專題1.14有理數章末八大題型總結（拔尖篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1數軸中的新定義問題】 1【題型2數軸中的動點問題】 8【題型3絕對值中的最值問題】 14【題型4分類討論多絕對值問題】 19【題型5有理數中的規律探究】 22【題型6有理數中的對折問題】 29【題型7幻方的應用】 34【題型8有理數的實際應用】 38【題型1數軸中的新定義問題】【例1】（2023春·浙江金華·七年級校考期中）定義：若A、B、C為數軸上三個不同的點，若點C到點A的距離和點C到點B的距離的2倍的和為10，我們就稱點C是A,B的美好點．例如：點M、N、P表示的數分別為-6、2、0，則點P到點M的距離是6，到點N的距離是2，那么點P是M,N的美好點，而點P(1)若點M、N、P表示的數分別為3、6、7，則是[，]的美好點．（空格內分別填入M、N、P）(2)若點M、P表示的數分別為-4、-2，且P是M,N的美好點，則點(3)如圖，數軸上A，B，C三點分別表示的數為-10、12、2，點Q從B點出發以每秒8個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，當它到達A點后立即以相同的速度返回往B點運動，并持續在A，B兩點間往返運動．在Q點出發的同時，點P從A點出發以每秒2個單位長度向右勻速運動，直到當點P達到C點時，點P，Q停止運動．當t為何值時，點C恰好為P【答案】(1)M，P，N(2)?6或2(3)119或97或359【分析】（1）先求出點M到點P和點N的距離，再根據美好點的定義，即可得到答案；（2）設點N表示的數為n，得到點P到點M和點N的距離，再根據美好點的定義，即可得到答案；（3）分三種情況討論：①當0<t<114時，此時點Q第一次從B點出發向左勻速運動；②當114≤t<112時，此時點Q第一次到達A點這番折返出發向右勻速運動；③當【詳解】（1）解：點M、N、P表示的數分別為3、6、7，∴點M到點P的距離是4，到點N的距離是3，∵4+3×2=10，∴點M是P,故答案為：M，P，N;（2）解：設點N表示的數為n，∵點M、P表示的數分別為-4、-∴點P到點M的距離是2，到點N的距離是n∵點P是M,∴2+2n∴n=-6或（3）解：①當0<t<114時，此時點根據題意得：點P表示的數為-10+2t，點Q表示的數為∵點C表示的數為2，∴CP=2--∵點C恰好為P,∴12-2t當0<t<5解得：t=當54≤t解得：t=②當114≤t<11根據題意得：點P表示的數為-10+2t，點Q表示的數為∵點C表示的數為2，∴CP=2--∵點C恰好為P,∴12-2t當114<t解得：t=當174≤t解得：t=③當112≤t≤6時，此時點點P表示的數為-10+2t，點Q表示的數為∴CP=2--∵點C恰好為P,∴12-2t解得：t=綜上可知，當t值為119或97或359或337秒時，點【點睛】本題考查了數軸上兩點的距離，動點問題，正確理解美好點的定義，利用分類討論的思想解決問題是解題關鍵．【變式11】（2023春·江西景德鎮·七年級統考期中）材料一：對任意有理數a，b定義運算“?”，a?b=a+材料二：規定a表示不超過a的最大整數，如3.1=3，-2=-2(1)2?6=______，-ππ(2)求1?2?3?4…?2022?2023的值：(3)若有理數m，n滿足m=2n=3【答案】(1)-20072(2)2023(3)-【分析】（1）根據材料1新定義的運算“?”的概念即可求出2?6的值，根據材料2中的定義即可求出-π（2）根據新定義函數把1?2?3?4…?2022?2023變形為加減運算，再根據運算順序即可求出1?2?3?4…?2022?2023的值；（3）根據m=2n=3n+1求出m的值和n【詳解】（1）解：∵a?