2025屆河北省唐山市五校高二數學第一學期期末學業水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若曲線f(x)＝x2的一條切線l與直線平行，則l的方程為（）A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0C.x－4y＋3＝0 D.4x＋y＋4＝02．圓上到直線的距離為的點共有A.個 B.個C.個 D.個3．瑞士數學家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．后人稱這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點，其歐拉線方程為，則頂點C的坐標是（）A.（） B.（）C.（） D.（）4．設變量，滿足約束條件則的最小值為（）A.3 B.－3C.2 D.－25．已知，若是函數一個零點，則的值為()A.0 B.C.1 D.6．設函數，則下列函數中為奇函數的是（）A. B.C. D.7．在下列四條拋物線中，焦點到準線的距離為1的是（）A. B.C. D.8．中國農歷的二十四節氣是中華民族的智慧與傳統文化的結晶，二十四節氣歌是以春、夏、秋、冬開始的四句詩.在國際氣象界，二十四節氣被譽為“中國的第五大發明”.2016年11月30日，二十四節氣被正式列入聯合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作名錄.某小學三年級共有學生600名，隨機抽查100名學生并提問二十四節氣歌，只能說出一句的有45人，能說出兩句及以上的有38人，據此估計該校三年級的600名學生中，對二十四節氣歌一句也說不出的有（）A.17人 B.83人C.102人 D.115人9．已知等差數列，若，，則（）A.1 B.C. D.310．已知函數在處有極小值，則c的值為（）A.2 B.4C.6 D.2或611．設為坐標原點，拋物線的焦點為，為拋物線上一點．若，則的面積為（）A. B.C. D.12．某雙曲線的一條漸近方程為，且焦點為，則該雙曲線的方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某足球俱樂部選拔青少年隊員，每人要進行3項測試．甲隊員每項測試通過的概率均為，且不同測試之間相互獨立，設他通過的測試項目數為X，則_________14．已知函數的圖象上有一點，則曲線在點處的切線方程為______.15．定義方程的實數根叫做函數的“新駐點”.（1）設，則在上的“新駐點”為___________；（2）如果函數與的“新駐點”分別為、，那么和的大小關系是___________.16．已知.若在定義域內單調遞增，則實數的取值范圍為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數列的前項和為，已知，且（1）證明：；（2）求18．（12分）已知公差不為零的等差數列中，，且，，成等比數列.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）若，求數列的前項和.19．（12分）已知橢圓C：的長軸長為，P是橢圓上異于頂點的一個動點，O為坐標原點，A為橢圓C的上頂點，Q為PA的中點，且直線PA與直線OQ的斜率之積恒為-2.（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為k且過上焦點F的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，當點M，N到y軸距離之和最大時，求直線l的方程.20．（12分）男子10米氣步槍比賽規則如下：在資格賽中，射手在距離靶子10米處，采用立姿，在105分鐘內射擊60發子彈，總環數排名前8名的射手進入決賽；在決賽中，每位射手僅射擊10發子彈．已知甲乙兩名運動員均進入了決賽，資格賽中的環數情況整理得下表：環數頻數678910甲2352327乙5502525以各人這60發子彈環數的頻率作為決賽中各發子彈環數發生的概率，甲乙兩人射擊互不影響（1）求甲運動員在決賽中前2發子彈共打出1次10環的概率；（2）決賽打完第9發子彈后，甲比乙落后2環，求最終甲能戰勝乙（甲環數大于乙環數）的概率21．（12分）已知數列，若_________________（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和從下列三個條件中任選一個補充在上面的橫線上，然后對題目進行求解①；②，，；③，點，在斜率是2的直線上22．