二輪復習【中考沖刺】2023年中考數學重要考點名校模擬題分類匯編專題07——規律探究（安徽專用）1．（2022·安徽蕪湖·校考一模）如圖．ΔABC的面積為1．分別取AC,BC兩邊的中點，則四邊形A1ABB1的面積為34，再分別取的A1C,B1C中點AA．4n-1-14n-1 B．4n-1【答案】B【分析】由△CA1B1∽△CAB得出面積比等于相似比的平方，得出△CA1B1的面積為14，因此四邊形A1ABB1的面積為114，以此類推．四邊形的面積為14-1【詳解】∵A1、B1分別是AC、BC兩邊的中點，且△ABC的面積為1，∴△A1B1C的面積為1×∴四邊形A1ABB1的面積=△ABC的面積△A1B1C的面積=34∴四邊形A2A1B1B2的面積=△A1B1C的面積△A2B2C的面積=14…，∴第n個四邊形的面積14故3=1=4故選：B．【點睛】本題考查了規律型問題，三角形中位線定理和相似三角形的判定與性質，同時也考查了學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力．解題的關鍵是學會探究規律，利用規律解決問題．2．（2021·安徽合肥·統考二模）已知整數a1,a2,a3A．-1009 B．-1010 C． D．-2020【答案】B【分析】分別計算：a1【詳解】解：探究規律：a1a2a3a4a5a6a7……，總結規律：當n是奇數時，結果等于-n-12；n是偶數時，結果等于運用規律：，故選：B．【點睛】本題考查的是數字類的規律探究以及列代數式，掌握規律探究的基本方法是解題的關鍵．3．（2023·安徽滁州·校考一模）觀察以下等式：第1個等式：14+1=22+第3個等式：916+1=64+第5個等式：2536+1=按照以上規律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)36(2)n【分析】（1）尋找規律，能求出第6個等式．（2）猜想的第n個等式為：n2【詳解】（1）第6個等式：3649（2）猜想的第n個等式為：n證明如下：左邊=n右邊=2n左邊=右邊∴n【點睛】本題考查簡單的歸納推理、數學歸納法等基礎知識，還考查分式的加法運算，是中檔題．4．（2023·安徽合肥·統考一模）觀察下列等式的規律，解答下列問題：第1個等式：12第2個等式：2第3個等式：32第4個等式：42……(1)請你寫出第5個等式：________．(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．【答案】(1)5(2)n2【分析】（1）根據題干所給的等式可直接進行求解；（2）根據題干所給的等式找出一般規律，然后問題可求解．【詳解】（1）解：52故答案為52（2）解：猜想的第n個等式：n2證明：左邊=n右邊=3n∴左邊＝右邊，∴猜想成立．【點睛】本題主要考查代數式的規律問題，解題的關鍵是得到等式的一般規律．5．（2022·安徽馬鞍山·校考一模）觀察下列由黑點組成的圖形圖1中黑點個數為1，圖2中黑點個數為2+3+4=9，圖3中黑點個數為3+4+5+6+7=25，圖4中黑點個數為4+5+6+7+8+9+10=49…按照以上規律，解決下列問題：(1)圖5中黑點個數對應的等式為：；(2)寫出你猜想圖n中黑點個數對應的等式：．（用含n的等式表示）；(3)根據找到的規律，利用其證明（2）的結論．【答案】(1)5+6+7+8+9+10+11+12+13=81(2)(3)見解析【分析】（1）根據題中的式子找規律，代入求解；（2）根據題中的式子，猜想結論；（3）把左邊求值，化為右邊的結論．【詳解】（1）解：2+3+4=3+4+5+6+7=4+5+6+7+8+9+10=圖5中黑點個數對應的等式為：5+6+7+8+9+10+11+12+13=9故答案為：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81；（2）解：2+3+4=3+4+5+6+7=4+5+6+7+8+9+10=圖n中黑點個數對應的等式為：故答案為：．（3）左邊＝右邊，所以．【點睛】本題考查了圖形的變化規律以及整式的運算，找到變化規律是解題的關鍵．6．