專題13.4三角形的外角【十大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1應用三角形的外角性質求角度】 1【題型2應用三角形的外角性質比較角度大小】 4【題型3三角形的外角性質與角平分線的綜合】 6【題型4三角形的外角性質與平行線的綜合】 9【題型5三角形的外角性質與垂線的綜合】 13【題型6應用三角形的外角性質解決折疊問題】 18【題型7應用三角形的外角性質解決三角板組合問題】 22【題型8三角形中角的不等關系的證明】 25【題型9應用三角形外角的性質解決角度測量問題】 29【題型10三角形有關角度關系的探究題】 32【知識點三角形的外角】概念：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．性質：①三角形的外角和為360°；②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角．【題型1應用三角形的外角性質求角度】【例1】（2023春·重慶忠縣·八年級統考期末）如圖所示，點D是∠ACB內一點，若∠1=35°，∠2=40°，∠ADB=145°，則∠ACB的大小為（A．75° B．70° C．65° D．60°【答案】B【分析】根據三角形外角的性質即可求解．【詳解】解：如圖：∵∠BDE=∠BCD∴∠ADB∴∠BCD∴∠ACB故選：B．【點睛】本題考查了三角形外角的性質，熟練掌握和運用三角形外角的性質是解決本題的關鍵．【變式11】（2023春·海南省直轄縣級單位·八年級統考期末）若一個三角形兩個外角之和為280°，那么這個三角形是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】C【分析】根據三角形的外角和為360°，兩個外角之和為280°，則第三個外角的度數為360°-280°=80°，則其相鄰內角是100°，從而判定形狀．【詳解】∵三角形的外角和為360°，兩個外角之和為280°，∴第三個外角的度數為360°-280°=80°，∴其相鄰內角是180°-80°=100°，∴該三角形是鈍角三角形．故選：C．【點睛】本題注意考查了三角形的外角和、三角形的形狀判定，熟練掌握三角形外角和，準確判定三角形的形狀是解題的關鍵．【變式12】（2023春·山東濱州·八年級統考期中）如圖，D是△ABC的BC邊上一點，∠B=∠1，∠3=80°，∠BAC=70°A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】C【分析】先由三角形外角的性質得出∠3＝∠B＋∠1，再由∠3＝80°，∠B＝∠1即可得出∠1的度數，最后根據角的和差可以求出∠2的度數．【詳解】解：∵∠3是△ABD的一個外角，∴∠3＝∠B＋∠1，∵∠3＝80°，∠B＝∠1，∴∠1＝12∠3＝12×80°＝∵∠BAC＝70°，∴∠2＝∠BAC?∠1＝70°?40°＝30°．故選：C．【點睛】本題考查了三角形外角的性質，熟知三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解答此題的關鍵．【變式13】（2023春·廣東江門·八年級臺山市新寧中學校考期中）如圖，已知△ABC中，∠BAC=3∠ABC=3∠ACB，

【答案】18°【分析】設∠ABC=∠ACB=x，則∠BAC=3【詳解】解：設∠ABC=∠ACB在△ABC∵∠ABC∴x+∴x∴∠BAC∵CD是AB∴CD⊥BD∴∠ACD∴∠ACD【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理，三角形的高，三角形的外角的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【題型2應用三角形的外角性質比較角度大小】【例2】（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y考期中）如圖，∠1，∠2，A．∠1=∠2+∠3 B．2∠2=∠1+∠3 C．∠3>∠2>∠1 D．∠1>∠2>∠3【答案】D【分析】根據三角形的外角的性質進行解題．【詳解】由三角形的外角大于與它不相鄰的每一個內角，可得∠1、∠2、故選D．【點睛】本題考查三角形外角的性質，掌握三角形的外角的性質是解題的關鍵．【變式21】（2023春·陜西榆林·八年級統考期末）如圖，點D為△ABC的邊BC延長線上一點，關于∠B與∠ACD的大小關系，下列說法正確的是A．∠B>∠ACD B．∠B=∠【答案】C【分析】根據三角形的外角性質分析即可得解．【詳解】解：∵∠ACD是△∴∠B故答案為：C．【點睛】本題考查了三角形的外角性質，熟記三角形的外角大于任意一個與其不相鄰的內角是解題的關鍵．【變式22】（2023春·浙江杭州·八年級統考階段練習）如圖，點P是△ABC內一點，連接BP并延長交AC于D，連接PC，則圖中∠1,∠2,∠A的大小關系是（A．∠A>∠2>∠1 B．∠A>∠1>∠2 C．【答案】D【分析】直接根據三角形外角的性質可排除選項．【詳解】解：由題意得：∠1=∠2+∠DCP，∠2=∠A+∠ABD，∴∠1>∠2>∠A故選D．【點睛】本題主要考查三角形外角的性質，熟練掌握三角形外角的性質是解題的關鍵．【變式23】（2023春·甘肅張掖·八年級?？计谀┤鐖D，∠A、∠DOE和∠BEC的大小關系是(