∴2?6=∵-π∴-ππ故答案為：-20072，（2）依題意，1?2?3?4…?2022?2023=1+2+3+……+2023+2022×==2023；（3）∵n+1=n∴2n∴n=-3∴m=2×-3∴m+n∴m?m+【點睛】本題考查了新定義運算，有理數的混合運算，理解新定義是解題的關鍵．【變式12】（2023春·廣西南寧·七年級南寧市第四十七中學校考期中）對于數軸上的A，B，C三點，給出如下定義：若其中一個點與另外兩個點的距離恰好滿足2倍的數量關系，則稱該點是另外兩個點的“聯盟點”．例如：數軸上點A，B，C所表示的數分別為1，3，4，此時點B是點A，C的“聯盟點”．(1)若點A表示數-3，點B表示數3，下列各數，-1，0，1所對應的點分別是C1,C2,C3，其中是點A(2)點A表示數-10，點B表示數5，P①若點P在點A的左側，且點P是點A，B的“聯盟點”，求此時點P表示的數；②若點P在點B的右側，點P，A，B中，有一個點恰好是另外兩個點的“聯盟點”，求此時點P表示的數．【答案】(1)C1，(2)①-25；②20或35或【分析】（1）根據“聯盟點”的定義列出絕對值方程即可求解；（2）根據數軸上兩點的距離公式以及新定義，分類討論，列出一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：設C點表示的數為x，且C點是點A，B的“聯盟點∴根據-1，0，1三個數在數A、B之間，可得CA=2CB∴x+3=2|x當x+3=2|x-3|當|x-3|=2x+3∴C1，C3是點A，故答案為：C1，C（2）①設P點表示的數是a，點P在點A的左側，∴PA＜PB，PA=-10-∵點P是點A，B的“聯盟點∴PB=2∴2-解得a=-25即P點表示的數是-25②設P點表示的數是b，點P在點B的右側，當P是點A，B的“聯盟點”時，∴b+10=2解得b=20當A是點P，B的“聯盟點”時，PA=2∴b+10=2×15解得b=20當B是點P，A的“聯盟點”時，PB=2AB或∴b-5=2×15或解得b=35或b綜上所述：P點表示的數為20或35或12.5．【點睛】本題考查了幾何新定義，數軸上兩點的距離，絕對值的意義，數形結合是解題的關鍵．【變式13】（2023春·安徽滁州·七年級校考期中）已知A、B、C為數軸上三點，當點C到點A的距離是點C到點B的距離3倍時，則稱點C是A，B的三倍點，不是B，A的三倍點．若數軸上點A在原點的左邊，且到原點的距離為(1)直接寫出A、(2)若點C是A，B的三倍點，求點(3)若點C在點A的左邊，是否存在使得A、B、【答案】(1)點A表示的數為-1，點B表示的數為(2)點C表示的數為2或5(3)存在，-13或-73或【分析】（1）根據數軸上點A在原點的左邊，且到原點的距離為1可得出點A表示的數，根據點B在原點的右邊，且到點A的距離為4可得出點B表示的數；（2）設點C表示的數為a，根據題意可得a-（3）分四種情況：①若點A是C，B的三倍點；②若點A是B，C的三倍點；③若點B是C，A的三倍點；④若點B是A，【詳解】（1）解：∵數軸上點A在原點的左邊，且到原點的距離為1，∴點A表示的數為-1∵點B在原點的右邊，且到點A的距離為4，∴點B表示的數為3；（2）解：設點C表示的數為a，由題意可得a-a+1=±3解得a=2或a點C表示的數為2或5；（3）解：存在．假設存在點C為b，滿足題意，①若點A是C，由題意可得，-1-解得：b=-13點C為-13②若點A是B，由題意可得，3-解得：b=-點C為-7③若點B是C，由題意可得，3-b解得b=-9點C為-9④若點B是A，由題意可得，3--解得b=點C在點A的左邊，即b<-1因為53所以不符合題意；⑤若C是B，由題意可得，3-b解得b=-3故點C表示的數為-13或-73或-9或【點睛】本題主要考查了用數軸上的點表示有理數，數軸上兩點之間的距離，正確理解“三倍點”的定義，采用分類討論的思想解題，是解題的關鍵．【題型2數軸中的動點問題】【例2】（2023春·湖南株洲·七年級統考期中）閱讀：如圖，已知數軸上有A、B、C三個點，它們表示的數分別是-18，-8，8．A到C的距離可以用AC表示，計算方法：C表示的數8，A表示的數-18，8大于-18，用