（2022·安徽合肥·校考二模）觀察下列關于自然數的等式：3×13×23×3…根據上述規律解決下列問題：(1)完成第四個等式：3×4×5=(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并驗證其正確性；(3)根據你發現的規律，可知1×2+2×3+3【答案】(1)4(2)第n個等式為：3×(3)333300【分析】（1）觀察前三個等式，找到相同點和不同點，相同點每個式子第一個都是3，不同點在于第二個就是序號數字，第三個是序號數字加1，根據此即可解出此題．（2）根據所給的等式的特點，不難得出第n個等式為：3×（3）利用（2）中的規律進行求解即可．【詳解】（1）解：觀察可發現，等號右邊第一個乘式的第一個數字均是序列號，后面就是連續的整數，第二個乘式的第二個數字是序列號，第一個和第三個分別是序列號的相鄰數字，所以第四個式子右邊應該是：3×故答案為：4×（2）由觀察可得，等式左邊乘式的組成為，第一個數字為3，第二個數字為序列號，第三個數字為序列號加1，再由（1）可知，第n個式子應該就是：3×等式右邊=(n+1)(n所以猜想正確；（3）1====333300，故答案為：333300．【點睛】本題主要考查數字的變化規律，有理數的混合運算，解答的關鍵是由所給的等式總結出存在的規律．7．（2023·安徽馬鞍山·校考一模）已知實數a1，aa(1)求a3(2)求an的值（用含n(3)求2022a【答案】(1)a(2)a(3)2021【分析】（1）根據題目中的式子可以計算出a3（2）根據題目的式子，可以用含n的代數式表示an（3）根據（2）中的結果，可以計算出所求式子的值．【詳解】（1）解：∵，a1+∴a1∴a3（2）解：a==，即an（3）解：∵an∴2022=2022=2022=2022=2022．【點睛】本題考查數字類變化規律探究、列代數式并求值，解答本題的關鍵是明確題意，發現題目中式子的變化特點，并靈活運用求出所求式子的值．8．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學校考一模）觀察下列等式：第1個等式：22-3×1-1=12-1；第2個等式：32-3×2-1=22-2；第(1)寫出第5個等式；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的等式表示），并證明；【答案】(1)6(2)n+12【分析】（1）根據題目中等式的特點，寫出第5個等式；（2）根據題目中等式的特點，寫出猜想，再將等式左邊和右邊展開，看是否相等，即可證明猜想．【詳解】（1）6（2）n+1證明：左邊=n+1【點睛】本題考查數字的變化類、列代數式，了解等式的特點，是解題關鍵．9．（2023·安徽宿州·統考一模）觀察下圖中用小黑點擺成的三角形，并根據圖中規律回答相關問題．(1)第4個圖形對應的等式為______．(2)若第n個圖形對應的黑點總數為66個，求n的值．【答案】(1)1+2+3+4+5=(2)10【分析】（1）根據題目所給的式子寫出第4個圖形對應的等式即可；（2）找到規律得到第n個圖形對應的黑點為1+2+3+?【詳解】（1）解：由題意得，第4個圖形對應的等式為1+2+3+4+5=5故答案為：1+2+3+4+5=（2）解：根據題意可得第n個圖形對應的黑點為1+2+3+?∴n+1n+22=66解得n1=10，∴n的值為10．【點睛】本題主要考查了圖形類的規律探索，解一元二次方程，正確理解題意找到圖形之間的規律是解題的關鍵．10．（2022·安徽合肥·合肥市第四十二中學校考三模）如圖幾何體是由若干棱長為1的小立方體按一定規律在地面上擺成的，若將露出的表面都涂上顏色（底面不涂色），觀察該圖，探究其中的規律．(1)第1個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有______個；第2個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有______個；第3個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有______個．(2)求出第10個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的塊數．(3)求出前100個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的塊數的和．