學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精自主廣場我夯基我達標1。①a·0=0；②0a=0;③0—；④|a·b｜=|a｜|b|;⑤若a≠0,則對任一非零向量b有a·b≠0；⑥a·b=0,則a與b中至少有一個為0；⑦a與b是兩個單位向量，則a2=b2。以上成立的是(）A.①②③⑥⑦B.③④⑦C。②③④⑤D.③⑦思路解析：只要按照定義、性質、運算律作答即可.對于①，兩個向量的數量積是一個實數，應有0·a=0,故①錯；對于②，應有0a對于③，很明顯正確；對于④，由數量積定義，有｜a·b｜=|a|·|b｜·｜cosθ|≤｜a｜｜b|,這里θ是a與b的夾角,只有θ=0或θ=π時,才有｜a·b｜=｜a｜·｜b|，故④錯；對于⑤,若非零向量a、b垂直，有a·b=0，故⑤錯;對于⑥，由a·b=0可知a⊥b，即可以都非零，故⑥錯；對于⑦,a2-b2=｜a｜2-|b|2=1-1=0，故⑦正確.答案：D2。已知|a|=5，｜b|=3，a·b=，則a與b的夾角為()A.30°B.60°C.135°D。120°思路解析:cos〈a，b>==，又∵0°≤〈a，b>≤180°，∴〈a，b〉=30°.答案:A3。已知△ABC中，AB=a，AC=b，當a·b＜0或a·b=0時,△ABC的形狀分別是(）A.鈍角三角形，直角三角形B.銳角三角形，直角三角形C。銳角三角形,鈍角三角形D.銳角三角形，斜三角形思路解析:由a·b＜0可知a與b的夾角為鈍角，即△ABC是鈍角三角形；當a·b=0時，可知a與b的夾角為直角，即△ABC是直角三角形。答案:A4。(2006天津高考，文12）設向量a與b的夾角為θ，且a=（3，3），2b-a=（—1,1），則cosθ=_________。思路解析:b=a+(-1,1）=（1,2),則a·b=9，｜a｜=3，｜b｜=，∴cosθ==.答案:5已知a=(3，—1），b=(1，2)，x·a=9，x·b=-4，向量x的坐標為__________________.思路解析:設出向量x的坐標，利用所給兩個關系式得到關于坐標的方程組，再求解.設x=(t，s)，由答案:（2,—3）6.已知a=(1，2），b=（1，1)，c=b—ka,若c⊥a，則c=_______________.思路解析:根據a和b的坐標，求c的坐標,利用垂直建立關于k的方程,求出k后可得向量c。答案：（，—）7已知|a｜=10，｜b|=12，a與b的夾角為120°，求：(1)a·b；（2)（3a)·(b);（3)(3b-2a）·（4a+思路分析:第（1）題直接由定義可得，（2）和(3）則利用向量數量積的運算律計算。解:(1）a·b=|a||b｜cosθ=10×12×cos120°=—60。（2）（3a)·(b）=（a·b)=×(—60）=—36。（3)(3b-2a）·(4a+b）=12b·a+3b2—8a2=10a·b+3｜b|2-8｜a｜=10×（—60）+3×122-8×102=-968.我綜合我發展8。已知a=（3，4)，b=(4，3)，（xa+yb)⊥a，｜xa+yb｜=1。求實數x、y的值.思路分析:首先寫出（xa+yb）的坐標，再根據它與向量a垂直和模為1列出方程組，從而解得x和y的值.解:∵a=（3,4),b=（4，3)，∴xa+yb=（3x+4y,4x+3y）.∵(xa+yb）⊥a，∴(xa+yb）·a=0.∴3（3x+4y）+4（4x+3y)=0，即25x+24y=0。①又∵｜xa+yb｜=1，∴（3x+4y)2+（4x+3y）2=1.整理得25x2+48xy+25y2=1.②由①②聯立方程組，解得或9。向量e1、e2滿足|e1|=2，｜e2｜=1，e1、e2的夾角為60°,若向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角，求實數t的取值范圍。思路分析：向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角,則它們的數量積應當小于零，由此可得關于t的不等式，解之即得.解:∵e12=4，e22=1，e1·e2=2×1×cos60°=1,∴(2te1+7e2）·(e1+te2）=2te12+（2t2+7）e1·e2+7te22=2t2+15t+7。∵向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角，∴2t2+15t+7＜0.∴—7＜t＜-.設2te1+7e2=λ(e1+te2)（λ＜0），則2t=λ，且7=tλ，∴2t2=7.∴t=-，λ=—.∴當t=-時,2te1+7e2與e1+te2的夾角為π。∴實數t的取值范圍是(-7，-)∪(-，—）.10。如圖2-3-圖2-3-12思路分析:結合圖形，可以發現與垂直并且長度相等，利用這一關系建立B點坐標的方程組，再解方程組得B點坐標,進一步得向量的坐標。解：設B(x，y),則=（x，y)，=(x—5，y-2）.∵⊥，∴x(x—5）+y(y-2)=0，即x2+y2—5x—2y=0。又∵｜｜=||,∴x2+y2=(x—5)2+(y-2）2，即10x+4y=29.解方程組得或∴B點坐標為（，-）或（，）；當B（，-)時,=(-,-）；當B（,)時，=（-，）.綜上得B（，-),=(-，—），或B（,)，=(-，)。11.四邊形ABCD中，=a，=b，=c，=d,且a·b=b·c=c·d=d·a，試問四邊形ABCD是什么圖形？思路分析:四邊形的形狀由邊角關系確定，由題設條件演變，推算該四邊形的邊角關系。解：由題意,得a+b+c+d=0，∴a+b=—（c+d)。∴(a+b)2=(c+d)2，即|a｜2+2a·b+｜b｜2=｜c|2+2c·d+|d｜2.由于a·b=∴｜a|2+｜b|2=|c|2+|d|2.①同理，有|a｜2+｜d｜2=｜c|2+｜b|2.②由①②可得|a|=｜c|且｜b|=|d|,即四邊形ABCD的兩組對邊分別相等,∴四邊形ABCD是平行四邊形。∵a·b=b·c,∴b·（a—c)=0。由平行四邊形ABCD可得c=—a,代入上式得b·（2a即a·b=0。∴a⊥b，即AB⊥BC.綜上所述，四邊形ABCD是矩形。12。（2006湖北黃岡模擬，16）平面直角坐標系內有點P（1,cosx）、Q（cosx，1),x∈［—，］。（1）求向量和向量的夾角θ的余弦值；（2)令f（x)=cosθ，求f（x）的最小值。思路分析:(1）直接用夾角公式即可求得；(2）利用換元法，再利用函數的單調性求出最小值.解：（1)由題意，得=（1，c