專題07講：平行線的證明和三角形內角（考點清單）【聚焦考點】考點一：平行公理及推論考點二：平行線的判定考點三：平行線的性質定理考點四：平行線性質的應用考點五：平行線之間的距離考點六：平行線的性質和判定綜合問題考點七：三角形內角和定理考點八：與平行線有關的三角形內角和問題考點九：與角平分線有關的三角形內角和問題考點十：三角形中折疊的角度問題考點十一：三角形內角和的綜合問題考點十二：平行線和三角形內角和的綜合問題【題型歸納】題型一：平行公理及推論【典例1】（2022上·山東濟南·八年級統考期末）下面的四個命題中，真命題的是（

）A．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等B．過一點有且僅有一條直線和已知直線平行C．如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角D．同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線互相平行【答案】D【分析】由對頂角的性質判斷C，由平行線的性質和平行公理判斷B、A、D．【詳解】解：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，故選項A錯誤；沒有說明點在直線外，故選項B錯誤；對頂角一定相等，但相等的角不一定是對頂角，故選項C錯誤；同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線互相平行，故選項D正確．故選：D．【專訓11】（·浙江臺州·七年級臺州市書生中學校考期中）下列命題中，真命題的個數是（

）①同位角相等；②a，b，c是三條直線，若a⊥b，b⊥c，則a⊥c．③a，b，c是三條直線，若a∥b，b∥c，則a∥c；④過一點有且只有一條直線與已知直線平行．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論，從而利用排除法得出答案．【詳解】解：①兩直線平行，同位角相等，故原命題是假命題；②，在同一平面內，a，b，c是三條直線，若a⊥b，b⊥c，則a∥c，故原命題是假命題；③a，b，c是三條直線，若a∥b，b∥c，則a∥c，是真命題；④過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故原命題是假命題，綜上，真命題只有③一個，故選：A．【專訓12】（2014上·山東臨沂·八年級統考期末）下列說法中是真命題的有（

）①一條直線的平行線只有一條．②過一點與已知直線平行的直線只有一條．③因為a∥b，c∥b，所以a∥c．④經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】試題分析：①一條直線的平行線只有一條是錯誤的；②經過一點有且只有一條直線與已知直線平行，應強調在經過直線外一點，故是錯誤的．③因為a∥b，a∥c，所以b∥c，正確．④滿足平行公理的推論，正確．故選B．考點：1．平行線；2．垂線．題型二：平行線的判定【典例2】（2023上·貴州貴陽·八年級統考期末）如圖，下列推理中正確的是（）A．∵，∴ B．∵，∴C．∵，∴ D．∵，∴【答案】B【分析】根據平行線的判定可進行求解．【詳解】解：A、∵，∴，故原選項不符合題意；B、∵，∴，故原選項符合題意；C、∵，∴，故原選項不符合題意；D、∵，∴，故原選項不符合題意；故選B．【專訓21】（2022·河北廊坊·統考二模）如圖，點E是四邊形的邊延長線上的一點，且，則添加下列選項中的條件，不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據平行線的判定與性質，平行四邊形的判定定理進行判斷作答即可．【詳解】解：A中由可得，，能判定四邊形是平行四邊形，故不符合要求；B中由可得，，不能判定四邊形是平行四邊形，故符合要求；C中由可得，，能判定四邊形是平行四邊形，故不符合要求；∵，∴，D中由可得，，即，能判定四邊形是平行四邊形，故不符合要求；故選：B．【專訓22】（2023上·陜西西安·八年級校考期末）如圖，在三角形中，點E，D，F分別在上，連接，下列條件中，能推理出的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據“同位角相等兩直線平行，同旁內角互補兩直線平行，內錯角相等兩直線平行”進行判斷即可．【詳解】解：A、不能得到平行，不符合題意；B、由，得到，不符合題意；C、由，得到，符合題意；D、由，得到，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了平行線的判定定理；熟練掌握平行線的判定定理是解題的關鍵．題型三：平行線的性質定理【典例3】（2023下·江蘇淮安·八年級統考期末）如圖，在中，，點E、F、G分別在邊上，，則四邊形的周長是（