(1)填空：AB=______，BC=(2)若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒4個單位長度和9個單位長度的速度向右運動，試探索：BC-AB的值是否隨著時間(3)現有動點P、Q都從A點出發，點P以每秒1個單位長度的速度向右移動，當點P移動6秒時，點Q才從A點出發，并以每秒2個單位長度的速度向右移動．設點P移動的時間為t秒0≤t≤19，寫出P、Q兩點間的距離（用含【答案】(1)10，16(2)不會改變，見解析(3)t或-t+12【分析】（1）根據數軸上兩點間距離公式計算即可；（2）根據題意求出點A，B，C向右移動后表示的數，然后根據數軸上兩點間距離公式出表示AB，BC的值，最后再進行計算即可；（3）分三種情況討論，點Q在點A處，點P在點Q的右邊，點Q在點P的右邊．【詳解】（1）解：AB=-8--18（2）解：不變，因為：經過t秒后，A，B，C三點所對應的數分別是-18-t，-8+4所以：BC=8+9t--所以：BC-所以BC-AB的值不會隨著時間（3）解：經過t秒后，P，Q兩點所對應的數分別是-18+t，當點Q追上點P時，-18+解得：t=12①當0<t≤6時，點Q在還點所以：PQ=②當6<t≤12時，點P在點所以：PQ=-18+③當12<t≤19時，點Q在點所以：PQ=-18+2綜上所述，P、Q兩點間的距離為t或-t+12或【點睛】本題考查了列代數式，數軸，熟練掌握用數軸上兩點間距離表示線段長是解題的關鍵，同時滲透了分類討論的數學思想．【變式21】（2023春·吉林·七年級校聯考期末）如圖，已知點A在數軸上對應的數為a，點B對應的數為b，且a，b滿足a+20（1）求點A與點B在數軸上對應的數a和b；（2）現動點P從點A出發，沿數軸向右以每秒4個單位長度的速度運動；同時，動點Q從點B出發，沿數軸向左以每秒2個單位長度的速度運動，設點P的運動時間為t秒.①若點P和點Q相遇于點C,求點C在數軸上表示的數；②當點P和點Q相距15個單位長度時，直接寫出t的值.【答案】（1）a=-20，b=40；（2）①20；②t=7.5【分析】(1)由絕對值和偶次方的非負性即可求出a、b值；(2)①t秒后P點表示的數為：-20+4t，t秒后Q點表示的數為：40-2t，根據t秒后P點和Q②分當P和Q未相遇時相距15個單位及當P和Q相遇后相距15個單位列式子即可得出答案．【詳解】解：（1）由題意中絕對值和偶次方的非負性知，a+20=0且b解得a=-20，b=40故答案為：a=-20，b（2）①P點向右運動，其運動的路程為4tt秒后其表示的數為：-20+4Q點向左運動，其運動的路程為2tt秒后其表示的數為：40-2t由于P和Q在t秒后相遇，故t秒后其表示的是同一個數，∴-20+4t=40-2t解得∴此時C在數軸上表示的數為：-20+4×10=20.故答案為：20.②情況一：當P和Q未相遇時相距15個單位，設所用的時間為t故此時有：4解得t1情況二：當P和Q相遇后相距15個單位，設所用的時間為t故此時有：4解得t2=12.5故答案為：t=7.5或12.5【點睛】本題考查了一元一次方程的應用、兩點間的距離、數軸、絕對值以及偶次方的非負性，根據兩點間的距離結合線段間的關系列出一元一次方程是解題的關鍵．【變式22】（2023春·陜西榆林·七年級統考期末）已知A，B在數軸上對應的數分別用a，b表示，且點B距離原點10個單位長度，且位于原點左側，將點B先向右平移35個單位長度，再向左平移5個單位長度，得到點A，P是數軸上的一個動點．(1)在數軸上標出A、B的位置，并求出A、B之間的距離；(2)已知線段OB上有點C且BC=6，當數軸上有點P滿足PB=2PC(3)動點P從原點開始第一次向左移動1個單位長度，第二次向右移動3個單位長度，第三次向左移動5個單位長度，第四次向右移動7個單位長度，…點P能移動到與A或B重合的位置嗎?若不能，請說明理由．若能，第幾次移動與哪一點重合?