【答案】(1)4，12，20(2)第10個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的塊數共有76個(3)前100個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的個數的和為40000個【分析】（1）第1個幾何體中最底層的4個角的小立方體只有2個面涂色；第2個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有3×4=12(個)；第3個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有5×4=20(個)；（2）根據所給圖形中只有2個面涂色的小立方體的塊數得到第n個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的塊數與4的倍數的關系即可；（3）根據（2）得到的規律，進行計算即可．【詳解】（1）解：觀察圖形可得第1個幾何體中最底層的4個角的小立方體只有2個面涂色；第2個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有3×4＝12(個)；第3個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有5×4＝20(個)．故答案為：4，12，20；（2）解：觀察圖形可知：圖①中，只有2個面涂色的小立方體共有4個；圖②中，只有2個面涂色的小立方體共有12個；圖③中，只有2個面涂色的小立方體共有20個．4，12，20都是4的倍數，可分別寫成4×1，4×3，4×5的形式，因此，第n個圖中兩面涂色的小立方體的塊數共有：4(2n﹣1)＝8n﹣4，則第10個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的塊數共有8×10﹣4＝76(個)；（3）解：(8×1﹣4)+(8×2﹣4)+(8×3﹣4)+(8×4﹣4)+(8×5﹣4)+…+(8×100﹣4)＝8(1+2+3+4+…+100)﹣100×4＝40000(個)．故前100個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的個數的和為40000個．【點睛】本題考查了認識立體圖形，圖形的變化規律．得到所求塊數與4的倍數的關系是解決本題的關鍵．11．（2022·安徽合肥·合肥市廬陽中學校考二模）探究題．觀察圖形，解答下列問題．(1)圖中的小圓圈被折線隔開分成六層，第一層有1個小圓圈，第二層有3個圓圈，第三層有5個圓圈，，第六層有11個圓圈．如果要你繼續畫下去，那么第八層有幾個小圓圈？第n層呢？(2)某一層上有65個圓圈，這是第幾層？(3)圖中從第一層到第n層一共有多少個圓圈？(4)計算：1+3+5+…(5)計算：101+103+105+…【答案】(1)15，2n(2)33(3)n(4)2500(5)7500【分析】（1）根據所給的圖形觀察、計算可得規律得第n層：即可（2）利用（1）中得出的規律計算即可；（3）利用（1）得出的規律，然后求和即可；（4）利用（3）中發現的規律求解即可；（5）利用（3）中發現的規律求解即可．【詳解】（1）解：第一層：2×第二層：2×第三層：2×…得出規律：第n層：，則第八層有：，第n層有2n-（2）解：2n-n=33．所以，這是第33層．（3）解：1+3+5+…（4）解：．（5）解：=100．【點睛】本題主要考查了圖形的變化規律以及應用規律，根據已知得出圖形的變化規律是解答本題的關鍵．12．（2022·安徽淮南·統考二模）（1）初步感知，在④的橫線上直接寫出計算結果：①；②13+23=3；③13+（2）深入探究，觀察下列等式：①1+2=(1+2)×22；②1+2+3=(1+3)×32；根據以上等式的規律，在下列橫線上填寫適當內容：1+2+3+?+n+(n+1)=（3）拓展應用，通過以上初步感知與深入探究，計算：①13②11【答案】（1）10；（2）(n+2)(n+1)2；（3）①5050；②【分析】(1)觀察可得，每個式子的結果都等于被開放數中所有加數的底數之和；(2)所有自然數相加的和等于首項＋尾項的和再乘以自然數的個數，最后除以2即可；(3)利用（1）（2）中的規律綜合運用即可求解．【詳解】解：（1）10；（2）(n+2)(n+1)2（3）①原式=1+2+3+4+5+=(1+100)×100②原式==2【點睛】主要考查了二次根式的基本性質與化簡、探尋數列規律、整式的加減，掌握這三個知識點的應用，其中探求規律是解題關鍵.13．