專題07解三角形（面積問題（含定值，最值，范圍問題））(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：求三角形面積（定值問題） 2題型二：求三角形面積（最值問題，優先推薦基本不等式） 4題型三：求三角形面積（范圍問題，優先推薦正弦定理化角） 6三、專項訓練 8一、必備秘籍基本公式1、正弦定理及其變形基本公式2、余弦定理及其推論基本公式3、常用的三角形面積公式（1）；（2）（兩邊夾一角）；核心秘籍1、基本不等式①②核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面積取值范圍，優先考慮化角求范圍）利用正弦定理，，代入面積公式，化角，再結合輔助角公式，根據角的取值范圍，求面積的取值范圍.二、典型題型題型一：求三角形面積（定值問題）1．（2023·陜西渭南·統考模擬預測）已知的內角的對邊分別為，且．(1)求角B；(2)若，求的面積．2．（2023·湖南永州·統考一模）在中，設所對的邊分別為，且滿足．(1)求角；(2)若的內切圓半徑，求的面積．3．（2023·云南·校聯考模擬預測）已知．在中，．(1)求角的大小；(2)是邊上的一點，且，平分，且，求的面積．4．（2023·福建·校聯考模擬預測）設的內角，，的對邊分別為，，，已知，，且.(1)求；(2)求的面積.5．（2023·遼寧沈陽·沈陽鐵路實驗中學校考二模）如圖，在四邊形中，與互補，．

(1)求；(2)求四邊形的面積．6．（2023·江蘇揚州·儀征中學校考模擬預測）設的內角所對邊分別為，若．(1)求的值;(2)若且三個內角中最大角是最小角的兩倍，當周長取最小值時，求的面積．題型二：求三角形面積（最值問題，優先推薦基本不等式）1．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）在中，角的對邊分別是，且.(1)求角；(2)若的中線長為，求面積的最大值.2．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，邊BC上有一動點D.(1)求角A的大小；(2)當D為邊BC中點時，，求面積的最大值.3．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學校考模擬預測）在中，角，，所對的邊分別是，，，若.(1)求角的大小；(2)若，求的面積的最大值.4．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中校考模擬預測）在中，內角的對邊分別為，從①，②，③，這三個條件中任選一個作為題目的補充條件，你的選擇是___________，并解答下面問題：(1)求角的大小；(2)若，求面積的最大值.5．（2023·貴州畢節·校考模擬預測）已知的內角的對邊分別是，．(1)求；(2)若，求面積的最大值．6．（2023·福建南平·統考模擬預測）已知中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)設AD是BC邊上的高，且，求面積的最小值．題型三：求三角形面積（范圍問題，優先推薦正弦定理化角）1．（2023·湖南郴州·統考一模）已知向量，，函數.(1)若，求的值；(2)已知為銳角三角形，，，為的內角，，的對邊，，且，求面積的取值范圍.2．（2023·浙江嘉興·統考模擬預測）在中，內角，，的對邊分別為，，，且，．(1)若邊上的高等于1，求；(2)若為銳角三角形，求的面積的取值范圍．3．（2023·上海閔行·上海市七寶中學校考三模）如圖，是邊長為2的正三角形所在平面上一點（點、、、逆時針排列），且滿足，記.

(1)若，求的長；(2)用表示的面積，并求的取值范圍.4．（2023·江蘇南京·南京師大附中校考模擬預測）已知、、分別為的三個內角、、的對邊長，，且．(1)求角的值；(2)求面積的取值范圍．5．（2023·重慶·統考模擬預測）在銳角中，角A、B、C的對邊分別為a、b，c，其面積為S，且．(1)求角A的大小；(2)若，求S的取值范圍．三、專項訓練1．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學校考模擬預測）在中，角的對邊分別為，已知，則的面積為（

）A． B．5 C． D．2．（2023·甘肅定西·統考模擬預測）若三角形三邊長分別為a，b，c，則三角形的面積為，其中，這個公式被稱為海倫—秦九韶公式.已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，a＝6，則面積的最大值為（

）A．8 B．12 C．16 D．203．（2023·四川宜賓·統考三模）在中，角A，B，C所對邊分別記為a，b，c，若，，則面積的最大值是（

）A． B．2 C． D．4．（2023·西藏拉薩·統考一模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（

）A． B． C．12 D．165．（2023·甘肅·統考一模）在如圖所示的平面四邊形ABCD中，，，記△ABD，△BCD的面積分別為，則的最大值為.