).A．∠A＞∠DOE＞∠BEC B．∠DOE＞∠A＞∠BECC．∠BEC＞∠DOE＞∠A D．∠DOE＞∠BEC＞∠A【答案】D【詳解】解：在△ABE中，∠BEC=∠A+∠B，所以，∠BEC＞∠A，在△COE中，∠DOE=∠BEC+∠C，所以，∠DOE＞∠BEC，所以，∠DOE＞∠BEC＞∠A．故選D．點睛：本題主要考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．【題型3三角形的外角性質與角平分線的綜合】【例3】（2023春·黑龍江大慶·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A

【答案】m【分析】根據角平分線的性質和三角形外角性質得出∠A1和∠A的關系，進而求出∠A2與∠A【詳解】解：∵∠ABC和∠ACD的平分線交于點A1，∴∠A∴∠A同理，∠A∠A…∠A當n=2023時，∠∠A故答案為：m2【點睛】本題考查了三角形外角性質與角平分線的定義，找出規律是解題的關鍵.【變式31】（2023春·天津·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AF是∠BAC的外角∠EAB的平分線，交CB的延長線于點F，BG是∠ABC的外角∠DBC的平分線，交AC的延長線于點G，若AF=【答案】48【分析】設∠BAC=x度，根據三角形外角的性質和等腰三角形的性質得到∠DBG=2x度，根據角平分線的性質得到∠DBC=4x度，根據三角形外角的性質和等腰三角形的性質和對頂角相等得到∠ABF=4x度，【詳解】解：設∠BAC∵BG∴∠DBG∵BG是∠B的外角∴∠DBC∴∠ABF∵AB∴∠F∴∠ACB∴∠EAF∵AF是∠A的外角∴∠BAF∴7x+7∴∠F故答案為：48．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質、三角形內角與外角的關系等知識點，解題的關鍵是熟練掌握三角形外角的性質、三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解答本題的關鍵．【變式32】（2023春·廣東肇慶·八年級統考期末）如圖，在△ABC中，AN是∠BAC的角平分線，∠B=50°，∠ANC【答案】∠【分析】利用三角形外角性質求出∠BAN=∠ANC-∠B【詳解】解：∵∠∴∠∵AN是∠BAC∴∠在△ABC中，∠【點睛】此題考查了三角形內角和定理，三角形的外角性質，角平分線的定義，熟練掌握三角形的知識是解題的關鍵．【變式33】（2023春·浙江杭州·八年級?？奸_學考試）如圖，在△ABC中，BO,CO分別平分∠ABC,∠ACB，交于點O,CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長線交CE于點E．以下結論①∠OCE=90°，【答案】①②③【分析】先根據角平分線的定義可得∠ACO=∠BCO=12∠ACB，∠ACE=12∠ACD，再根據∠OCE=∠ACO+∠ACE即可判斷①正確；先根據角平分線的定義可得∠CBO【詳解】解：∵CO平分∠ACB，CE為外角∴∠ACO=∠BCO∵∠ACB∴∠OCE=∠ACO∵BO平分∠∴∠CBO∴∠=180°-=180°-=180°-=90°+12∠1又∵∠BOC∴90°+1∴∠1=2∠2，結論②正確；假設∠BOC∴3∠2=90°+∠2，解得∠2=45°，∴∠1=90°，由已知條件不能得出這個結論，則假設不成立，結論④錯誤；綜上，結論正確的是①②③，故答案為：①②③．【點睛】本題考查了與角平分線有關的三角形內角和問題、三角形的外角性質，熟練掌握三角形的內角和定理是解題關鍵．【題型4三角形的外角性質與平行線的綜合】【例4】（2023春·廣東清遠·八年級期末）如圖，已知直線AB∥CD，∠C=125°，∠AA．75° B．85° C．90° D．95°【答案】B【分析】先根據平行線的性質求出∠BFE，再利用外角的性質求出∠【詳解】解：如圖，∵AB∥CD∴∠C∵∠BFE是△∴∠BFE∵∠A∴∠E故選：B．【點睛】本題考查的是平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質并靈活運用，平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等．【變式41】（2023春·河南鄭州·八年級河南省實驗中學校考開學考試）如圖，AB∥EF，A．β=α+C．β+γ-【答案】D【分析】延長DC交AB與G，延長CD交EF于H，利用三角形的外角的性質以及平行線的性質得到90°-α【詳解】解：延長DC交AB與G，延長CD交EF于H，，則在直角△BGC中，∠1=90°-α；在△EHD∵AB∴∠1=∠2，∴90°-α∴α故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形的外角的性質、平行線的性質，通過作輔助線，構造三角形以及由平行線構成的內錯角，掌握三角形的外角的性質以及平行線的性質：兩條直線平行，內錯角相等，是解題的關鍵．【變式42】（2023春·安徽安慶·八年級統考期末）如圖，在△ABC中，E，F分別是AB，AC上的點，且EF∥BC，AD是∠BAC的平分線，分別交EF，BC于點H，D，則∠1、∠2和

