專題9.16矩形（分層練習）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在矩形中，，與相交于點O，下列說法正確的是（

）

A．點O為矩形的對稱中心 B．點O為線段的對稱中心C．直線為矩形的對稱軸 D．直線為線段的對稱軸2．（2023上·陜西咸陽·九年級校考期中）如圖，與是矩形的對角線，延長至點，使得，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2022上·江西九江·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，于點E，，那么等于（

）A． B． C． D．4．（2023上·四川達州·九年級四川省渠縣中學校考期末）如圖，在矩形紙片中，，，將沿折疊到位置，交于點F，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2023下·河南商丘·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，于點E，點在邊的延長線上，則添加下列條件不能證明四邊形是矩形的是（）A． B．C． D．6．（2023下·江蘇·八年級期末）如圖，在正方形中，，則等于（）

A．45° B．55° C．65° D．75°7．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）圖1所示的教具是用釘子將四根木條釘成的平行四邊形框架，在與，與兩點之間分別用一根橡皮筋拉直固定．老師推動框架至如圖2所示，下列判斷一定正確的是（

）

A．在圖2中， B．在圖2中，C．四邊形的周長變大 D．四邊形的面積不變8．（2023下·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，點，分別是，的中點，點M，在對角線上，，則下列說法正確的是（）

A．若，則四邊形是矩形B．若，則四邊形是矩形C．若，則四邊形是矩形D．若，則四邊形是矩形9．（2023上·山東青島·九年級山東省青島第二十六中學校考期中）如圖，在矩形中，E、F分別是邊、上的點，，連接、與對角線交于點O，且，，，則的長為（

）A． B． C． D．610．（2024上·北京海淀·九年級校考開學考試）如圖，在中，，，點D為的中點，點E、F分別在邊上，且，則下列說法：①；②；③（S代表三角形面積）；④（C代表三角形周長）其中正確的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023上·浙江紹興·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，已知四邊形是長方形，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，可知．

12．（2023上·湖北省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖直角梯形中，，，，，，，則的面積為．

13．（2023·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與軸、軸交于點A、，點在坐標軸上，點在坐標平面內(nèi)，若以A、、、為頂點的四邊形為矩形，則點的坐標為．

14．（2023下·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點D，E，F(xiàn)分別是三邊的中點，則下列判斷：①四邊形一定是平行四邊形；②若平分，則四邊形是正方形；③若，則四邊形是菱形；④若，則四邊形是矩形．正確的是．（填序號）

15．（2023下·云南楚雄·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，是對角線，的交點，且，分別延長邊到點，延長邊到點，使，，連接，，，則四邊形的形狀是．

16．（2024上·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，，的面積為24，的垂直平分線分別交，于點M、N，若點P和點Q分別是線段和邊上的動點，則的最小值為．17．（2024上·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在長方形中，，，點在邊上，連接，將沿折疊，當點的對應(yīng)點落在對角線上時，與交于點，則線段的長為．18．（2024上·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點是外的一個點，連接，，且，，四邊形的面積是，則的長為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023上·北京海淀·九年級北京市師達中學校考階段練習）如圖，在平行四邊形中，點，分別在，上，，．

（1）求證：四邊形是矩形；（2）若且，已知，求的長．20．（8分）（2022下·重慶酉陽·八年級校考期末）如圖1，在矩形中，過矩形對角線的中點O作分別交、于、點．（1）求證：；（2）如圖2，若為的中點，且，求證：．21．（10分）（2024上·江蘇·八年級姜堰區(qū)實驗初中校考周測）如圖所示，把長方形紙片放入直角坐標系中，使、分別落在x、y軸的正半軸上，連接，且，（1）求所在直線的解析式；（2）將紙片折疊，使點A與點C重合（折痕為），求折疊后紙片重疊部分的面積．（3）求所在的直線的函數(shù)解析式．22．（10分）（2023上·廣東深圳·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在中，，是的平分線，是外角的平分線，，垂足為點E．（1）求證：四邊形為矩形；（2）若，求的長．23．（10分）（2023下·內(nèi)蒙古通遼·八年級校考期末）如圖，在中，，，點D是邊上一個動點（不與B，C重合），連接，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．