）

A．20 B．24 C．30 D．10【答案】A【分析】由，可得四邊形是平行四邊形，由，可得，由，可知，即，根據四邊形的周長為，計算求解即可．【詳解】解：∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形的周長為，故選：A．【專訓31】（2023下·江蘇泰州·八年級統考期末）如圖，在中，，點D、E分別在邊、上，且，M、N分別為線段、的中點，則線段的長為（

）

A．1.5 B．3 C． D．【答案】C【分析】連接，取的中點H，連接，，根據中位線性質得出，，根據平行線的性質得出，同理課程，，根據平行線的性質得出，求出，根據勾股定理求出結果即可．【詳解】解：連接，取的中點H，連接，，如圖所示：

∵M、N分別為線段、的中點，∴是的中位線，∴，，∴，同理可得：，，∴，∵，∴，∴，∴，故C正確．故選：C．【專訓32】（2023下·廣西河池·八年級統考期末）如圖，是等邊三角形，是內一點，，，，，則的周長是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】延長交于，延長交于，由條件推出四邊形，四邊形是平行四邊形，，是等邊三角形，得到，即可求出的周長．【詳解】解：延長交于，延長交于，∵，，，∴四邊形，四邊形是平行四邊形，∴，，∵是等邊三角形，∴，∴，，∴，∴是等邊三角形，同理：是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴的周長為：，即的周長是．故選：B．

題型四：平行線性質的應用【典例4】（2023上·河北邢臺·八年級統考期末）如圖，A島在B島的北偏東方向，C島在B島的北偏東方向，C島在A島的南偏東方向，從C島看A、B兩島的視角是（

）度．

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據方向角的概念，得出，；，再由兩直線平行，內錯角相等，，然后根據三角形內角和定理即可求解．【詳解】解：如圖所示：

∵A島在B島的北偏東方向，即，∵C島在B島的北偏東方向，即，∴，∵C島在A島南偏東方向，即，∵，∴，∴，在中，．故選：C．【專訓41】（2023下·貴州畢節·八年級期末）如圖，在中，，直線，頂點C在直線b上，直線a交于點D，交于點E，若，則的度數是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據平角的定義得到，進而根據三角形外角的性質得到，利用等邊對等角和三角形內角和定理得到，再由平行線的性質得到，由此即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故選A．【專訓42】（2023下·廣東深圳·七年級深圳外國語學校校考期末）如圖，小明用一副三角板拼成一幅“帆船圖”，點C在上，，，，，連接，則度數是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明，再證明，結合角的和差關系可得答案．【詳解】解：∵，，，∴，∵，∴，∵，，∴，，故選A．題型五：平行線之間的距離【典例5】13．（2022下·四川綿陽·八年級校聯考期末）如圖，直線，其中P在上，A、B、C、D在上，且PB⊥，則與間的距離是（）A．線段PA的長度 B．線段PB的長度 C．線段PC的長度 D．線段PD的長度【答案】B【分析】根據平行線之間的距離定義解答即可．【詳解】解：∵P在上，B在上，PB⊥，，∴與間的距離是線段PB的長度．故選：B．【專訓51】（2022下·河南濮陽·八年級校聯考期末）三角板是我們學習數學的好幫手．將一對直角三角板如圖放置，點在的延長線上，點在上，，，，當邊與射線所夾的銳角為時，則：①AB∥CF；②；③；④點和點到的距離相等．以上四個結論正確的有幾個（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】先根據判定AB∥FC，然后根據垂直的定義得出，進而求出，再利用外角的性質求出．【詳解】解：如圖，，∴AB∥FC，故正確；，，，故正確；，，，故正確；平行線間的距離處處相等，且AB∥FC，∴點和點到的距離相等，故正確．故正確的結論有個，故選：D．【專訓52】（2022下·浙江金華·八年級統考期末）如圖，在中，E點在BC邊上，P．Q是AD邊上的兩點（P在Q的左側）、若PB與AE相交于R點，QB與AE相交于S點，則下列對的面積大小判斷正確的是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】根據平行線之間的距離處處相等，可得△PBE、△QBE有同底和相等的高，即可得△PBE的面積＝△QBE的面積；由圖可得△BRE的面積＞△BSE的面積，可得△PRE的面積＜△QSE的面積．即可判斷．【詳解】解：①△PBE、△QBE如圖所示：兩個三角形有相同的底BE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵平行線之間的距離處處相等，∴△PBE、△QBE有相等的高，∴△PBE的面積＝△QBE的面積；②∵△PBE的面積＝△QBE的面積，