【答案】（1）A、B位置見解析，A、B之間距離為30；（2）2或6；（3）第20次P與A重合；點P與點B不重合．【分析】（1）點B距離原點10個單位長度，且位于原點左側，得到點B表示的數，再根據平移的過程得到點A表示的數，在數軸上表示出A、B的位置，根據數軸上兩點間的距離公式，求出A、B之間的距離即可；（2）設P點對應的數為x，當P點滿足PB=2PC時，得到方程，求解即可；（3）根據第一次點P表示1，第二次點P表示2，點P表示的數依次為3，4，5，6…，找出規律即可得出結論．【詳解】解：（1）∵點B距離原點10個單位長度，且位于原點左側，∴點B表示的數為10，∵將點B先向右平移35個單位長度，再向左平移5個單位長度，得到點A，∴點A表示的數為20，∴數軸上表示如下：

AB之間的距離為：20（10）=30；（2）∵線段OB上有點C且BC=6∴點C表示的數為4，∵PB=2設點P表示的數為x，則x+10解得：x=2或6，∴點P表示的數為2或6；（3）由題意可知：點P第一次移動后表示的數為：1，點P第二次移動后表示的數為：1+3=2，點P第三次移動后表示的數為：1+35=3，…，∴點P第n次移動后表示的數為（1）n?n，∵點A表示20，點B表示10，當n=20時，（1）n?n=20；當n=10時，（1）n?n=10≠10，∴第20次P與A重合；點P與點B不重合．【點睛】本題考查的是數軸，絕對值，數軸上兩點之間的距離的綜合應用，正確分類是解題的關鍵．解題時注意：數軸上各點與實數是一一對應關系．【變式23】（2023春·江蘇連云港·七年級統考期中）伴隨著連淮揚鎮鐵路淮鎮段的首發運行，世界首座高速鐵路懸索橋——五峰山長江大橋正式開通運營.如圖，點O為原點，向右為正方向.甲動車位于AB處，向右行駛.乙動車位于CD處，向左行駛.五峰山長江大橋主橋為BC；甲、乙兩動車長度相等，速度均為80米/秒.A、B、C、(1)b=______，BC間的距離是______米，AC間的距離是______(2)從此刻開始算起，甲動車A處有個在座位上的乘客記為點M，求甲動車行駛多少秒時，點M到點C的距離等于100米？(3)從此刻開始算起，甲動車A處有個在座位上的乘客記為點M，求甲動車行駛多少秒時，點M到點B的距離與點M到點C的距離之和等于1700米？(4)兩車同時運行，若甲動車A處的乘客記為點M，向右走，速度為2米/秒、乙動車處于中點位置的座位上的乘客記為點N，乘客M從車尾走到車頭的過程中是否存在一段時間t，恰好M、N同時在五峰山長江大橋上？如存在，請直接寫出t【答案】(1)100；1400；1600(2)754秒或85(3)58秒或175(4)2675【分析】（1）先求出a、（2）根據速度、路程、時間的關系，分兩種情況計算即可；（3）根據速度、路程、時間的關系，分兩種情況計算即可；（4）確定M、【詳解】（1）解：∵a∴a+100=0，c-∴a=-100，c=1500，∵甲、乙兩動車長度相等∴b=-100+(1700-1500)=100BC=1500-100=1400（米）AC=1500-(-100)=1600故答案為：100，1400，1600；（2）解：1600-100=1500（米），1600+100=1700（米）1500÷80=751700÷80=85答：甲動車行駛754秒或854秒時，，點M到點C的距離等于（3）解：分兩種情況，當點M在點B左側時；1700-1400=300（米）300÷2=150（米）200-150=50（米）50÷80=58當點M在點C右側時；1700-1400=300（米）300÷2=150（米）1600+150=1750（米）1750÷80=175答：甲動車行駛58秒或1758秒時，點M到點B的距離與點M到點C的距離之和等于（4）解：存在；乘客M到達點B的時間為：200÷(80+2)=10041乘客M到達點C的時間為：1600÷(80+2)=800乘客N到達點C的時間為：(1600-1500)÷80=5乘客N到達點B的時間為：(1600-100)÷80=7510041>5754故t的值為：2675164【點睛】本題考查了數軸上的動點問題、有理數的混合運算；熟練根據數軸上的兩點求距離是解題的關鍵．