6．（2023·四川眉山·仁壽一中校考模擬預測）在中，已知，，，當取得最小值時，的面積為7．（2023·四川·校聯考一模）在中，，，當取最大值時，的面積為.8．（2023·江西南昌·南昌縣蓮塘第一中學校聯考二模）在△ABC中，若，且，則的面積是．9．（2023·廣西南寧·南寧二中校考模擬預測）在中，，點D在線段AC上，且，，則面積的最大值為．10．（2023·福建泉州·統考模擬預測）的內角所對的邊分別為，且滿足.(1)求；(2)若平分，且，，求的面積.11．（2023·江蘇無錫·校考模擬預測）已知函數.(1)求函數的最小正周期和單調遞增區間；(2)在中，內角所對的邊分別是，且，若，求的面積.12．（2023·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預測）在中，角的對邊分別為，滿足，且．(1)求的大小；(2)若，求的面積．13．（2023·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測）已知函數(1)求的單調增區間;(2)設是銳角三角形，角的對邊分別為，若，求的面積.14．（2023·山東泰安·統考模擬預測）如圖，平面四邊形中，的三內角對應的三邊為．給出以下三個條件：①②③的面積為(1)從以上三個條件中任選一個，求角；(2)設，在（1）的條件下，求四邊形的面積的最大值．18．（2023·河南·模擬預測）的內角A，B，C的對邊分別為，，，.(1)求；(2)若在線段上且和都不重合，，求面積的取值范圍.19．（2023·湖南郴州·統考模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若D是BC上一點，且，求面積的最大值．

專題07解三角形（面積問題（含定值，最值，范圍問題））(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：求三角形面積（定值問題） 2題型二：求三角形面積（最值問題，優先推薦基本不等式） 6題型三：求三角形面積（范圍問題，優先推薦正弦定理化角） 11三、專項訓練 15一、必備秘籍基本公式1、正弦定理及其變形基本公式2、余弦定理及其推論基本公式3、常用的三角形面積公式（1）；（2）（兩邊夾一角）；核心秘籍1、基本不等式①②核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面積取值范圍，優先考慮化角求范圍）利用正弦定理，，代入面積公式，化角，再結合輔助角公式，根據角的取值范圍，求面積的取值范圍.二、典型題型題型一：求三角形面積（定值問題）1．（2023·陜西渭南·統考模擬預測）已知的內角的對邊分別為，且．(1)求角B；(2)若，求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）根據，由正弦定理可得，又，所以可得，即；因為，所以即．（2）由結合（1）中的結論，由余弦定理可得，即，解得，即，所以．即的面積為.2．（2023·湖南永州·統考一模）在中，設所對的邊分別為，且滿足．(1)求角；(2)若的內切圓半徑，求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，由得，即,故，由于，故，而，故.（2）由可得，而，故，則，由的內切圓半徑，可得，即，即，故，解得，故的面積.3．（2023·云南·校聯考模擬預測）已知．在中，．(1)求角的大小；(2)是邊上的一點，且，平分，且，求的面積．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）依題意，，由，得，而，即，因此，所以.（2）在中，由及正弦定理，得，由（1）及平分，得，又，由，得，即，解得，，所以的面積.4．（2023·福建·校聯考模擬預測）設的內角，，的對邊分別為，，，已知，，且.(1)求；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由及，得，由正弦定理得所以，，所以，又因為，所以.（2）由結合正弦定理得，即所以或.又因為，所以.所以，因為，所以，所以，即的面積為.5．（2023·遼寧沈陽·沈陽鐵路實驗中學校考二模）如圖，在四邊形中，與互補，．

