第四講基本初等函數(shù)及函數(shù)的應(yīng)用（推薦時間：50分鐘）一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝|log3x|在區(qū)間[a，b]上的值域為[0,1]，則b－a的最小值為 ()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C．1 D．22．如果函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)對任意實數(shù)t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么 ()A．f(1)<f(2)<f(4)B．f(2)<f(1)<f(4)C．f(2)<f(4)<f(1)D．f(4)<f(2)<f(1)3．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log21－x，x≤0，,fx－1＋1，x>0，))則f(2013)等于 ()A．2010 B．2011C．2012 D．20134．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x＞0，,2x，x≤0，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs12\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs12\al\co1(\f(1,9)))))的值為 ()A．4 B.eq\f(1,4)C．－4 D．－eq\f(1,4)5．若函數(shù)f(x)＝若f(a)>f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是 ()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)6．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x，x≥4,fx＋1，x＜4))，則f(2＋log23)的值為 ()A.eq\f(1,24) B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,3)7．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3在閉區(qū)間[0，m]上的最大值為3，最小值為2，則m的取值范圍為 ()A．[1，＋∞) B．[0,2]C．(－∞，－2] D．[1,2]8．(·天津)對實數(shù)a和b，定義運算“?”：a?b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a－b≤1，,b，a－b>1.))設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2－2)?(x－1)，x∈R.若函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是()A．(－1,1]∪(2，＋∞)B．(－2，－1]∪(1,2]C．(－∞，－2)∪(1,2]D．[－2，－1]二、填空題9．(·陜西)則f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0，,10x，x≤0，))則f(f(－2))＝____________.10．(·江蘇)已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x<1，,－x－2a，x≥1.))若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________．11．方程2－x＋x2＝3的實數(shù)解的個數(shù)為________．12．(·湖北)里氏震級M的計算公式為：M＝lgA－lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標準地震的振幅．假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的________倍．三、解答題13．(·上海)已知函數(shù)f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常數(shù)a，b滿足ab≠0.(1)若ab>0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)時x的取值范圍．14．已知函數(shù)f(x)＝x3，g(x)＝x＋eq\r(x).求函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點個數(shù)，并說明理由．

答案1．B2．B3．D4．B5．C6．A7．D8．B9．－210．－eq\f(3,4)11．212．61000013．解(1)當a>0，b>0時，任意x1，x2∈R，x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)．∵2x1<2x2，a>0?a(2x1－2x2)<0，3x1<3x2，b>0?b(3x1－3x2)<0，∴f(x1)－f(x2)<0，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)．當a<0，b<0時，同理，函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)．(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0，當a<0，b>0時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x>－eq\f(a,2b)，則x>log1.5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2b)))；當a>0，b<0時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x<－eq\f(a,2b)，則x<log1.5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2b))).14．解由題意知，x∈[0，＋∞)，h(x)＝x3－x－eq\r(x)，h(0)＝0，且h(1)＝－1<0，h(2)＝6－eq\r(2)>0，則x＝0為h(x)的一個零點，且h(x)在(1,2)內(nèi)有零點．因此，h(x)至少有兩個零點．方法一h′(x)＝3x2－1－eq\f(1,2)x，記φ(x)＝3x2－1－eq\f(1,2)x，則φ′(x)＝6x＋eq\f(1,4)x.當x∈(0，＋∞)時，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則φ(x)在(0，＋∞)內(nèi)至多只有一個零點．又因為φ(1)>0，φ(eq\f(\r(3),3))<0，則φ(x)在(eq\f(\r(3),3)，1)內(nèi)有零點，所以φ(x)在(0，＋∞)內(nèi)有且只有一個零點．記此零點為x1，則當x∈(0，x1)時，φ(x)<φ(x1)＝0；當x∈(x1，＋∞)時，φ(x)>φ(x1)＝0.所以當x∈(0，x1)時，h(x)單調(diào)遞減，而h(0)＝0，則h(x)在(0，x1]內(nèi)無零點；當x∈(x1，＋∞)時，h(x)單調(diào)遞增，則h(x)在(x1，＋∞)內(nèi)至多只有一個零點，從而h(x)在(0，＋∞)內(nèi)至多只有一個零點．綜上所述，h(x)有且只有兩個零點．方法二由h(x)＝x(x2－1－x－eq\f(1,2))，記φ(