（1）求的度數(shù)；（2）過點D作，交于點F，交的延長線于點G，連接，交于點H；①依據(jù)題意，補全圖形；②用等式表示線段，的數(shù)量關(guān)系，并證明．24．（12分）（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）數(shù)學學習總是循序漸進、不斷延伸拓展的，數(shù)學知識往往起源于人們?yōu)榱私鉀Q某些問題，通過觀察、測量、思考、猜想出的一些結(jié)論．但是所猜想的結(jié)論不一定都是正確的．人們從已有的知識出發(fā)，經(jīng)過推理、論證后，如果所猜想的結(jié)論在邏輯上沒有矛盾，就可以作為新的推理的前提，數(shù)學中稱之為定理．（1）推理證明：在八年級學習等腰三角形和直角三角形時，借助工具測量就能夠發(fā)現(xiàn)：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，當時并未說明這個結(jié)論的正確性．九年級學習了矩形的判定和性質(zhì)之后，就可以解決這個問題了．如圖1，在中，若是斜邊上的中線，則，請你用矩形的性質(zhì)證明這個結(jié)論的正確性．（2）遷移運用：利用上述結(jié)論解決下列問題：①如圖2，在線段異側(cè)以為斜邊分別構(gòu)造兩個直角三角形與，E、F分別是、的中點，判斷與的位置關(guān)系并說明理由；②如圖3，對角線、相交于點O，分別以、為斜邊且在同側(cè)分別構(gòu)造兩個直角三角形與，求證：是矩形；參考答案：1．A【分析】由矩形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，線段的對稱中心是線段的中點，矩形是軸對稱圖形，對稱軸是過一組對邊中點的直線，從而可得答案．解：矩形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，故A符合題意；線段的對稱中心是線段的中點，故B不符合題意；矩形是軸對稱圖形，對稱軸是過一組對邊中點的直線，故C，D不符合題意；故選A【點撥】本題考查的是軸對稱圖形與中心對稱圖形的含義，矩形的性質(zhì)，熟記矩形既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形是解本題的關(guān)鍵．2．B【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，由矩形的性質(zhì)得，，由，則，由等腰三角形的性質(zhì)得，則，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解，熟練掌握矩形的性質(zhì)，求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．解：∵四邊形是矩形，∴，，∴∠ADB=∠CBD，∵，∴，∴，∴，∴，故選：．3．D【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)．由矩形的性質(zhì)，得到，，進而得到，，再利用三角形內(nèi)角和定理，求得，然后由等邊對等角的性質(zhì)，得到，即可求出的度數(shù)．解：矩形，，，，，，，，，，，，，故選：D．4．C【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等，利用矩形和折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，在中利用勾股定理列方程，即可求出x的值，進而可得的值，從而得解．解題關(guān)鍵是利用矩形和折疊的性質(zhì)得到．解：∵四邊形是矩形，，，，，，由折疊的性質(zhì)可得，，，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理得：，，解得，即，∴故選：C．5．D【分析】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由平行四邊形的性質(zhì)得，，再證，得四邊形是平行四邊形，然后證，即可得出結(jié)論．解：四邊形是平行四邊形，∴，，，，，，四邊形是矩形，故A不符合題意；，，∵，，四邊形是矩形，故B不符合題意；，，即，，四邊形是平行四邊形，又，，平行四邊形是矩形，故C不符合題意；，，故四邊形不能判定是矩形，故D符合題意；故選：D．6．B【分析】作于F，證明，得到，利用進行求解即可．解：作于F，