【題型3絕對值中的最值問題】【例3】（2023春·山東臨沂·七年級統考期中）數軸上表示數-5的點與原點的距離可記作|-5-0|=|-5|=5；表示數-5的點與表示數-2的點的距離可記作|-5-(-2)|=|-3|=3．也就是說，在數軸上，如果A點表示的數記為a，B點表示的數記為b回答下列問題：(1)數軸上表示-3和2的兩點之間的距離是_____________，數軸上表示-2和3的兩點之間的距離是(2)數軸上表示x與-2的兩點A和B之間的距離為5，那么x為_____________(3)①找出所有使得|x+1|+|x②求|x【答案】(1)5，5(2)3，-(3)①-1，0，1，2．

【分析】（1）根據數軸上兩點間的距離公式直接代入計算即可；（2）根據數軸上兩點間的距離公式直接代入可得A，B之間的距離為x+2；當AB=5時，即（3）①從數軸上可以看出只要x取-1和2之間的數（包括-1，2）就有|x②對x進行討論，可得|x【詳解】（1）表示-3和2的兩點之間的距離是|-3-2|=5表示-2和3的兩點之間的距離是|-2-3|=5故答案為：5，5；（2）由題意可得，x+2∴x+2=5或x∴x=3或x故答案為：3，-7（3）①從數軸上可以看出只要x取-1和2之間的數（包括-1，就有|x+1|+|x②對x進行討論：當-3<x<1當x≤-3時，|當x≥1時，綜上，|x+3|+|x【點睛】本題主要考查數軸上兩點間的距離，絕對值的性質等內容，根據題意進行分類討論是解決本題的關鍵．【變式31】（2023·浙江杭州·七年級期中）如圖，已知數軸的單位長度為1．（1）如果點A，B表示的數的絕對值相等，求點C表示的數．（2）如果點B，D表示的數是互為相反數，求點A表示的數．（3）若點A為原點，在數軸上有一點F，當BF=3時，求點F（4）如果點A，B，C，D，E五個點表示的數分別為a，b，c，d，e，記s=|a|+|【答案】（1）5；（2）0.5；（3）1或5；（4）13【分析】（1）先確定原點，再求點C表示的數；（2）先確定原點，再求點A表示的數；（3）根據題意得到點B表示的數，再分點F在點B左側和右側分別得出結果；（4）理解題意，將各個點作為原點分別求解，再比較即可．【詳解】解：（1）∵A、B表示的數的絕對值相等，且AB之間距離2個單位，∴點A表示的數為1，點B表示的數為1，∴點C表示的數為5；（2）∵點B，D表示的數是互為相反數，且BD之間距離5個單位，∴點B表示的數為2.5，點D表示的數為2.5，∴點A表示的數為0.5；（3）∵點A表示原點，∴點B表示的數為2，∵BF=3，∴點F表示的數為1或5；（4）由題意可得：在數軸上找一點作為原點，使得該點到A、B、C、D、E的距離之和最小，當點A為原點時，a=0，b=2，c=6，d=3，e=2，s=|a當點B為原點時，a=2，b=0，c=4，d=5，e=4，s=|a當點C為原點時，a=6，b=4，c=0，d=9，e=8，s=|a當點D為原點時，a=3，b=5，c=9，d=0，e=1，s=|a當點E為原點時，a=2，b=4，c=8，d=1，e=0，s=|a綜上：s的最小值為13．【點睛】本題主要考查了數軸，解題的關鍵是熟記數軸的特點，理解數軸上兩點之間的距離．