PAGE課后素養落實(九)坐標法(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．在數軸上存在一點P，它到點A(－9)的距離是它到點B(－3)的距離的2倍，則P的坐標為()A．2B．－3C．5D．3或－5D[設所求點P的坐標為x，則|x－(－9)|＝2|x－(－3)|，所以x＝3或x＝－5，所以P(3)或P(－5)．]2．已知線段AB的中點在坐標原點，且A(x，2)，B(3，y)，則x＋y等于()A．5B．－1C．1D．－5D[易知x＝－3，y＝－2．∴x＋y＝－5．]3．△ABC的三個頂點的坐標分別為A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，則AB邊上的中線長為()A．eq\r(26)B．eq\r(65)C．eq\r(29)D．eq\r(13)A[邊AB的中點D的坐標為D(－1，－1)，∴|CD|＝eq\r(－1－42＋[－1－－2]2)＝eq\r(26)．]4．已知A(3，1)，B(2，4)，C(1，5)，且點A關于點B的對稱點為D，則|CD|＝()A．2B．4C．eq\f(\r(34),2)D．eq\f(34,4)A[由題意，設D(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)＝2，,\f(y＋1,2)＝4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝7，))∴D(1，7)．∴|CD|＝eq\r(1－12＋7－52)＝2，故選A．]5．已知A(x，5)關于C(1，y)的對稱點是B(－2，－3)，則P(x，y)到原點的距離為()A．4B．eq\r(13)C．eq\r(15)D．eq\r(17)D[由題意知點C是線段AB的中點，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝2，,2y＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1.))∴|OP|2＝17，∴|OP|＝eq\r(17)．]二、填空題6．在數軸上從點A(－3)引一線段到B(4)，再延長同樣的長度到C，則點C的坐標為________．11[∵d(A，B)＝4－(－3)＝7＝d(B，C)＝x－4，∴x＝11．]7．在數軸上有一點P，它到以點A(－10)，B(－4)為端點的線段中點的距離為2，則點P的坐標為________．－9或－5[設點P坐標為x，AB的中點為C，則C點坐標為eq\f(－10－4,2)＝－7，∵d(P，C)＝2，∴|PC|＝|x＋7|＝2，解得x＝－9或x＝－5，故點P的坐標為－9或－5．]8．在△ABC中，設A(3，7)，B(－2，5)，若AC，BC的中點都在坐標軸上，則C點坐標為________．(2，－7)或(－3，－5)[設C(a，b)，則AC的中點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋a,2)，\f(7＋b,2)))，BC的中點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋a,2)，\f(5＋b,2)))，若AC的中點在x軸上，BC的中點在y軸上，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－7；))若AC的中點在y軸上，BC的中點在x軸上，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－5.))]三、解答題9．已知A(1，2)，B(4，－2)，試問在x軸上能否找到一點P，使∠APB為直角？[解]假設在x軸上能找到點P(x，0)，使∠APB為直角，由勾股定理可得|AP|2＋|BP|2＝|AB|2，即(x－1)2＋4＋(x－4)2＋4＝25，化簡得x2－5x＝0，解得x＝0或x＝5．所以在x軸上存在點P(0，0)或P(5，0)，使∠APB為直角．10．用坐標法證明：假如四邊形ABCD是長方形，而對任一點M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2成立．[證明]取長方形ABCD的兩條相互垂直的邊AB，AD所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示．設長方形ABCD的四個頂點為A(0，0)，B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)．在平面上任取一點M(m，n)，則|AM|2＋|CM|2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2，|BM|2＋|DM|2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2，所以|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2．1．(多選題)已知數軸上點A，B，C的坐標分別為－1，1，5，則下列結論正確的是()A．eq\o(AB,\s\up9(→))的坐標為2 B．eq\o(CA,\s\up9(→))＝－3eq\o(AB,\s\up9(→))C．eq\o(CB,\s\up9(→))的坐標為4 D．eq\o(BC,\s\up9(→))＝2eq\o(AB,\s\up9(→))ABD[易知向量eq\o(AB,\s\up9(→))的坐標為1－(－1)＝2，A正確；向量eq\o(CA,\s\up9(→))的坐標為－1－5＝－6，－3eq\o(AB,\s\up9(→))的坐標為－3×2＝－6，所以eq\o(CA,\s\up9(→))＝－3eq\o(AB,\s\up9(→))，B正確；向量eq\o(CB,\s\up9(→))的坐標為1－5＝－4，C錯誤；向量eq\o(BC,\s\up9(→))的坐標為5－1＝4，2eq\o(AB,\s\up9(→))的坐標為2×2＝4，所以eq\o(BC,\s\up9(→))＝2eq\o(AB,\s\up9(→))，D正確．故選ABD．]2．在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則eq\f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝()A．2B．4C．5D．10D[如圖，以C為原點，CB，CA所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系．設A(0，a)，B(b，0)，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，\f(a,2)))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,4)，\f(a,4)))，由兩點間的距離公式可得|PA|2＝eq\f(b2,16)＋eq\f(9a2,16)，|PB|2＝eq\f(9b2,16)＋eq\f(a2,16)，|PC|2＝eq\f(b2,16)＋eq\f(a2,16)．所以eq\f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝eq\f(\f(10,16)a2＋b2,\f(a2＋b2,16))＝10．]3．已知點A(1，3)，B(3，1)，C(0，0)，則AB邊上的中線長CM＝________，△ABC的面積為________．2eq\r(2)4[設AB的中點M的坐標為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1＋3,2)＝2，,y＝\f(3＋1,2)＝2，))即M的坐標為(2，2)，∴|CM|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，又|AB|＝eq\r(1－32＋3－12)＝2eq\r(2)，|AC|＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，|BC|＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10)．∵M(2，2)為AB的中點，|CM|＝2eq\r(2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|CM|·|AB|＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)＝4．]4．函數f(x)＝eq\r(x2－12x＋37)＋eq\r(x2－4x＋13)的最小值為________．4eq\r(2)[如圖所示，∵f(x)＝eq\r(x2－12x＋37)＋eq\r(x2－4x＋13)＝eq\r(x－62＋0－12)＋eq\r(x－22＋0－32)，∴可設A(6，1)，B(2，3)，P(x，0)，則f(x)＝|PA|＋|PB|．∴要求f(x)的最小值，只需在x軸上找一點P，使|PA|＋|PB|最小．設點B關于x軸的對稱點為B′，則點B′的坐標為(2，－3)．∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB′|≥|AB′|，當B′，P，A三點共線時取等號．∵|AB′|＝eq\r(2－62＋－3－12)＝4eq\r(2)，∴|PA|＋|PB|的最小值為4eq\r(2)，即f(x)的最小值為4eq\r(2)．]某山區居民的居住區域大致呈如圖所示的形態，近似由一個正方形和兩個等腰直角三角形組成，若AB＝60km，AE＝CD＝30km，為了解決當地居民看電視難的問題，打算建一個電視轉播臺，志向方案是轉播臺距A，B，C，D，E五個頂點的距離平方和最小，圖中P1，P2，P3，P4是AC的五等分點，則轉播臺應建在何處？[解]以A為坐標原點，邊AB所在直線為x軸，邊AE所在直線為y軸建立平面直角坐標系(圖略)，則A(0，0)，B(60，0)，C(30，30)，D(30，60)，E(0，30)．設點P(x，y)，令