專題04相似三角形的存在性目錄最新模考題熱點題型歸納【題型一】相似三角形的存在性【題型二】圓和相似三角形【題型三】雙等角模型【題型四】345模型【題型一】相似三角形的存在性【典例分析】1．（2023浦東新區一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，點D是斜邊AC上的動點，聯結BD，EF垂直平分BD交射線BA于點F，交邊BC于點E．（1）如圖，當點D是斜邊AC上的中點時，求EF的長；（2）聯結DE，如果△DEC和△ABC相似，求CE的長；（3）當點F在邊BA的延長線上，且AF＝2時，求AD的長．【提分秘籍】相似三角形存在性問題，分類討論步驟：第一步：找到題目中已知三角形和待求三角形中相等的角；要先確定已知三角形是否有直角，或確定銳角（借助三角函數值初中階段衡量角度問題的計算手段，二次函數角的存在性壓軸專題應用更為突出）①若有已知的相等角，則其頂點對應；②若沒有相等的角，則讓不確定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。第二步：確定相似后，根據對應邊成比例求解動點坐標：①若已知三角形各邊已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數、對稱、旋轉等知識來推導邊的大小；②若兩個三角形的各邊均未給出，則應先設所求點的坐標進而用函數解析式來表示各邊的長度，之后用相似來列方程求解。【變式演練】1．（2023楊浦區一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是邊AB上的中線，AC＝3，BC＝4，點Q是CB延長線上的一動點，過點Q作QP⊥CD，交CD的延長線于點P．（1）當點B為CQ的中點時，求PD的長；（2）設BQ＝x，PD＝y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；（3）過點B作BF⊥AB交PQ于F，當△BDF和△ABC相似時，求BQ的長．2．（2023徐匯區一模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點D為邊BC上一動點（與點B、C不重合），點E為AB上一點，∠EDB＝∠ADC，過點E作EF⊥AD，垂足為點G，交射線AC于點F．（1）如果點D為邊BC的中點，求∠DAB的正切值；（2）當點F在邊AC上時，設CD＝x，CF＝y，求y關于x的函數解析式及x的取值范圍；（3）聯結DF，如果△CDF與△AGE相似，求線段CD的長．3．（2021·上海徐匯區·九年級一模）如圖，在中，，，，點是邊上的動點，以為邊在外作正方形，分別聯結、，與交于點．（1）當時，求正方形的面積；（2）延長交于點，如果和相似，求的值；（3）當時，求的長．4．（2021·上海楊浦區·九年級一模）如圖，已知在中，，，點D為邊上一動點（與點B、C不重合），點E為邊上一點，，過點E作，垂足為點G，交射線于點F．（1）如果點D為邊的中點，求的正切值；（2）當點F在邊上時，設，，求y關于x的函數解析式及定義域；（3）聯結如果與相似，求線段的長．5.（2021松江一模）如圖，已知在等腰中，，，，垂足為F，點D是邊AB上一點（不與A，B重合）（1）求邊BC的長；（2）如圖2，延長DF交BC的延長線于點G，如果，求線段AD的長；（3）過點D作，垂足為E，DE交BF于點Q，連接DF，如果和相似，求線段BD的長．【題型二】圓和相似三角形【典例分析】（2022?徐匯區二模）如圖，AB為半圓O的直徑，點C在線段AB的延長線上，BC＝OB，點D是在半圓O上的點（不與A，B兩點重合），CE⊥CD且CE＝CD，聯結DE．（1）如圖1，線段CD與半圓O交于點F，如果DF＝BF，求證：；（2）如圖2，線段CD與半圓O交于點F，如果點D平分，求tan∠DFA；（3）聯結OE交CD于點G，當△DOG和△EGC相似時，求∠AOD．【提分秘籍】[圓中相似思路]利用圓周角定理等盡可能找相等角，兩組角相等即可證全等:若有相等線段轉化線段，問題中的線段可能并非相似三角形中的線段確定相等線段、角之后，猜想可能存在的相似并證明.【變式演練】1.【2021寶山二模】如圖，已知AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分別為點B、點C，AC與BD交于點P．（1）如果AB＝3，CD＝5，以點P為圓心作圓，圓P與直線BC相切．①求圓P的半徑長；②又BC＝8，以BC為直徑作圓O，試判斷圓O與圓P的位置關系，并說明理由．（2）如果分別以AB、CD為直徑的兩圓外切，求證：△ABC與△BCD相似．2.【2021虹口二模】（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（3）小題5分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tanA=,AC=5，點M是射線AB上一點，以MC為半徑的⊙M交直線AC于點D．（1）如圖9，當MC=AC時，求CD的長；（2）當點D在線段AC的延長線上時，設BM=x，四邊形CBMD的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；（3）如果直線MD與射線BC相交于點E，且△ECD與△EMC相似，求線段BM的長．CCMBA圖9DCCBA備用圖3.【2021年浦東新區二模】（14分）已知：半圓O的直徑AB＝6，點C在半圓O上，且tan∠ABC＝2，點D為弧AC上一點，聯結DC（如圖）（1）求BC的長；（2）若射線DC交射線AB于點M，且△MBC與△MOC相似，求CD的長；（3）聯結OD，當OD∥