【變式32】（2023春·浙江寧波·七年級余姚市梨洲中學校考期中）數軸是初中數學的一個重要工具，利用數軸可以將數與形完美結合．通過研究數軸，我們發現了許多重要的規律，比如：數軸上點A和點B表示的數為a，b，則A，B兩點之間的距離AB=a-b，若(1)已知點P為數軸上任一動點，點P對應的數記為m，若點P與表示有理數－2的點的距離是3個單位長度，則m的值為______；(2)已知點P為數軸上任一動點，點P對應的數記為m，若數軸上點P位于表示﹣5的點與表示2的點之間，則m-2(3)已知點A，B，C，D在數軸上分別表示數a，b，c，d，四個點在數軸上的位置如圖所示，若a-d=12，?(4)若b=a，c=【答案】(1)1或﹣5(2)7(3)4(4)54【分析】（1）由題意可知，a-（2）由點P位于表示﹣5的點與表示2的點之間，得到m-2+m+5表示點P到2（3）由題意得到?a-c=AC（4）由題意可得b-1+2c+2+3d-3+4e+4+5【詳解】（1）解：∵點P與表示有理數﹣2的點的距離是3個單位長度，∴a-∴a+2=3或a解得a=1或a故答案為：1或﹣5；（2）∵點P位于表示﹣5的點與表示2的點之間，∴m-2+m+5表示點P∵-5-2∴m-故答案為：7；（3）∵?a-c∴?b故答案為：4（4）∵b=∴b==a根據絕對值的幾何意義，相當于找一點，使得這個點到，1，﹣4，9，﹣16，25距離和最小，只能取a=1當a=1時，a此時原式＝1-1＝54，故答案為：54．【點睛】此題考查了數軸，熟練掌握數軸上點的特征，兩點間距離的求法，絕對值的意義是解題的關鍵．【變式33】（2023春·浙江·七年級期末）閱讀絕對值拓展材料：a表示數a在數軸上的對應點與原點的距離如：5表示5在數軸上的對應點到原點的距離而5=5-0，即5-0表示5、0在數軸上對應的兩點之間的距離，類似的，有：5+3=5--3表示5、-3在數軸上對應的兩點之間的距離．一般地，點A、B在數軸上分別表示有理數a、b回答下列問題：（1）數軸上表示2和5的兩點之間的距離是，數軸上表示1和-3的兩點之間的距離是（2）數軸上表示x和-1的兩點A和B之間的距離是，如果A、B兩點之間的距離為2，那么x=（3）x+2可以理解為數軸上表示x和（4）x-2+x-3可以理解為數軸上表示x的點到表示和這兩點的距離之和．x+2（5）x-2+x-3最小值是【答案】（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或3；（3）2；（4）2，3，2，1；（5）1，3【分析】（1）根據兩點之間的距離公式計算即可；（2）根據兩點之間的距離公式計算即可；（3）根據絕對值的意義可得；（4）根據絕對值的意義可得；（5）分別得出x-2+【詳解】解：（1）數軸上表示2和5的兩點之間的距離是3，數軸上表示1和3的兩點之間的距離是4；（2）數軸上表示x和1的兩點A和B之間的距離是|x+1|，如果|AB|=2，即|x+1|=2，∴x=1或3；（3）|x+2|可以理解為數軸上表示x和2的兩點之間的距離；（4）|x2|+|x3|可以理解為數軸上表示x的點到表示2和3這兩點的距離之和，|x+2|+|x1|可以理解為數軸上表示x的點到表示2和1這兩點的距離之和；（5）由（4）可知：當x在2和3之間時，|x2|+|x3|最小值是1，當x在2和1之間時，|x+2|+|x1|的最小值是3．【點睛】本題考查的是絕對值的問題，涉及到數軸應用問題，只要理解絕對值含義和數軸上表示數值的關系（如：|x+2|表示x與2的距離），即可求解．【題型4分類討論多絕對值問題】【例4】（2023春·浙江金華·七年級校聯考期中）已知a,b表示兩個非零的實數，則aaA．2 B．–2 C．1 D．0【答案】C【詳解】∵當a>0時，aa=aa當b>0時，bb=bb∴