（10分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點（1）求證：；（2）求直線AB與平面所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設切點為，則切線的斜率為，然后根據條件可得的值，然后可得答案.【詳解】設切點為，因為，所以切線的斜率為因為曲線f(x)＝x2的一條切線l與直線平行，所以，即所以l的方程為，即故選：D2、C【解析】求出圓的圓心和半徑，比較圓心到直線的距離和圓的半徑的關系即可得解.【詳解】圓可變為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，圓上到直線的距離為的點共有個.故選：C.【點睛】本題考查了圓與直線的位置關系，考查了學生合理轉化的能力，屬于基礎題.3、A【解析】根據題意，求得的外心，再根據外心的性質，以及重心的坐標，聯立方程組，即可求得結果.【詳解】因為，故的斜率，又的中點坐標為，故的垂直平分線的方程為，即，故△的外心坐標即為與的交點，即，不妨設點，則，即；又△的重心的坐標為，其滿足，即，也即，將其代入，可得，，解得或，對應或，即或，因為與點重合，故舍去.故點的坐標為.故選：A.4、D【解析】轉化為，則最小即直線在軸上的截距最大，作出不等式組表示的可行域，數形結合即得解【詳解】轉化為，則最小即直線在軸上的截距最大作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線，平移該直線，當直線經過時，在軸上的截距最大，最小，此時，故選：D5、A【解析】首先根據題意求出，然后設函數，利用以及的單調性，并結合對數運算即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，不妨設，()，故，從而，易知在上單調遞增，故，即，從而.故選：A.6、A【解析】求出函數圖象的對稱中心，結合函數圖象平移變換可得結果.【詳解】因為，所以，，所以，函數圖象的對稱中心為，將函數的圖象向右平移個單位，再將所得圖象向下平移個單位長度，可得到奇函數的圖象，即函數為奇函數.故選：A7、D【解析】由題意可知，然后分析判斷即可【詳解】由題意知，即可滿足題意，故A，B，C錯誤，D正確.故選：D8、C【解析】根據頻率計算出正確答案.【詳解】一句也說不出的學生頻率為，所以估計名學生中，一句也說不出的有人.故選：C9、C【解析】利用等差數列的通項公式進行求解.【詳解】設等差數列的公差為，因為，，所以，解得.故選：C.10、A【解析】根據求出c，進而得到函數的單調性，然后根據極小值的定義判斷答案.【詳解】由題意，，則，所以或.若c=2，則，時，，單調遞增，時，，單調遞減，時，，單調遞增.函數在處有極小值，滿足題意；若c=6，則，函數R上單調遞增，不合題意.綜上：c=2.故選：A.11、D【解析】先由拋物線方程求出點的坐標，準線方程為，再由可求得點的橫坐標為4，從而可求出點的縱坐標，進而可求出的面積【詳解】由題意可得點的坐標，準線方程為，因為為拋物線上一點，，所以點的橫坐標為4，當時，，所以，所以的面積為，故選：D12、D【解析】設雙曲線的方程為，利用焦點為求出的值即可.【詳解】因為雙曲線的一條漸近方程為，且焦點為，所以可設雙曲線的方程為，則，，所以該雙曲線方程為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據二項分布的方差公式即可求出【詳解】因為，所以故答案為：14、【解析】利用導數求得為增函數，根據，求得，進而求得，得出即在點處的切線的斜率，再利用直線的點斜式方程，即可求解【詳解】由題意，點在曲線上，可得，又由函數，則，所以函數在上為增函數，且，所以，因為，所以，即在點處的切線的斜率為2，所以曲線在點的切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題主要考查了利用導數求解曲線在某點處的切線方程，其中解答中熟記導數的幾何意義，以及導數的運算公式，結合直線的點斜式方程是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力15、①.②.【解析】（1）根據“新駐點”的定義求得，結合可得出結果；（2）求出的值，利用零點存在定理判斷所在的區間，進而可得出與的大小關系.