（2022·安徽滁州·校考一模）【閱讀】求值1+2+22+解：設S=1+2+22+將等式①的兩邊同時乘以2得：2S=2+22+由②﹣①得：2S即：S=1+2+22【運用】仿照此法計算：1+5+52+【延伸】如圖，將邊長為1的正方形分成4個完全一樣的小正方形，得到左上角一個小正方形為S1，選取右下角的小正方形進行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2019次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2019．完成下列問題：（1）小正方形的面積S2019等于；（2）求正方形S1、S2、S3、…、S2019的面積和．【答案】[運用]5101-14；（1）；（2【分析】[運用]仿照題目中的算法可以解答本題；（1）由S1=14、、，可得（2）仿照題目中的算法可以解答本題．【詳解】解：[運用]設S=1+5+52①×3，得：5S=5+52②-①，得：4S=5則S=5101-1（1）∵S1=14、∴S2019故答案為：；（2）設S=S1①×14，得：1①②，得：34所以S=43(【點睛】本題考查數字的變化類，解題的關鍵是明確題意，發現數字的變化規律．14．（2022·安徽·一模）觀察一下等式：第一個等式：12第二個等式：12第三個等式：12…按照以上規律，解決下列問題：（1）12+（2）寫出第五個式子：；（3）用含的式子表示一般規律：12+（4）計算（要求寫出過程）：3【答案】（1）；（2）12+122+123【分析】（1）根據題目中的幾個等式，可以發現數字的變化特點，從而可以寫出第四個等式；（2）根據題目中的幾個等式，可以發現數字的變化特點，從而可以寫出第五個等式；（3）根據題目中的幾個等式，可以總結規律，得到一般形式；（4）根據（3）中規律進行計算．【詳解】解：（1）由題意可得：12故答案為：；（2）第五個式子為：12（3）由題意可得：12（4）3=3=3=189【點睛】本題考查數字的變化類、列代數式，解答本題的關鍵是明確題意，發現題目中數字的變化特點，求出相應的式子．15．（2022·安徽合肥·合肥市五十中學西校校考三模）觀察下列各等式：①13②14③15④1…按照以上規律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式：；(2)寫出你猜想的第n個等式：（用含n的等式表示），并證明其正確性．【答案】(1)1(2)1n+2-1【分析】（1）根據題干前4個運算式的提示，歸納出相同的運算式的特點，再寫出第⑤個即可；（2）把等式的左邊通分，再計算即可得到結論．【詳解】（1）解：①13②14③15④16所以⑤為：17故答案為1（2）由（1）歸納可得：1n+2-1證明如下：1n+2故答案為：1n+2-1【點睛】本題考查的是運算規律的探究，分式的加減運算，掌握“從具體到一般的探究方法”是解本題的關鍵．16．（2022·安徽合肥·統考模擬預測）為美化市容，某廣場要在人行雨道上用10×20的灰、白兩色的廣場磚鋪設圖案，設計人員畫出的一些備選圖案如圖所示．[觀察思考]圖1灰磚有1塊，白磚有8塊；圖2灰磚有4塊，白磚有12塊；以此類推．(1)[規律總結]圖4灰磚有______塊，白磚有______塊；圖n灰磚有______塊時，白磚有______塊；(2)[問題解決]是否存在白磚數恰好比灰磚數少1的情形，請通過計算說明你的理由．【答案】(1)16，20；n2，4n＋(2)存在，見解析【分析】（1）根據圖形算出圖3白磚和灰磚的數量，再根據圖形規律算出圖4白磚和灰磚的數量，通過圖1到圖4的數字規律得出圖n白磚和灰磚的數量；（2）假設存在圖n白磚數恰好比灰磚數少1的情形，根據白磚和灰磚的數量建立方程，方程有解證明假設成立．【詳解】（1）圖3的灰磚數量應為1+2+3+2+1=9圖3的白磚數量為12+4=16圖4的灰磚數量應為1+2+3+4+3+2+1=16圖4的白磚應比圖3上下各多一行得圖4白磚的數量為：16+4=20圖1灰磚的數量為1圖2灰磚的數量為4圖3灰磚的數量為9圖4灰磚的數量為16得圖n灰磚的數量為n圖1白磚的數量為8=4圖2白磚的數量為12=4圖3白磚的數量為16=圖4白磚的數量為20=4得圖n白磚的數量為4n+4故答案為：16，20；n2，4n＋4（2）假設存在，設圖n白磚數恰好比灰磚數少1∴白磚數量為4n+4，灰磚數量為n∴4n+4=n∴n∴n∴n=5，或n=-故當n=5時，白磚的數量為24，灰磚的數量為25，白磚比灰磚少1故答案為：存在．