PAGE4簡潔計數問題授課提示：對應學生用書第17頁[自主梳理]解答排列組合問題首先要仔細審題，弄清晰是排列問題還是組合問題，還是排列與組合的綜合問題，其次要抓住問題的本質特征．1．對于比較困難的組合問題，常常不是簡潔地用一個組合公式就可以得到結果的，而須要分________，恰當地運用__________、__________、__________，才能得到正確的計算式子，特殊是對有肯定限制條件的問題，列式時更要謹慎當心．2．較為困難的排列組合應用題，往往通過________或________轉化為簡潔的排列組合應用題，________是常常應用的選取程序．[雙基自測]1．從8名女生和4名男生中，抽取3名學生參與某檔電視節目，假如按性別比例分層抽樣，則不同的抽樣方法數為()A．224 B．112C．56 D．282．5個人站成一排，若甲、乙兩人之間恰有2人，則不同的站法種數為()A．18 B．20C．24 D．483．將4本不同的書擺在書架上，其中A，B兩本書必需相鄰的擺法有________種．4．甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有________種．[自主梳理]1．各種狀況兩個基本計數原理排列數公式組合數公式2.分類分步先組合后排列[雙基自測]1．B依據分層抽樣，從12個人中抽取男生1人，女生2人，所以取2個女生1個男生的方法有Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,4)＝112種，故選B.2．C將甲乙和中間站的人視為一個元素，與剩余1人進行全排列，故不同站法有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝24(種)．3．12先將A、B看成整體與另外兩本書進行排列，再將A、B進行排列，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,2)＝12種擺法．4．30用間接法求得，Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,4)－Ceq\o\al(2,4)＝30(種)．授課提示：對應學生用書第17頁探究一“先選后排法”的應用[例1](1)將數字1,2,3,4,5,6排成一列，記第i個數為ai(i＝1,2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，則不同的排列方法種數為()A．18 B．30C．36 D．48(2)設集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中滿意條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”A．60 B．90C．120 D．130解析：(1)由于a1，a3，a5的大小依次已定，且a1≠1，a3≠3，a5≠5，所以a1可取2,3,4，若a1＝2或3，則a3可取4,5，當a3＝4時，a5＝6，當a3＝5時，a5＝6；若a1＝4，則a3＝5，a5＝6.而其他的三個數字可以隨意排列，因而共有(2×2＋1)Aeq\o\al(3,3)＝30種排列方法．(2)易知|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1或2或3，下面分三種狀況探討．其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，此時，從x1，x2，x3，x4，x5中任取一個讓其等于1或－1，其余等于0，于是有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)＝10種狀況；其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此時，從x1，x2，x3，x4，x5中任取兩個讓其都等于1或都等于－1或一個等于1、另一個等于－1，其余等于0，于是有2Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2)＝40種狀況；其三：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝3，此時，從x1，x2，x3，x4，x5中任取三個讓其都等于1或都等于－1或兩個等于1、另一個等于－1或兩個等于－1、另一個等于1，其余等于0，于是有2Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＝80種狀況．由于10＋40＋80＝130，故答案為D.答案：(1)B(2)D對于困難的排列問題，先選出符合要求的元素，再考慮元素的依次，實質是運用排列的定義，把事務分為兩個步驟完成，這種方法常稱之為“先選后排法”．1．(1)某城市的汽車牌照號碼由2個英文字母后接4個數字組成，其中4個數字互不相同的牌照號碼共有()A．(Ceq\o\al(1,26))2Aeq\o\al(4,10)個 B．Aeq\o\al(2,26)Aeq\o\al(4,10)個C．(Ceq\o\al(1,26))2104個 D．Aeq\o\al(2,26)104個(2)設集合A＝{1,2,3,4,5,6,7}，映射f：A→A滿意f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)，則這樣的映射f的個數為()A．Aeq\o\al(4,7)Aeq\o\al(3,3) B．Ceq\o\al(4,7)C．77 D．Ceq\o\al(4,7)73解析：(1)英文字母可以相同，故有(Ceq\o\al(1,26))2種選法，而數字有0～9共10個，不允許重復，故有Aeq\o\al(4,10)種排法，由分步乘法計數原理，滿意要求的牌照號碼共有(Ceq\o\al(1,26))2Aeq\o\al(4,10)個，故選A.(2)先從集合A中任取4個不同的元素作為一個組合，并按從小到大的依次賦為1,2,3,4在映射f下的象，有Ceq\o\al(4,7)種方法，再依次為5,6,7確定象，有73種方法，故滿意題意的映射f的個數為Ceq\o\al(4,7)·73.答案：(1)A(2)D探究二分組安排問題[例2]有6本不同的書，依據以下需求處理，各有幾種分法？(1)平均分給甲、乙、丙三人；(2)甲得1本，乙得2本，丙得3本；(3)一人得1本，一人得2本，一人得3本；(4)平均分成三堆(組)；(5)一堆1本，一堆2本，一堆3本．[解析](1)每人得2本，可考慮甲先在6本書中任取2本，取法有Ceq\o\al(2,6)種，再由乙在余下的書中取2本，取法有Ceq\o\al(2,4)種，最終由丙取余下的2本書，有Ceq\o\al(2,2)種取法，由分步乘法計數原理可知共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90種分法．(2)選取方法同(1)，所以共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種分法．