詳解】（1），，根據“新駐點”的定義得，即，可得，，解得，所以，函數在上的“新駐點”為；（2），則，根據“新駐點”的定義得，即.，則，由“新駐點”的定義得，即，構造函數，則函數在定義域上為增函數，，，，由零點存在定理可知，，.故答案為：（1）；（2）.【點睛】本題考查導數的計算，是新定義的題型，關鍵是理解“新駐點”的定義.16、【解析】將問題轉化為在上恒成立，再分離參數轉化為求函數的最值問題即可得到實數的取值范圍【詳解】因為，所以；因為在內單調遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因為，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）當時，由題可得，，兩式子相減可得，即，然后驗證當n=1時，命題成立即可；（2）通過求解數列的奇數項與偶數項的和即可得到其對應前n項和的通項公式.【詳解】（1）由條件，對任意，有，因而對任意，有，兩式相減，得，即，又，所以，故對一切，（2）由（1）知，，所以，于是數列是首項，公比為3的等比數列，數列是首項，公比為3的等比數列，所以，于是從而，綜上所述，.【點睛】已知數列{an}的前n項和Sn，求數列的通項公式，其求解過程分為三步：（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）便可求出當n≥2時an的表達式；（3）對n＝1時的結果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分n＝1與n≥2兩段來寫．數列求和的常用方法有倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法，分組求和法，并項求和法等，可根據通項特點進行選用.18、（1）（2）【解析】（Ⅰ）將數列中的項用和表示，根據等比數列的性質可得到關于的一元二次方程可求得的值，即可得到數列的通項公式；（Ⅱ）根據（Ⅰ）可求得的通項公式，用分組求和法可得其前項和.試題解析：（Ⅰ）設等差數列的公差為，因，且，，成等比數列，即，，成等比數列，所以有，即，解得或（舍去），所以，，數列的通項公式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.點睛：本題主要考查了等差數列，等比數列的概念，以及數列的求和，屬于高考中常考知識點，難度不大；常見的數列求和的方法有公式法即等差等比數列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數列，裂項相消法類似于，錯位相減法類似于，其中為等差數列，為等比數列等.19、（1）（2）【解析】（1）設點，求出直線、直線的斜率相乘可得，結合可得答案；（2）設直線l的方程為與橢圓方程聯立，代入得，設，再利用基本不等式可得答案.【小問1詳解】由題意可得，，即，則，設點，∵Q為的中點，∴，∴直線斜率，直線的斜率，∴，又∵，∴，則，解得，∴橢圓C的方程為.【小問2詳解】由（1）知，設直線l的方程為，聯立化簡得，，設，則，易知M，N到y軸的距離之和為，，設，∴，當且僅當即時等號成立，所以當時取得最大值，此時直線l的方程為.20、（1）（2）【解析】（1）先求出甲運動員打中10環的概率，從而可求出甲運動員在決賽中前2發子彈共打出1次10環的概率；（2）由于甲比乙落后2環，所以甲要獲勝，則乙6環，甲9環或10環，或者乙7環，甲10環，再利用獨立事件和互斥事件的概率公式求解即可【小問1詳解】由表中的數據可得甲運動員打中10環的概率為，所以甲運動員在決賽中前2發子彈共打出1次10環的概率為【小問2詳解】因為甲比乙落后2環，所以甲要獲勝，則乙打中6環，甲打中9環或10環，或者乙打中7環，甲打中10環，因為由題意可得乙打中6環的概率和打中7環的概率均為，甲打中9環的概率為，打中10環的概率為，且甲乙兩人射擊互不影響所以最終甲能戰勝乙的概率為21、答案見解析.【解析】（1）若選①，根據通項公式與前項和的關系求解通項公式即可；若選②，根據可得數列為等差數列，利用基本量法求解通項公式即可；若選③，根據兩點間的斜率公式可得，可得數列為等差數列進而求得通項公式；（2）利用裂項相消求和即可【詳解】解：（1）若選①，由，所以當，，兩式相減可得：，而在中，令可得：，符合上式，故若選②，由（，）可得：數列為等差數列，又因為，，所以，即，所以若選③，由點，在斜率是2的直線上得：，即，所