(1)求；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）連接，如圖，

與互補，與互補，在中，，即，得，在中，，即，得，又與互補，，故；（2）由（1）得，，由（1）得，，．6．（2023·江蘇揚州·儀征中學校考模擬預測）設的內角所對邊分別為，若．(1)求的值;(2)若且三個內角中最大角是最小角的兩倍，當周長取最小值時，求的面積．【答案】(1)2(2)【詳解】（1）因為，所以，因為，所以，所以，由正弦定理，得，即．（2）由可得：，故，于是，由正弦定理及余弦定理可得：，解得：(舍)或者，故，因為，所以當時，周長最小，此時，所以，所以的面積為．題型二：求三角形面積（最值問題，優先推薦基本不等式）1．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）在中，角的對邊分別是，且.(1)求角；(2)若的中線長為，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，由正弦定理得：，而，所以，化簡得，因為，所以，，即，所以，又因為，所以，即.（2）由是的中線，，所以，即，所以，所以，當且僅當時，等號成立，所以三角形面積，即的面積的最大值為.2．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，邊BC上有一動點D.(1)求角A的大小；(2)當D為邊BC中點時，，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，即.由正弦定理，得.因為，所以.因為，所以.又因為，所以，則.（2）因為D為邊BC中點，所以，則.又，，所以，即，僅當時取等號，所以，故面積的最大值為.3．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學校考模擬預測）在中，角，，所對的邊分別是，，，若.(1)求角的大小；(2)若，求的面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，，所以可化為，所以，又因為解得，又因為，所以.（2）由余弦定理得，所以，又，所以，所以，又因為，當且僅當時等號成立，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以三角形的面積，當且僅當時等號成立，所以三角形面積的最大值為.4．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中校考模擬預測）在中，內角的對邊分別為，從①，②，③，這三個條件中任選一個作為題目的補充條件，你的選擇是___________，并解答下面問題：(1)求角的大小；(2)若，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）選擇①，且由正弦定理得：，，即：由余弦定理得：，在中，，即：.選擇②，且由正弦定理得：，，整理得：，在中，，即：，又，即：.選擇③，且在中：，即：，又，則.（2）由（1）得：，且，且，，即：當且僅當時，等號成立.又面積為：面積的最大值為：.5．（2023·貴州畢節·校考模擬預測）已知的內角的對邊分別是，．(1)求；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，知，則．（2）由（1）知，由基本不等式可得，即，當且僅當時等號成立，故的面積，當且僅當時等號成立，即時，面積的最大值取最大值，最大值為.6．（2023·福建南平·統考模擬預測）已知中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)設AD是BC邊上的高，且，求面積的最小值．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）在中，由及二倍角公式，得，即，整理得，因此，即，而，所以.（2）由（1）及已知，得，即有，由余弦定理得，即，因此，即，于是，當且僅當時取等號，而，所以面積的最小值為.題型三：求三角形面積（范圍問題，優先推薦正弦定理化角）1．（2023·湖南郴州·統考一模）已知向量，，函數.(1)若，求的值；(2)已知為銳角三角形，，，為的內角，，的對邊，，且，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1），，則；；（2），又，所以，，得，即，因為，所以，所以，所以，解得，則故，即面積的取值范圍為.2．（2023·浙江嘉興·統考模擬預測）在中，內角，，的對邊分別為，，，且，．(1)若邊上的高等于1，求；(2)若為銳角三角形，求的面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理，，所以，則，又，所以，因為，所以，解得，又由余弦定理，，解得，所以．（2）由正弦定理有，且由（1）可知，所以，又因為銳角，所以，解得，所以，所以，所以，所以面積的取值范圍是．3．（2023·上海閔行·上海市七寶中學校考三模）如圖，是邊長為2的正三角形所在平面上一點（點、、、逆時針排列），且滿足，記.

(1)若，求的長；(2)用表示的面積，并求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，且是邊長為2的正三角形，則，且，所以在中，由余弦定理得，所以；（2）由，則，則，在中，由正弦定理有，得，所以，又，且，則，所以，所以，則，故的取值范圍為.4．（2023·江蘇南京·南京師大附中校考模擬預測）已知、、分別為的三個內角、、的對邊長，，且．(1)求角的值；(2)求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由條件，可得，由正弦定理，得，所以，所以，因為，所以．（2）由正弦定理，可知，，∵，∴，∴.5．（2023·重慶·統考模擬預測）在銳角中，角A、B、C的對邊分別為a、b，c，其面積為S，且．(1)求角A的大小；(2)若，求S的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）在銳角中，，由余弦定理，得，即，又，，因此，有，而，解得，所以.（2）由（1）知，，，由正弦定理得：，即，則，又是銳角三角形，則有，即，亦即，于是，，所以S的取值范圍是.三、專項訓練1．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學校考模擬預測）在中，角的對邊分別為，已知，則的面積為（