(3)在(2)中甲得1本，乙得2本，丙得3本的基礎上，考慮到甲、乙、丙三人的同等地位，讓甲、乙、丙三人全排列調換位置，所以共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360種分法．(4)由于三堆的位置并無差別，可用(1)的分法數除以Aeq\o\al(3,3)，所以共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15種分法．(5)共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種分法．(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：①完全勻稱分組，每組的元素個數均相等；②部分勻稱分組，應留意不要重復，若有n組勻稱，最終必需除以n！；③完全非勻稱分組，這種分組不考慮重復現象．(2)安排問題屬于“排列”問題，安排問題可以按要求逐個安排，也可以分組后再安排．2．(1)有甲、乙、丙三項任務，甲需2人擔當，乙、丙各需1人擔當，從10人中選派4人擔當這三項任務，不同的選法有__________種．(2)在送醫下鄉活動中，某醫院支配甲、乙、丙、丁、戊五名醫生到三所鄉醫院工作，每所醫院至少支配一名醫生，且甲、乙兩名醫生擔心排在同一醫院工作，丙、丁兩名醫生也擔心排在同一醫院工作，則不同的安排方法總數為________．解析：(1)先考慮分組，即10人中選4人分為三組，其中兩組各一人，另一組二人，共有eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(1,9)C\o\al(2,8),A\o\al(2,2))種分法．再考慮排列，甲任務需2人擔當，因此2人的那個組只能擔當甲任務，而一個人的兩組既可以擔當乙任務又可以擔當丙任務，所以共有eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(1,9)C\o\al(2,8),A\o\al(2,2))Aeq\o\al(2,2)＝2520種不同的選法．(2)當兩所2人一所1人時，有eq\f(C\o\al(2,5)·C\o\al(2,3)·A\o\al(3,3),A\o\al(2,2))種，其中甲乙或丙丁在同一醫院有Aeq\o\al(3,3)＋4Aeq\o\al(3,3)種；當一所3人兩所1人時，有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(3,3)種，故滿意條件的安排方法總數為eq\f(C\o\al(2,5)·C\o\al(2,3)·A\o\al(3,3),A\o\al(2,2))－Aeq\o\al(3,3)－4Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(3,3)＝84.答案：(1)2520(2)84探究三排列組合的綜合應用[例3]從1到9的九個數字中取三個偶數和四個奇數．(1)能組成多少個沒有重復數字的七位數？(2)在(1)中的七位數中，三個偶數排在一起的有幾個？(3)在(1)中的七位數中，偶數排在一起，奇數也排在一起的有幾個？(4)在(1)中的七位數中，隨意兩個偶數都不相鄰的七位數有幾個？[解析](1)分步完成：第一步，在4個偶數中取3個，可有Ceq\o\al(3,4)種狀況；其次步，在5個奇數中取4個，可有Ceq\o\al(4,5)種狀況；第三步，把3個偶數，4個奇數進行排列，可有Aeq\o\al(7,7)種狀況．所以符合題意的七位數有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(7,7)＝100800(個)．(2)上述七位數中，3個偶數排在一起的有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(5,5)＝14400(個)．(3)上述七位數中，3個偶數排在一起，4個奇數也排在一起的有：Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝5760(個).(4)上述七位數中，偶數都不相鄰，可先把4奇數排好，再把3個偶數分別插入5個空當中，共有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝28800(個)．解決排列、組合問題的一般策略(1)特殊元素優先支配的策略；(2)正難則反，等價轉化的策略；(3)相鄰問題，捆綁處理的策略；(4)不相鄰問題，插空處理的策略；(5)定序問題，除法處理的策略；(6)“小集團”排列問題，先整體后局部的策略；(7)平均分組問題，除法處理的策略；(8)構造模型的策略．3．6個人進2間屋子，求滿意下列條件的安排方法各有多少種？(1)每屋內至少進1人；(2)每屋都進3人．解析：(1)解法一按第1間屋子內進入的數目可分5類：進1人，2人，3人，4人，5人．因此，要把這5類安排進屋的方法數加起來，對于每一類而言，如“第1間屋進4人，第2間進2人”這類安排方式，又可看成先派4人進入第1間屋，再派余下的2人進入第2間屋．這樣得到Ceq\o\al(4,6)·Ceq\o\al(2,2)種進屋方法，于是總共方法為Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(5,6)Ceq\o\al(1,1)＝62(種)．解法二從6人進2間屋子的各種安排方法數中減去不合題意的安排方法數來計算．不合題意的安排方法只有2種，即6人全進第1間或全進第2間．即間接法解得：26－2＝62(種)．(2)解法一先派3人進第1間屋，再讓其余3人進第2間屋，得安排方法為：Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(3,3)＝20(種)．解法二先把6人平均分成兩組，方法有：eq\f(C\o\al(3,6),A\o\al(2,2))(種)，然后再安排到房間，共有eq\f(C\o\al(3,6),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,2)＝20(種)．因重復計算或遺漏計算致誤[典例]4個不同的小球放入編號為1,2,3,4的4個盒子中，則恰好有一個空盒子的放法有________種(用數字作答)．[解析]由題設，必有一個盒子內放入2個球，從4個球中取出2個球，有Ceq\o\al(2,4)種取法，此時把它看作一個球，與另2個球共3個球放入4個盒子中，有Aeq\o\al(3,4)種放法，所以滿意題意的放法為Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,4)＝144(種)．[答案]144[錯因與防范]1.解答本題常見的錯解與錯因錯解一：從4個球中任取3個球，有Ceq\o\al(3,4)種取法，從4個盒子中任取3個盒子，有Ceq\o\al(3,4)種取法，將3個球放入到取出的3個盒子中，有Aeq\o\al(3,3)種取法，剩下的1個球放入到3個盒子中的一個，有3種放法．所以滿意題意的放法有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,4)·Aeq\o\al(3,3)·3＝288(種)．