若/(x)的最大值為0,求。的值；

(2)若存在左使得f(ri)-f(m)=f'(k)(n-m),則稱％為/(x)在區(qū)間(加,〃)上的“巧點(diǎn)

(i)當(dāng)。=0時，若1為/(x)在區(qū)間(利〃)上的“巧點(diǎn)””，證明：m+n>2；

(ii)求證：任意a>0,7(x)在區(qū)間(加,〃)上存在唯一“巧點(diǎn)”上

參考答案

1-8BCBDACBA9-11ACDABDBD

12.-113.充分必要14.5

15.(13分)

【解】(1)因為sina=,

I2；10

所以cosa=Jl-sin2a=迪

10

sin。1

所以tana=----二—，

cos。7

ll…-2tana2497

所以tanla=--------=—X-=--

1-tana74824

(2)因為tan￡=1,所以tan2￡=》吧?一=2乂2=3,

31—tan?尸384

13

所以tan(a+2￡)=tana+tan2￡=J=],

1-tan<7tan2/?]3

~28

因為tana=；<l,且

JT

所以0<a<—；

4

因為tan2〃=；<l,且

JT

所以0<2￡<i，

jr

所以0<tz+2,<5，

5兀

（注意:學(xué)生控制范圍0<&+2，<]，確保角度唯一性亦可）

JT

所以a+2夕=].

16.（15分）

【解】（1）函數(shù)>=/（%）—2是奇數(shù)，理由如下:

設(shè)g(x)=f(x)-2=e*_e-*-2x,函數(shù)g(x)的定義域為R,

因為X/xeR,都有一xeR,

(沒有說明定義域?qū)ΨQ性、至少要判斷定義域，否則扣2分)

且g(-x)=e^x-e'+2x=—g(x),

所以g(x)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于(0,0)中心對稱；

因為/(x)=g(x)+2,

所以于(X)圖像是由g(x)向上平移2個單位得到，

所以/(%)圖像關(guān)于(0,2)中心對稱.

(2)因為/(x)=g(x)+2,

所以f(mlnx)+f(x)>4可以化為g(mlnx)+g(x)>0,

所以g(mlnx)>-g(x)=g(-x),

因為g'(x)=e"er—2,

因為1〉0,所以+

所以g'(x)>0且不恒為0,即g(x)在R上單調(diào)遞增,

所以mlnx>-%在(1,+co)上恒成立，

所以〃z〉——在(1,+co)上恒成立，

Inx

令h(x)=——，

Inx

所以〃(%)=匕黑，

Inx

所以丸(x)在(l,e)上遞增，在(e,+co)遞減，

所以丸(無)<h(e)=-e,

所以加>-e.

17.(15分)

jr

【解】(1)因為/(X)圖像相鄰對稱軸距離為萬,

271

所以T=兀，即=兀，

因為0>0,所以0=2,

所以/(x)=cos(2x+9)；

因為=所以cos[g+0[=,

TT

因為

二匚is兀兀5兀

所以---<------F69<-----，

636

所以2+°=0,即°=烏，

333

所以/(x)=cos^2%+.

(2)因為/(x)=cos12x+1)圖像向右平移||個單位得到j(luò)=cosf2x-|j=sin2x

再將y=sin2x圖像上各個點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?倍得到y(tǒng)=sin%,

所以g(x)=sinx；

所以不等式為sin2x<sinfx+j,

JI71571

令%=%+一,貝卜￡?

44T

不等式化為sin2,<sinr,

所以一cos2/<sin%,

所以Zsin?%-sin%-l<0,

所以—Vsin/?1,

2

結(jié)合函數(shù)y=sin/在1e[：，弓]上的圖像得:<t穴,

所以0<x<——即為所求不等式的解.

12

18.（17分）

【解】（1）假設(shè)一次性投放9瓶，可持續(xù)凈化x小時,

則9a-（1一10%廠之3。（尤20）

所以0.9**

3

兩邊取常用對數(shù)得，x-lg0.9>lg1,

所以xW-------?10.4,

l-21g3

因為10.4<12,

所以不能達(dá)到凈化目的，最多可凈化10.4小時.

(2)設(shè)第一次投放〃瓶，第二次投放9—〃瓶，〃eN*且“W9,

w(l-10%)623a①

依據(jù)題意得,

ntz(l-10%)12+(9-nMl-10%)6>3。②

3

由①得,

,9x0.96—3

由②得,〃<-?-7-.--1-,----

_0.96-0.912

(兩組近似計算對一個給1分，只要保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)據(jù)一致即可)

所以5.7<H<7.1；

又因為〃eN*,所以，”可取6或7.

所以兩次投放可能的投放方案為第一次投放6瓶，第二次投放3瓶;

或在第一次投放7瓶，第二次投放2瓶.

19.(17分)

22(l-ax2)

【解】(1)因為/'(x)=——2ax=△------

XX

當(dāng)a=0時，/(%)在(0,+co)上遞增，不符合;

當(dāng)。>0時,/(x)在上遞增，在上單調(diào)遞減,

=21nJ

所以/(x)最大值為=0,

yja

所以-=1,即4=1,

yja

綜上，a=l.

(2)(i)因為「(k)=Z-2ak=/(")—/(”'),ke(m,n),

kn-m

2

當(dāng)Q=0時，/(x)=21nx+1,/'(%)=—,

因為左=1,m<l<n,

所以/(〃)_/⑴)=2,21n?-21nm-

-----------------=2,

n—mn-m

即二1；

Inn-Inm

要證加+〃>2,

、十n—m加+〃

即13rl證---------<------

Inn-Inm2

令一二t,因為所以/>1,

m

設(shè)g(t)=lnt-2

>0,

所以，⑺1一備

所以g⑺在(1,+00)上單調(diào)遞增,

所以g⑺〉g⑴=0,

n—mm+n

即證<

Inn-Inm2

(ii)令(p(k)=于'也)—/(〃)-/(""s〉機(jī)〉o),

n-m

22

nn八、2__21nn—an-21nm+tzm2___Inn-lnm、

即(p(k)=----2ak-------------------------------------=-----20k-2x---------------Fa(zn