又四邊形是正方形，∴，∴四邊形是矩形，∴．在和中，，∴，∴，∴．故選：B．【點撥】本題考查正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形．7．B【分析】根據(jù)平行四邊形的鄰邊不一定相等，判斷A；根據(jù)矩形的對角線相等，判定B；根據(jù)線段的大小不會隨位置的改變而改變，可判定C；根據(jù)矩形的面積，平行四邊形的面積可判定D．解：A、平行四邊形的鄰邊不一定相等，在圖2中，不一定成立，不符合題意；B、平行四邊形框架，且，故平行四邊形是矩形，故，正確，符合題意；C、根據(jù)線段的大小不會隨位置的改變而改變，故四邊形的周長不變，錯誤，不符合題意；D、如圖，過點A作，交的延長線于點E，根據(jù)題意，得，根據(jù)斜邊大于直角邊，判定其上的高逐漸變大，故四邊形的面積變大，錯誤，不符合題意；

故選B．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，線段的大小不變性是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】取中點O，連接、，先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定定理依次判定即可得到答案．本題考查了平行四邊形、矩形的判定定理，掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．解：如圖，取中點O，連接、，

∵中，點E，F(xiàn)分別是，的中點，，，，，，，，，∴E，O，F(xiàn)三點共線，又，，，即，四邊形是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），A選項，不能推出四邊形有內(nèi)角，故不能證明四邊形是矩形；B、C、D選項，只有D選項能由、，得到，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可得四邊形是矩形．故選：D9．B【分析】連接，先證，得到，得到，求得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得到，從而得到．解：連接，∵四邊形是矩形，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，設(shè)，∵，∴，∴，解得，∴，∴，∵，∴，∴，故選B．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一，直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形想的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．連接，證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可一一判斷．解：連接，∵在中，，，是等腰直角三角形，∵點D為的中點，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴=定值∴，故③正確，∵，∴，∴，故①正確，∵，∴，∴，∵，∴，故②正確，假如，可得出，∵和都是直角三角形，∴，無法證出，故④錯誤，故①②③正確，故選：C．11．【分析】由長方形的性質(zhì)可得，從而得到，由作圖痕跡可知，平分，垂直平分，再由角平分線的定義和垂直平分線的值可得，，最后由進行計算即可得到答案．解：如圖，

四邊形是長方形，，，由作圖痕跡可知，平分，垂直平分，，，，，答案為：．【點撥】本題主要考查了角平分線的定義、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點，熟練掌握以上知識點是解此題的關(guān)鍵．12．【分析】作交延長線于，作于，利用三角形全等的性質(zhì)，求出的高，然后得出三角形的面積．解：如圖，作交延長線于，作于，則．

，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，的面積．故答案為：．【點撥】本題考查梯形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，矩形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．13．或或【分析】分類討論：點在軸上；點在原點；點在軸上，利用相似及平移規(guī)律即可求解．解：直線分別與軸、軸交于點A、，當時，，時，，點坐標，B點坐標，分三種情況：點在原點，矩形中，如圖，

，點坐標為；如圖，點在軸上，如圖，

矩形中，，∴，∴，，∴，∴，點坐標為，將點向右平移個單位，向下平移個單位得到點，的坐標為；如圖，點在軸上，如圖，

矩形中，，由②同理可得：，∴∴，點坐標為，將點向左平移個單位，向上平移個單位得到點，的坐標為，點坐標為或或，故答案為：或或．【點撥】本題考查了一次函數(shù)與矩形的綜合題型，解題關(guān)鍵是分類討論和利用相似三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)線段之間的關(guān)系．14．①③④【分析】①由三角形的中位線定理可以判定結(jié)論正確；②利用平分可以判定四邊形是菱形而非正方形，可得②的結(jié)論錯誤；③利用斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出，從而得出四邊形是菱形；④，則根據(jù)①的結(jié)論可得四邊形是矩形；解：解①D是的中點，E是的中點，∴，∵D是的中點，F(xiàn)是的中點，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴①正確；②如圖，由①知：，∴若平分，則，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形；∴②不正確；③如圖，