A．∠1=∠2+∠3 B．∠1=2∠2+∠3 C．∠1+∠2=2∠3 D．∠1+∠3=2∠2【答案】D【分析】根據平行線的性質和外角的性質以及角平分線的定義，進行求解即可．【詳解】解：∵EF∥∴∠∵∠1、∠2分別是△ABC和△ABD的外角，AD平分∴∠1=∠BAC+∠∠2=∠BAD則∠BAD=∠2-∠3把②代入①，得∠1=2∠2-∠3整理，得∠1=2∠2-∠3，即∠1+∠3=2∠2，故D正確．故選：D．【點睛】本題考查平行線的性質，三角形外角的性質，角平分線的定義．熟練掌握三角形的一個外角等于與它不想鄰的兩個內角和，是解題的關鍵．【變式43】（2023春·江西吉安·八年級統考期末）已知：AB∥(1)如圖1，求證：∠AEB(2)如圖2，連接BC，∠BCF=2∠ABE，點P在射線AB上，∠BCP=12∠BCD【答案】(1)答案見解析(2)2（∠BMC+∠AEB）=3∠CAB，證明見解析【分析】（1）如圖1，過F作FH∥AB，根據平行線的性質得到∠1=∠2，∠3=∠FDC，由等量代換得到∠BFC=∠ABE+∠FCD，即可得到結論；（2）設∠BCP=∠DCP=x，∠ABE=∠PBF=y，∠PCF=z，根據已知條件得到x+z=2y，由（1）知，∠AEB=∠ABE+∠DCF=x+y，∠E=∠PBF+∠DCF=∠PBF+∠DCP－∠PCF=x+y-z，于是得到2（∠BMC【詳解】（1）解：如圖1，過F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠1=∠2，∠3=∠FDC，∵∠2=∠ABE，∴∠1=ABE，∵∠BFC=∠1+∠3，∴∠BFC=∠ABE+∠FCD，∵∠ABE=∠BFC，∴∠AEB=∠ABE+∠DCF；（2）解：設∠BCP=∠DCP=x，∠ABE=∠PBF=y，∠PCF=z，∵∠BCF=2∠ABE，∴x+z=2由（1）知，∠AEB=∠ABE+∠DCF=x+y，∠E=∠PBF+∠DCF=∠PBF+∠DCP－∠PCF=∴2（∠BMC+∠E）=2（x+y+y∵3∠CAB=3（∠E+∠ABE）=3（x+y-z∴2（∠BMC+∠AEB）=3∠CAB．【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，三角形內角與外角的關系，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質．【題型5三角形的外角性質與垂線的綜合】【例5】（2023春·廣東東莞·八年級?？计谥校┤鐖D，已知DF⊥AB于點F，且∠A=45°，

