第八章數(shù)學(xué)建模活動(dòng)（一）§1走近數(shù)學(xué)建模§2數(shù)學(xué)建模的主要步驟§3數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的主要過(guò)程【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解哥尼斯堡七橋問(wèn)題的由來(lái),理解歐拉解決哥尼斯堡七橋問(wèn)題的方法,掌握一筆畫(huà)定理的步驟.2.了解數(shù)學(xué)模型的實(shí)際背景及其數(shù)學(xué)描述,了解數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)、結(jié)論的實(shí)際意義.3.能夠在熟悉的情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.4.通過(guò)案例,熟悉模型分析、模型假設(shè)、模型建立、模型求解的全過(guò)程,理解初等模型的特點(diǎn)及一般的建模方法,提高數(shù)學(xué)建模能力,提高理論聯(lián)系實(shí)際的能力.5.了解課題研究的四個(gè)步驟及每個(gè)步驟所包含的內(nèi)容.一、數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的過(guò)程.二、數(shù)學(xué)建模的基本步驟1.提出問(wèn)題實(shí)際情境中的問(wèn)題往往是模糊的和籠統(tǒng)的,原始的問(wèn)題往往是一個(gè)希望得到優(yōu)化的期待,或是某個(gè)不良現(xiàn)象的消失.這就需要透過(guò)現(xiàn)象,明確地提出問(wèn)題.2.建立模型在一定的知識(shí)積累的基礎(chǔ)上,預(yù)測(cè)建立的數(shù)學(xué)模型,抓住主要因素,摒棄次要因素,做出適當(dāng)簡(jiǎn)化和假設(shè).在假設(shè)的基礎(chǔ)上,用數(shù)學(xué)概念表示實(shí)際問(wèn)題,用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)反映實(shí)際問(wèn)題中各個(gè)量之間的關(guān)系.3.求解模型這個(gè)過(guò)程就是求解數(shù)學(xué)問(wèn)題.值得注意的是,如果目標(biāo)是求值,一般不容易求得精確值,這就要根據(jù)需要求近似解.4.檢驗(yàn)結(jié)果用實(shí)際現(xiàn)象或數(shù)據(jù)檢驗(yàn)求得的解是否符合實(shí)際.如果不符合實(shí)際情況,就要重新建模.三、建模舉例1.問(wèn)題提出妹妹小英過(guò)生日,媽媽給她做了一塊邊界形狀任意的蛋糕(如圖所示),哥哥小明也想吃,小英指著蛋糕上一點(diǎn)對(duì)哥哥說(shuō),你能過(guò)這一點(diǎn)切一刀,讓切下的兩塊蛋糕的面積相等嗎?如果能做到,便把其中的一塊送給你.2.模型假設(shè)(1)假設(shè)蛋糕是平放在桌上的,即蛋糕上表面與水平面是平行的.(2)假設(shè)蛋糕的質(zhì)地均勻,即蛋糕密度相同,形狀為不規(guī)則柱形.3.模型建立已知平面上一條沒(méi)有交叉點(diǎn)的封閉曲線(無(wú)論什么形狀),P是曲線所圍成的圖形內(nèi)部一點(diǎn).(如圖)求證:存在一條過(guò)P的直線l,將這個(gè)圖形的面積二等分.4.模型求解過(guò)點(diǎn)P任作一條直線l,l將曲線所圍成的圖形分為兩部分,其面積分別記為S1,S2.如果S1=S2,則l即是所要找的直線.現(xiàn)在,我們考慮S1≠S2的情形.不失一般性,設(shè)S1>S2.建立如圖所示的坐標(biāo)軸(x軸),并在直線l上取一點(diǎn)Q(異于點(diǎn)P),把x軸的正方向以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)到射線PQ的方向所成的角記為α,并設(shè)初始位置的角為α0.以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心,將直線l按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),則面積S1,S2就連續(xù)地依賴于角α的變化而變化,即S1=S1(α),S2=S2(α)都是關(guān)于α的連續(xù)函數(shù)(圖象是一條連續(xù)的曲線).令f(α)=S1(α)-S2(α),則函數(shù)f(α)是閉區(qū)間[α0,α0+π]上的連續(xù)函數(shù),并且f(α0)=S1(α0)-S2(α0)>0,f(α0+π)=S1(α0+π)-S2(α0+π)=S2(α0)-S1(α0)<0.則根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知,存在一點(diǎn)c∈(α0,α0+π),使得f(c)=S1(c)-S2(c)=0,即存在一點(diǎn)c∈(α0,α0+π),使得S1(c)=S2(c).5.模型結(jié)論通過(guò)上述幾何問(wèn)題的證明,我們得知,對(duì)于蛋糕上的任意一個(gè)指定的點(diǎn),一定存在過(guò)這個(gè)指定點(diǎn)的一條直線l,使得沿l切開(kāi)這塊蛋糕能將這塊蛋糕切成面積相等的兩塊.6.模型評(píng)價(jià)本模型只從理論上證明了二等分蛋糕的可行性.但是,并沒(méi)有解決怎樣將一個(gè)蛋糕具體二等分的問(wèn)題.四、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的主要過(guò)程1.選題“選題”就是選定研究的問(wèn)題.選題來(lái)源有三:(1)閱讀已有的研究論文,用同樣的方法研究類似的問(wèn)題.(2)研究已有的論文,換個(gè)視角、增加問(wèn)題的復(fù)雜性,進(jìn)一步研究相關(guān)的問(wèn)題.(3)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,發(fā)現(xiàn)研究新的問(wèn)題.2.開(kāi)題“開(kāi)題”是進(jìn)一步明確研究的問(wèn)題和設(shè)計(jì)解決問(wèn)題的方案.開(kāi)題主要做的工作是:(1)明確研究的問(wèn)題,說(shuō)明問(wèn)題研究的價(jià)值,估計(jì)可能的結(jié)果;(2)選擇研究方法,確定人員分工,形成研究的實(shí)施方案;(3)完成開(kāi)題報(bào)告.3.做題“做題”是研究者(研究小組)建立數(shù)學(xué)模型、用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)踐活動(dòng).“做題”需要