∴△PRE的面積+△BRE的面積＝△QSE的面積+△BSE的面積，由圖可知：△BRE的面積＞△BSE的面積，∴△PRE的面積＜△QSE的面積．故選：D．題型六：平行線的性質和判定綜合問題【典例6】（2022上·廣東深圳·八年級校考期末）已知：如圖，點D、E、F、G都在的邊上，，，

(1)求證：；(2)若平分，，求的度數．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據平行線的性質得到，繼而推出，即可證明；（2）利用平行線的性質得到，結合角平分線的定義求出，再利用平行線的性質求解即可．【詳解】（1）證明：，，，，；（2）解：，，平分，，，，．【專訓61】（2022上·貴州貴陽·八年級統考期末）如圖，．

(1)求證：；(2)若，求的度數．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由得到，即可得到，再根據等量代換得到即可證明；（2）由平行的性質得到，求出即可求出答案．【詳解】（1），，，，，；（2），，，，，，，，．【專訓62】（2023上·河南平頂山·八年級統考期末）如圖，已知點在直線上，點在線段上，與交于點．

(1)求證：；(2)若，求的度數．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據內錯角相等兩直線平行，可證；（2）根據平行線的性質可以解題．【詳解】（1）證明：∵∴∴∵∵∴（2）解∵，∴,∵,∴,∴，∴【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，熟練掌握平行線的性質和判定是解題的關鍵．題型七：三角形內角和定理【典例7】（2020上·湖北武漢·八年級統考期末）如圖，在中，為延長線上一點，于，，，則的度數為（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據△ADE中三角形內角和定理求出∠A的度數，再根據△ABC中三角形內角和定理即可求出的度數．【詳解】∵CE⊥AF于E，∴∠AED＝90°，∵∠D＝20°，∴∠A＝180°?∠AED?∠D＝180°?90°?20°＝70°，∵∴＝180°?∠A?∠C＝180°?70°?40°＝70°．故選：C．【專訓71】20．（2019下·福建漳州·七年級統考期末）如圖，中，平分，垂直平分交于點，交于點，連接，若，，則的度數為A． B． C． D．【答案】B【分析】據角平分線的性質可得∠DBC=∠ABD=25°，然后再計算出∠ACB的度數，再根據線段垂直平分線的性質可得BF=CF，進而可得∠FCB=25°，然后可算出∠ACF的度數.【詳解】解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=25°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°60°25°×2=70°，∵BC的中垂線交BC于點E，∴BF=CF，∴∠FCB=25°，∴∠ACF=70°25°=45°，故選B．【專訓72】（2019上·湖北武漢·八年級統考期末）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝BD，若∠ABD＝∠BAC＝，則∠BDC的度數為(