【答案】∠ACD的度數為【分析】先根據DF⊥AB得∠DFB=90°，再根據∠B【詳解】解：∵DF⊥∴∠DFB∵∠D∴∠B∵∠A∴∠ACD∴∠ACD的度數為105°【點睛】本題主要考查了直角三角形的兩個銳角互余，三角形的外角的定義，熟練掌握直角三角形的兩個銳角互余，三角形的外角的定義，是解題的關鍵．【變式51】（2023春·湖北荊州·八年級統考期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點E在射線BC上，EF⊥AD于F，∠BA．32° B．34° C．56° D．58°【答案】A【分析】根據三角形的外角的性質得出∠BAC=36°，根據角平分線的性質得出∠DAB【詳解】∵∠ACE∴∠BAC∵AD平分∠∴∠DAB∴∠ADC∵EF⊥AD∴∠EFD∴∠E故選：A．【點睛】本題考查了三角形外角的性質，角平分線的定義，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．【變式52】（2023春·江蘇南京·八年級統考期末）在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，M為直線AC上一點，ME⊥BC

(1)如圖①，當點M在線段AC上，且∠C=50°時，求證(2)當點M在邊AC的延長線上時，補全圖②，判斷BD與MF的位置關系并證明．【答案】(1)證明見解析(2)畫圖見解析，MF⊥【分析】（1）利用三角形內角和定理求出∠ABC=40°，由角平分線的定義得到∠ABD=∠CBD=20°，則由三角形外角的性質可得∠ADB=70°，（2）如圖所示，延長BD交MF于點H，由∠BAM=∠BEM=90°，∠ACB=∠MCE，得到∠【詳解】（1）證明：∵∠A=90°，∴∠ABC∵BD平分∠ABC∴∠ABD∴∠ADB∵ME⊥BC，即∴∠AME∵∠AME的平分線交直線AB于點∴∠AMF∴∠AME∴BD∥（2）解：BD⊥如圖所示，延長BD交MF于點H，∵∠BAM=∠BEM∴∠ABC∵BD、MF分別是∴∠AMF∵∠AFM∴∠BHF∴MF

【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質，平行線的判定等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．【變式53】（2023春·廣西南寧·八年級校考期中）在△ABC中(1)如圖1，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，AE平分∠BAC，AE，CD相交于點F，請直接寫出線段CF(2)如圖2，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，△ABC的外角∠BAG的平分線交CD的延長線于點F，其反向延長線與BC的延長線交于點E(3)如圖3，AB上存在一點D，使得∠ACD=∠B，∠BAC的平分線AE交CD于點F．△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長線交于點【答案】(1)CF(2)成立，理由見解析(3)∠【分析】（1）利用角平分線的定義和直角三角形兩個銳角之間的關系證明得到∠CFE（2）利用角平分線的定義和直角三角形兩個銳角之間的關系證明得到∠E（3）先證明∠M+∠CEF【詳解】（1）解：CF=理由：∵AE平分∠∴∠CAE∵CD是AB邊上的高，∴CD⊥∴∠EAB∴∠∵∠ACB∴∠CAE∴∠CFE∴CF=（2）成立；理由：∵AF平分∠BAG∴∠BAF∵CD是AB邊上的高，∴CD⊥∴∠FAB∴∠GAF∴∠∵∠ACB∴∠CAE∴∠E∴CF=（3）∵AE是∠BAC∴∠CAE∵MN是∠BAG∴∠BAN∴∠EAN∴∠EAM∴∠M∵∠ACD∴∠CFE∴∠M【點睛】本題考查了直角三角形兩個銳角互余，角平分線的定義、等角對等邊，三角形外角的性質等知識，解題關鍵是牢記相關概念，能正確進行角之間的轉化．【題型6應用三角形的外角性質解決折疊問題】【例6】（2023春·湖北武漢·八年級校聯考期中）如圖1，△ADC中，點E和點F分別為AD，AC上的動點，把△ADC紙片沿EF折疊，使得點A落在△ADC的外部A'處，如圖2所示．若∠1-∠2=42°A．20° B．21° C．21.5° D．22.5°【答案】B【分析】根據折疊的性質得出∠A=∠A'，∠AEF【詳解】解：根據折疊的性質得∠A=∠A∵∠1=180°-∠AEA'，∠∴∠1=180°-2∠AEF，∠∵∠AFE∴∠2=180°-∠=180°-2∠A∴∠1-∠2=180°-2∠AEF∴∠1-∠2=2∠A∵∠1-∠2=42°，∴∠故選B．【點睛】本題考查了折疊問題，三角形內角和定理，三角形的外角的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式61】（2023春·重慶涪陵·八年級?？计谥校┤鐖D，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且BA'平分∠ABC，CA'A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】C【分析】連接AA'，根據三角形內角和求出∠BAC，再根據∠1=∠DAA【詳解】解：如圖，連接AA∵∠B∴∠A∵BA'平分∠ABC，C∴∠ABC∴∠BAC∵∠1=∠DAA'∵∠DAA'∴∠1+∠2=2∠BAC∴BA'平分∠ABC，C∴AA'平分∴∠DA∵∠1=40°，∴∠ADE故選：C．【點睛】本題考查了折疊的性質、三角形的內角和定理、角平分線的定義、三角形的外角的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識．【變式62】（2023春·廣東湛江·八年級嶺師附中校聯考期末）如圖，將紙片△ABC沿DE折疊，點A落在邊BC上點F處，已知∠1+∠2=100°，則∠A