若，∵D是的中點，∴是的垂直平分線，∴，∵，E是的中點，∴，同理：，∴，由①知：四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是菱形，∴③正確；④，如圖，

由①知：四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∴④正確；綜上可得，正確的結(jié)論有：①③④，故選：C．【點撥】本題主要考查了三角形的中位線，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定，直角三角形斜邊上的直線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用三角形的中位線定理得出平行線是解題的關(guān)鍵．15．矩形【分析】先由得到，又，得出，再根據(jù)，，得出四邊形是平行四邊形，，即可得出結(jié)論．解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是矩形，故答案∶矩形．【點撥】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．16．8【分析】連接，過點作于．利用三角形的面積公式求出，由題意，求出的最小值，可得結(jié)論．解：連接，過點作于．面積為24，，，，垂直平分線段，，，當?shù)闹底钚r，的值最小，根據(jù)垂線段最短可知，當時，的值最小，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，．的值最小值為8．故答案為：8．【點撥】本題考查軸對稱最短問題，平行線的性質(zhì)，三角形的面積，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是把最短問題轉(zhuǎn)化為垂線段最短，屬于中考常考題型．17．【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)折疊的性質(zhì)的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式和勾股定理即可得到結(jié)論．解：四邊形是矩形，，，將沿折疊，當點的對應(yīng)點落在對角線上，，，，，，故答案為：．18．【分析】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，過點作，交的延長線于點，證出，設(shè)，得出，，由四邊形的面積求出，則可得出答案．熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．解：過點作，交的延長線于點，，，，，設(shè)，，，，過點作于點，，，，，四邊形的面積是，，解得，（舍去），，．故答案為：．19．（1）見分析；（2）【分析】（1）首先證明四邊形是平行四邊形，然后結(jié)合即可證明出四邊形是矩形；（2）首先根據(jù)勾股定理得到，進而求出，然后利用勾股定理求解即可．解：（1）證明：在中，，，，即，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形；（2）∵四邊形是矩形∴∴∵，∴，即解得∴∴∵∴．【點撥】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定、勾股定理，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．（1）見分析；（2）見分析．【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)得到，從而得到，再利用證明，繼而得證；（2）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，再證明，，從而得到，，從而得證．解：（1）證明：∵四邊形是矩形，是中點，∴，，，∴，又∵，∴，∵，，，∴，∴；（2）連接，∵是矩形，是中點，∴，在中，G為中點，∴，又∵，∴，∴∴，∴，又∵在中，，∴，∴，∴，∴即．【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定等知識，熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．21．（1）；（2）重疊部分的面積為10；（3）直線的解析式為【分析】（1）設(shè)，則，在中，由勾股定理建立方程，解方程求得x的值，即可得到點A、C的坐標，根據(jù)所得A、C兩點的坐標用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；（2）由折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，結(jié)合，可得，在中由勾股定理建立方程解方程求得y的值即可得到的值，再證可得，這樣即可由三角形面積公式求出的面積了．（3）由（2）可知，的長，從而可得點E、F的坐標，由此即可用待定系數(shù)法求得直線的解析式了．（1）解：∵，∴可設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，∴，解得或（不合題意，舍去），∴，，∴，，設(shè)直線解析式為，∴，解得：，∴直線解析式為；（2）解：由折疊的性質(zhì)可知，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，∴，解得，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即重疊部分的面積為10；（3）解：由（2）可知，，∴，，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為．【點撥】本題考查了一次函數(shù)的面積問題，求一次函數(shù)解析，勾股定理，坐標與圖形，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握待定系數(shù)法，求出重疊部分三角形的底和高是解題的關(guān)鍵．22．（1）見分析；（2）【分析】（1）證明，根據(jù)矩形的判定即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理即可求出的長．此