)A．2 B．45°＋ C．90°－ D．180°－3【答案】A【分析】作∠MBA＝∠DBA,交CA延長線于M．由∠ABD＝∠ADB＝,∠BAC＝2,得∠CAD＝180°－4,易證△BAM≌△BAD,得∠M＝∠ADB＝,BM＝BD＝BC,設∠ACD＝x，則∠BDC＝x＋，故x＋(x＋)＝＋＋,解得x＝，故∠BDC＝2【詳解】作∠MBA＝∠DBA,交CA延長線于M．∠ABD＝∠ADB＝,∠BAC＝2,∴∠CAD＝180°－4,∴∠BAM＝180°－2,∠BAD＝180°－2,∴△BAM≌△BAD,∴∠M＝∠ADB＝,BM＝BD＝BC,∴AB＝AM,∴∠ABM＝∠M＝,∴∠ACB＝∠M＝,設∠ACD＝x，則∠BDC＝x＋，由八字形得x＋(x＋)＝＋＋,∴x＝，∴∠BDC＝2題型八：與平行線有關的三角形內角和問題【典例8】（2021上·黑龍江雞西·八年級校考期末）如圖，在△ABC中，∠B=46°，∠ADE=40°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，則∠C的大小是（）A．46° B．54° C．66° D．80°【答案】B【分析】先根據∠ADE=40°，DE∥AB求出∠BAD的度數，再由AD平分∠BAC得出∠BAC的度數，根據三角形內角和定理即可得出結論．【詳解】解：∵∠ADE=40°，DE∥AB，∴∠BAD=40°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=80°．∵∠B=46°，∴∠C=180°∠B∠BAC=180°46°80°=54°．故選：B．【專訓81】23．（2021·安徽·統考中考真題）兩個直角三角板如圖擺放，其中，，，AB與DF交于點M．若，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據，可得再根據三角形內角和即可得出答案．【詳解】由圖可得∵，∴∴故選：C．【專訓82】（2022下·湖北咸寧·七年級統考期中）如圖，已知l1l2，∠A＝45°，∠2＝100°，則∠1的度數為（）A．50° B．55° C．45° D．60°【答案】B【分析】根據平角的定義得出∠ACB＝80°，根據三角形內角和得到∠ABC＝55°，再根據平行線的性質即可得解．【詳解】解：∵∠2＝100°，∴∠ACB＝180°?100°＝80°，∵∠A＝45°，∴∠ABC＝180°?45°?80°＝55°，∵l1l2，∴∠1＝∠ABC＝55°，故選：B．【點睛】此題考查了平行線的性質，熟記“兩直線平行，內錯角相等”是解題的關鍵．題型九：與角平分線有關的三角形內角和問題【典例9】（2023下·廣東汕頭·八年級統考期末）如圖，在三角形中，為的平分線，，，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的度數，再根據角平分線定義求解即可．【詳解】解：在三角形中，，，則，∵為的平分線，∴，故選：D．【專訓91】（2023上·四川雅安·八年級統考期末）如圖，在中，分別平分和，且相交于點O，若，則的度數是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據三角形內角和定理和角平分線的概念求解即可．【詳解】∵，∴，∵分別平分和，∴，∴．故選：C．【專訓92】（2023上·遼寧沈陽·八年級統考期末）如圖，，分別是的外角，的角平分線；，分別是，的角平分線；，分別是，的角平分線．當（）時，．A．45° B．50° C．60° D．120°【答案】C【分析】根據角平分線的定義得出，根據平角為可得，從而得出，同理可得，然后根據兩直線平行同旁內角互補得出，代入整理得出，最后根據三角形內角和即可得出答案．【詳解】，分別是的外角，的角平分線，，分別是，的角平分線，同理，由于、分別是、的角平分線，假設，根據兩直線平行，同旁內角互補得即整理得，故選C．題型十：三角形中折疊的角度問題【典例10】（2023上·河南周口·八年級校聯考期末）如圖所示，在中，，將沿著直線折疊，點落在點的位置．則的度數是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了三角形外角的性質及軸對稱的性質，由軸對稱的性質得出，再由，，即可得到，從而求出答案．【詳解】解：如圖所示，

由題意得：，，，，．故選：A．【專訓101】．（2023上·重慶開州·八年級統考期末）如圖，將沿翻折交于點，又將沿翻折，點落在上的處，其中，，則原三角形中的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】設，由翻折得，根據三角形內角和得到，求出，再利用三角形內角和求出的度數．【詳解】解：設，由翻折得∵，∴解得，∴∴∴故選：A．【專訓102】（2023上·浙江紹興·八年級統考期末）如圖是一張三角形紙片ABC，，點M是邊的中點，點E在邊AC上，將沿BE折疊，使點C落在邊AC上的點D處，若，則（