【答案】50°【分析】連接AF，先根據折疊的性質可得∠DAE【詳解】解：如圖，連接AF，

由折疊的性質得：∠DAE∵∠1=∠DAF+∠DFA，∠2=∠∴∠DAF+∠DFA∴2∠DAE解得∠DAE故答案為：50°．【點睛】本題考查了折疊的性質、三角形的外角性質，熟練掌握折疊的性質是解題關鍵．【變式63】（2023春·遼寧沈陽·八年級沈陽市第七中學?？计谀┤鐖D，把△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在圖中的A'處，若∠A=28°，∠BD【答案】34°【分析】利用折疊性質得∠ADE=∠A'DE=45°，∠AED=∠A【詳解】解：∵∠BD∴∠AD∵△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在圖中的A∴∠ADE=∠A∵∠CED∴∠AED∴∠A∴∠A故答案為：34°．【點睛】本題考查了折疊的性質，三角形外角的性質，三角形內角和定理等，理解題意，熟練掌握綜合運用各個知識點是解題關鍵．【題型7應用三角形的外角性質解決三角板組合問題】【例7】（2023春·江蘇·八年級開學考試）如圖所示，一副三角板疊放在一起，則圖中∠α的度數為（A．45° B．50° C．75° D．80°【答案】C【分析】由題意得∠E=90°，∠EAC=60°，∠DAC【詳解】解：如圖：由題意得，∠E=90°，∠EAC∴∠EAD∴∠ADC∴α=180°-∠ADC=75°故選：C．【點睛】本題主要考查三角形的外角，熟練掌握三角形的外角的性質，三角形一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，是解決本題的關鍵．【變式71】（2023春·四川瀘州·八年級統考期末）如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么∠1等于（

）A．45° B．60° C．105° D．120°【答案】C【分析】如圖，易得∠DAC=45°，利用三角形的外角的性質，得到【詳解】解：如圖，∠C∴∠DAC∴∠1=∠DAC故選C．【點睛】本題考查三角板中角度的計算，三角形的外角的性質．熟練掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和，是解題的關鍵．【變式72】（2023春·安徽淮北·八年級統考期中）將一副三角板按如圖的方式擺放，若∠1=70°，則∠2的度數是（

）A．140° B．150° C．155° D．160°【答案】A【分析】根據對頂角的性質，三角形的外角性質先求出∠4的度數，然后根據三角形的內角和求出∠5的度數，從而得出∠6的度數，最后根據三角形外角的性質可得出結果．【詳解】解：∠3，∠4，∠5，∠6如圖所示，∵∠1=30°+∠3=70°，∴∠3=40°=∠4，∴∠5=90°∠4=50°=∠6，∴∠2=90°+∠6=140°，故選：A．【點睛】本題主要考查三角形外角的性質，三角形的內角和以及對頂角的性質，掌握基本性質是解題的關鍵．【變式73】（2023春·山東濱州·八年級統考期末）一副三角板如圖所示擺放，則∠α與∠β的數量關系為（A．∠α=∠βC．∠α+∠β【答案】C【分析】如圖設