5.1.2數據的數字特征（1）考點學習目標最值、平均數、中位數、百分位數會求樣本數據的最值、平均數、中位數、百分位數，并理解它們的意義和作用方差、標準差會求樣本數據的方差、標準差，并理解它們的意義和作用【學習重點】熟練掌握樣本的最值、平均數、中位數、眾數、極差、方差、標準差等概念，并理解它們的意義和作用【學習難點】樣本的平均數、中位數、百分位數、方差、標準差的意義與作用問題1：最值一組數據的指的是其中的最大值與最小值，最值反映的是這組數最極端的情況，一般地，最大值用表示，最小值用表示.問題2：平均數如果給定的一組數是，則這組數的平均數為：這一公式在數學中常簡記為：注：（1）其中的符號表示求和，讀作“西格瑪“，右邊式子中的i表示求和的范圍，其最小值和最大值分別寫在的下面和上面.（2）求和符號具有以下性質：（3）平均數會受每一個數的影響，尤其是最大值、最小值。很多情況下，為了避免過于極端的值影響結果太大等，會去掉最低分與最高分后再計算平均數.（4）一般地，利用平均數地計算公式可知，如果的平均數為，且為常數，則的平均數為鞏固練習：1．某同學使用計算器求30個數據的平均數時，錯將其中一個數據105輸入為15，則由此求出的平均數與實際平均數的差是()A．3.5 B．－3C．3 D．－0.52．已知一組數據為20,30,40,50,50,60,70,80.則這組數據的平均數是________.問題3：中位數、百分位數一般地，有時也可以借助中位數來表示一組數的中心位置：（1）如果一組數有奇數個數，且按照從小到大排列后為，則稱______為這組數的中位數；（2）如果一組數有偶數個數，且按照從小到大排列后為，則稱______為這組數的中位數.一組數的分位數指的是滿足下列條件的一個數值：注：（1）直觀來說，一組數的分位數指的是，將這組數按照從小到大的順序排列后，處于位置的數，例如中位數就是一個分位數.（2）按照定義可知，分位數可能不唯一（3）設一組數按照從小到大排列后為，計算的值，如果不是整數，設為大于的最小整數，取為分位數：如果是整數，取為分位數。特別的，規定：分位數是（是最小值），分位數是（即最大值）.（4）實際應用中，除了中位數外，經常使用的是分位數（簡稱為第一四分位數）與分位數（簡稱為第三四分位數）例1.計算上述嘗試與發現中甲、乙兩組數的75%分位數.鞏固練習：1．以下10個數據：49,64,50,48,65,52,56,46,54,51的中位數是________.2．某同學在7天內每天參加體育鍛煉的時間(單位：分鐘)如下65,65,66,74,73,81,80，則它們的第三四分位數是________.問題4：眾數一組數據中，某個數據出現的次數稱為這個數據的頻數，_________的數據稱為這組數據的眾數.鞏固練習：1．一個樣本數據如下：5.3,5.2,5.1,5,3.3,4,4.5,3.2,4.5.則該樣本的眾數和中位數分別為()A．4.5和5 B．4.5和4C．4.5和4.5 D．4.5和4.752．一組觀察值4,3,5,6出現的次數分別為3,2,4,2，則樣本平均值為()A．4.55 B．4.5C．12.5 D．1.64問題5：極差、方差、標準差極差：一組數的極差指的是，不滿看出，極差反映了一組數的變化范圍，描述了這組數的.描述一組數的離散程度的量還有方差和標準差.方差：如果的平均數為，則方差可用求和符號表示為：注：如果a,b為常數，則：的方差為，這是因為標準差：方差的稱為標準差；注：如果一組數中，各數據值都相等，則標準差為，表面數據沒有波動，數據沒有離散；若各數據的值與平均數的差的絕對值較大，則標準差，表明數據的波動幅度，數據的離散程度，因此標準差描述了數據相對平均數的離散程度.例2.計算下列各組數的平均數與方差（1）18.9，19.5，19.5，19.2，19，18.8，19.5；（2）2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，5，