）A．18° B．54° C．60° D．72°【答案】D【分析】根據直角三角形的性質得，，則，，根據折疊的性質得：，，，根據等腰三角形的性質及三角形的外角的性質得出，根據角的和差即可得出答案．【詳解】解：∵，點M是邊的中點，∴，，∴，，根據折疊的性質得：，，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故選：D．題型十一：三角形內角和的綜合問題【典例11】（2023上·福建漳州·八年級統考期末）在中，平分，交于，點在線段上，過點作于平分，交于．

(1)如圖，當時，求證：；(2)當時，直線與直線相交于點，猜想與的數量關系，并說明理由．（要求：畫出相應的示意圖再作答）【答案】(1)見解析(2)或，理由見解析【分析】（1）如圖，，得到，角平分線，得到，進而得到，再根據三角形內角和推出，即可；（2）分，兩種情況，畫出圖形，討論求解．【詳解】（1）證明：，．平分平分，．．在和中，，．，．

（2）或．理由：①當時，如圖．

，．，．平分，．，，平分．，．．，．．．②當時，如圖．

，．．，．．，．．．綜上所述，與的數量關系為或．【專訓111】．（2023下·海南省直轄縣級單位·八年級校考期末）在中，與的平分線相交于點．

(1)如圖1，如果，，，求的度數；(2)如圖1，如果，用含的代數式表示；(3)探索：如圖2，作外角、的平分線交于點，試寫出、之間的數量關系；(4)拓展：如圖3，延長線段、交于點，中，存在一個內角等于另一個內角的3倍，請直接寫出的度數．【答案】(1)(2)(3)(4)或或或【分析】（1）根據角平分線的性質可得，，根據三角形內角和定理即可求解；（2）根據角平分線的性質可得，，根據三角形內角和定理即可求解；（3）根據角平分線的性質可得，，根據三角形的外角性質可得，，根據三角形內角和定理即可求解；（4）根據角平分線的性質求得，結合（3）中結論和三角形內角和定理求得，分四種情況進行討論：；；；；分別列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：∵與的平分線相交于點，∴，，在中，．（2）解：∵與的平分線相交于點，∴，，在中，，即，在中，．（3）解：、之間的數量關系為：．理由：∵、的平分線交于點，∴，，且，，∴，，故，在中，．（4）解：∵是的角平分線，是的角平分線，∴，，∴，由（3）可得，則，如果中，存在一個內角等于另一個內角的3倍，那么分四種情況：若是的倍，即，∴，解得：；若是的倍，即，∴，解得：；若是的倍，即，∴解得：；若是的倍，即，∴解得：；綜上所述，的度數是或或或．【專訓112】（2023下·浙江·八年級專題練習）探索歸納：(1)如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則．A．

90°

B．

315°

C．

135°

D.270°(2)如圖2，已知中，，剪去后形成四邊形，則度．(3)如圖2，根據上面的求解過程，猜想與的關系是．(4)如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3的形狀，請猜想與的關系是．【答案】(1)D(2)240(3)(4)【分析】（1）由三角形的外角的性質：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，即可得到答案（2）由三角形的外角的性質：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，即可得到答案（3）由三角形的外角的性質：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，即可得到答案（4）由三角形的外角的性質：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，即可得到答案．【詳解】（1）解：，，，故選：D．（2）解：，，，故答案為：240．（3）解：，，，故答案為：．（4）解：連接，，，，，，故答案為：．題型十二：平行線和三角形內角和的綜合問題【典例12】34．（2023上·遼寧錦州·八年級統考期末）如圖，是的角平分線，點E在的延長線上，交于點F，交于點G，在的延長線上取一點H，使．

(1)求證：；(2)若，求的度數．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據平行線的性質及角平分線的定義，通過等量代換證明，再根據平行線的判定可得結論；（2）根據平行四邊形的性質求出，再由可得，根據角平分線的定義求出，再由平行線的性質可得，從而可得結論．【詳解】（1）∵，∴．∵平分