第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年吉林省長春二中高三（上）第二次調研數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|2x2+x?1<0}，B={y|y=lg(A.(?1,0] B.[0,12) C.(?2.設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S10?S3A.1 B.2 C.3 D.43.“α=π4+kπ(k∈Z)”是“3A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條伴D.既不充分也不必要條件4.設α∈(0,π2)，β∈(0,π2)A.3α?β=π2 B.3α+β=π2 C.5.將函數f(x)=cos(ωx?π4)(ω>0)的圖象向右平移π4ω個單位長度后得到函數g(x)的圖象，若函數y=g(x)在區間[0,A.13 B.23 C.1 6.已知a>1，b>0，若a+log2A.a>2b B.a<2b C.a>b2 7.已知集合A={?12,?13,12,13,2,3}，若a，b，c∈A且互不相等，則使得指數函數y=A.16 B.24 C.32 D.488.現定義如下：當x∈(n,n+1)時(n∈N)，若f(x+1)=f′(x)，則稱f(x)為延展函數.現有，當x∈(0,1)時，g(x)=ex與?(x)=x10均為延展函數，則以下結論(

)

(1)存在y=kx+b(k,b∈R；k，b≠0)與y=g(x)有無窮個交點

(2)存在y=kx+b(k,b∈R；k，b≠0)與A.(1)(2)都成立 B.(1)(2)都不成立 C.(1)成立(2)不成立 D.(1)不成立(2)成立二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數f(x)=3sin(2x+φ)(?π2<φ<π2)A.φ=?π6B.f(x?C.f(x)在[π4,π2]上單調遞增D.10.若正數a，b滿足a+b=1，則(

)A.log2a+log2b≥?2 B.2a11.已知定義域均為R的函數f(x)與g(x)，其導函數分別為f′(x)與g′(x)，且g(3?x)=f(x+1)?2，g′(x+1)=f′(x?1)，函數f(x)的圖象關于點M(3,0)對稱，則(

)A.函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱 B.8是函數f(x)的一個周期

C.g(5)=2 D.g(?2020)+g(?2024)=?4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知角α的終邊經過點P(2,?3)，則sin(π?α)+cos(α?π)sin13.設當x=θ時，函數f(x)=sinx?2cosx取得最大值，則cosθ=

．14.已知函數f(x)=xlnx,x>0,1x?x,x<0,若函數g(x)=f(f(x))?af(x)+1有唯一零點，則實數四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數f(x)=2cosx(3sinx+cosx)?1．

(1)求f(x)最小正周期；

(2)將函數y=f(x)的圖象的橫坐標縮小為原來的12，再將得到的函數圖象向右平移π8個單位，最后得到函數y=g(x)，求函數g(x)的對稱中心；

(3)若|g(x)?m|≤2在[0,16.(本小題15分)

已知函數f(x)=a(x+1)2?x?lnx(a∈R)．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)當0<a≤1217.(本小題15分)

各項均不為0的數列{an}對任意正整數n滿足：1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=1?18.(本小題17分)

在某數字通信中，信號的傳輸包含發送與接收兩個環節.每次信號只發送0和1中的某個數字，由于隨機因素干擾，接收到的信號數字有可能出現錯誤.已知發送信號0時，接收為0和1的概率分別為α(0<α<1)，1?α；發送信號1時，接收為1和0的概率分別為β(0<β<1)，1?β.假設每次信號的傳輸相互獨立．

(1)當連續三次發送信號均為0時，設其相應三次接收到的信號數字均相同的概率為f(α)，求f(α)的最小值；

(2)當連續四次發送信號均為1時，設其相應四次接收到的信號數字依次為x1，x2，x3，x4，記其中連續出現相同數字的次數的最大值為隨機變量X(x1,x19.(本小題17分)

微積分的創立是數學發展中的里程碑，它的發展和廣泛應用開創了向近代數學過渡的新時期，為研究變量和函數提供了重要的方法和手段.對于函數f(x)=1x(x>0)，f(x)在區間[a,b]上的圖像連續不斷，從幾何上看，定積分ab1xdx便是由直線x=a，x=b，y=0和曲線y=1x所圍成的區域(稱為曲邊梯形ABQP)的面積，根據微積分基本定理可得ab1xdx=lnb?lna，因為曲邊梯形ABQP的面積小于梯形ABQP的面積，即S曲邊梯形ABQP<S梯形ABQP，代入數據，進一步可以推導出不等式：a?blna?lnb>21a+1b．

(1)請仿照這種根據面積關系證明不等式的方法，證明：a?blna?lnb<a+b2；

(2)已知函數f(x)=ax2+bx+xlnx

參考答案1.B

2.C

3.A

4.C

5.B

6.D

7.B

8.D

9.BD

10.BCD

11.ABD

12.5

13.?214.{a|?1≤a<1或a=?515.解：(1)因為f(x)=2cosx(3sinx+cosx)?1

=23sinxcosx+2cos2x?1

=3sin2x+2?1+cos2x2?1

=3sin2x+cos2x=2(32sin2x+12cos2x)=2sin(2x+π6)，

所以函數y=f(x)的最小正周期為T=2π2=π；

(2)將函數y=f(x)的圖象的橫坐標縮小為原來的12，

可得到函數y=2sin(4x+π6)的圖象，

再將y=2sin(4x+π6)的函數圖象向右平移π8個單位，最后得到函數y=g(x)的圖象，

則g(x)=2sin[4(x?π8)+π6]=2sin(4x?π3)，

令4x?π3=kπ，得x=kπ4+π1216.解：(1)函數f(x)=a(x+1)2?x?lnx的定義域為(0,+∞)，

f′(x)=2a(x+1)?1?1x=(x+1)(2ax?1)x，

當a≤0時，f′(x)<0，所以f(x)在(0,+∞)上單調遞減；

當a>0時，令f′(x)<0，可得0<x<12a，令f′(x)>0，可得x>12a，

所以f(x)在(0,12a)上單調遞減，在(12a,+∞)上單調遞增．

綜上，當a≤0時，f(x)在(0,+∞)上單調遞減；

當a>0時，f(x)在(0,12a)上單調遞減，在(12a,+∞)上單調遞增．

(2)證明：由(1)可知，當0<a≤12時，f(x)在(0,12a)上單調遞減，在(12a,+∞)上單調遞增，

所以f(x)min=f(12a)=a(12a17.解：(1)設等差數列{an}的公差為d，則1anan+1=1d(1an?1an+1)，

由1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=1?12an+1，

可得1d(1a1?1a2+1a2?1a3+...+118.解：(1)由題可知f(α)=α3+(1?α)3=3α2?3α+1=3(α?12)2+14，

因為0<α<1，所以當α=12時，f(α)的最小值為14；

(2)由題設知，X的可能取值為1，2，3，4，

①當X=1時，相應四次接收到的信號數字依次為0101或1010，

所以P(X=1)=23×13×23×13+13×23×13×23=881，

②當X=2時，相應四次接收到的信號數字依次為0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或X1234P842017期望E(X)=1×88119.解：(1)證明：在曲線y=1x取一點M(a+b2,2a+b)，

過點M(a+b2,2a+b)作f(x)的切線分別交AP，BQ于M1，M2，

因為S曲邊梯形ABQP>S梯形ABM2M1，

所以lnb?lna>12(|AM1|+|BM2|)?|AB|=12?2?(b?a)，

即a?blna?lnb<a+b2;

(2)(i)證明：由題意可得，

f′(x)=2ax+lnx+b+1，

不妨設0<x1<x2，曲線y=f(x)在(x1,f(x1))處的切線l1方程：

y?f(x