）A． B．5 C． D．【答案】A【詳解】在中，因為，可得，由正弦定理，可得，又因為，可得，所以，所以，則.故選：A.2．（2023·甘肅定西·統考模擬預測）若三角形三邊長分別為a，b，c，則三角形的面積為，其中，這個公式被稱為海倫—秦九韶公式.已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，a＝6，則面積的最大值為（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【詳解】在中，因為，所以，又a＝6，所以，可得，且，故的面積，當且僅當，即時取等號，故面積的最大值為12.故選：B3．（2023·四川宜賓·統考三模）在中，角A，B，C所對邊分別記為a，b，c，若，，則面積的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【詳解】由余弦定理可得，所以.因為，，所以，即，解得.所以，當時，.故選：D.4．（2023·西藏拉薩·統考一模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（

）A． B． C．12 D．16【答案】B【詳解】由正弦定理及，得，所以，所以，即，所以.由正弦定理得.因為，所以，又，所以由余弦定理得，解得，所以的面積為.故選：B.5．（2023·甘肅·統考一模）在如圖所示的平面四邊形ABCD中，，，記△ABD，△BCD的面積分別為，則的最大值為.

【答案】【詳解】在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，，整理可得：，，，，則當時，.故答案為：.6．（2023·四川眉山·仁壽一中校考模擬預測）在中，已知，，，當取得最小值時，的面積為【答案】【詳解】

令，則，由，得，在中，，在中，，于是，令，則，而，則有，由余弦定理得，整理得，即，，則，當時，取得最小值，在中，，所以.故答案為：7．（2023·四川·校聯考一模）在中，，，當取最大值時，的面積為.【答案】【詳解】在中，利用正弦定理，所以，，有，即，其中，，取最大值，即時，有，，所以，，所以.故答案為：.8．（2023·江西南昌·南昌縣蓮塘第一中學校聯考二模）在△ABC中，若，且，則的面積是．【答案】【詳解】因為，所以，解得又，所以，所以．故答案為：9．（2023·廣西南寧·南寧二中校考模擬預測）在中，，點D在線段AC上，且，，則面積的最大值為．【答案】【詳解】設，則，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，由于，得，即，整理，得，在中，由余弦定理，得，即，代入式化簡整理，得，由，解得，當且僅當時，等號成立，所以面積的最大值為.故答案為：.10．（2023·福建泉州·統考模擬預測）的內角所對的邊分別為，且滿足.(1)求；(2)若平分，且，，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解法一：因為，所以由正弦定理可得，即，，所以，又，所以，因為，所以.解法二：在中，由余弦定理得，，又因為，所以，即，所以，因為，所以.（2）解法一：因為，所以，兩邊平方得，即①，又因為平分，所以，即②，由①②，解得，，所以.

解法二：在中，，所以，又因為平分，所以，即①，在中，由余弦定理，得，即②，在中，由余弦定理，得，即③，由①②③解得，，所以.解法三：過點作交于點，

因為，且平分，所以，所以為等邊三角形，所以，又因為，所以，，所以.11．（2023·江蘇無錫·校考模擬預測）已知函數.(1)求函數的最小正周期和單調遞增區間；(2)在中，內角所對的邊分別是，且，若，求的面積.【答案】(1)最小正周期為，單調遞增區間為.(2)【詳解】（1），所以函數的最小正周期為.令，得，故函數的單調遞增區間為.（2）由，得，由得，所以，得.由余弦定理得，即，因為，所以，從而有，得，則12．（2023·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預測）在中，角的對邊分別為，滿足，且．(1)求的大小；(2)若，求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因為，由正弦定理得，可得，又因為，所以，且，所以，因為，所以.（2）解：因為，在中，可得，即，又因為，可得，聯立方程組，解得，由正弦定理，可得，所以.13．（2023·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測）已知函數(1)求的單調增區間;(2)設是銳角三角形，角的對邊分別為，若，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1），令，，解得，，取，則故函數在的單調遞增區間為（2）由，可得，因為，可得，可得，故，因為，，由余弦定理得，解得或，由于，故舍去，只取，當時，14．（2023·山東泰安·統考模擬預測）如圖，平面四邊形中，的三內角對應的三邊為．給出以下三個條件：①②③的面積為(1)從以上三個條件中任選一個，求角；(2)設，在（1）的條件下，求四邊形的面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（