【點睛】本題考查數字規律和一元二次方程的相關知識，解題的關鍵是掌握數字規律的分析方法和一元二次方程的性質．17．（2022·安徽合肥·合肥38中校考一模）如圖，一個點從數軸上的原點開始，先向右移動3個單位長度，再向左移動5個單位長度，可以看出，終點表示數﹣2，已知點A是數軸上的點，請參照圖示，完成下列問題：(1)如果點A表示數﹣3，將點A向右移動7個單位長度，那么終點表示的數是______；(2)如果點A表示數3，將點A向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度，那么終點表示的數是______；(3)如果點A表示數a，將點A向左移動m（m＞0）個單位長度，再向右移動n（n＞0）個單位長度，那么終點表示數是多少（用含a、m、n的式子表示）？【答案】(1)4(2)1(3)終點表示數是（a﹣m+n）【分析】（1）根據3點為A，右移7個單位得到B點為3+7=4，則可以得出答案；（2）根據3表示為A點，將點A向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度，得到點為37+5=1，可以得出答案；（3）方法同（2），根據數軸上表示的數左減右加的原則計算即可．．【詳解】（1）∵點A表示數﹣3，∴點A向右移動7個單位長度，終點B表示的數是﹣3+7＝4，故答案是：4；（2）∵點A表示數3，∴將A點向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度，那么終點表示的數是3﹣7+5＝1；故答案是：1；（3）∵A點表示的數為a，∴將A點向左移動m個單位長度，再向右移動n個單位長度，那么終點表示數是（a﹣m+n）．【點睛】本題考查的是數軸的定義及數軸上兩點之間的距離公式，弄清題中的規律是解本題的關鍵．18．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中學校考三模）我們把連接菱形對邊中點得到的所有菱形稱作如圖①所示基本圖的特征圖形顯然這樣的基本圖共有5個特征圖形．將此基本圖不斷復制并平移，使得相鄰兩個基本圖的一個頂點與對稱中心重合，這樣得到圖1、圖2、圖3…(1)觀察以上圖形并完成下表：圖形名稱基本圖的個數特征圖形的個數圖115圖229圖3313圖44______………猜想：在圖n中，特征圖形的個數為______；（用含n的式子表示）(2)已知基本圖的邊長為4，一個內角恰好為60°，求圖20【答案】(1)17，4n+1(2)圖20中所有特征圖形的面積之和為282【分析】（1）根據從第2個圖形開始，每多一個基本圖形就會多出4個菱形解答即可；（2）根據圖形的特征解決問題即可．【詳解】（1）解：觀察圖形和表可得：圖1中的特征圖形的個數為：5=4+1，圖2中的特征圖形的個數為：9=4×圖3中的特征圖形的個數為：13=4×∴圖4中的特征圖形的個數為：，∴圖n中的特征圖形的個數為：4n+1．故答案為：17，4n+1（2）如圖，過點A作AD⊥BC于D，根據題意知基本圖的邊長為4，一個內角恰好為60°即菱形ABCE的邊長為4，一個內角恰好為60°∴AB=BC=4，∠ABC=60∴在Rt△ABD中，AD=ABsin∴S菱形∴大的特征圖形面積為83，小的特征圖形面積為8由（1）知，圖20中共有特征圖形：4×其中有20個大的特征圖形，61個小的特征圖形，∴圖20中所有特征圖形的面積之和為：20×∴圖20中所有特征圖形的面積之和為2823【點睛】本題考查平移設計圖案，規律型問題，涉及到菱形的面積計算和三角函數等知識．解題的關鍵是學會探究規律的方法．19．（2022·安徽·校聯考三模）楊輝三角是中國古代數學杰出的研究成果之一．如圖所示是一種變異的“楊輝三角”：仔細觀察上表，根據你發現的規律，解答下列問題：(1)從上往下數第6行，左邊第二個數是__________，右邊最后一個數是__________；(2)該數表中是否存在數255？并說明理由．【答案】(1)64，68(2)存在，理由見解析【分析】（1）根據題意可知可以得到第n行第1個數為2n-1，由此可得第n行第n個數為（2）假設存在數255，則2n【詳解】（1）解：∵1=21-1，3=22-1，∴可以得到第n行第1個數為2n∴第n行第n個數為2n∴第6行第2個數為26+2+2=64，第6行最后一個數為（2）解：∵第n行第n個數為2n∴假設存在數255，則2n∵28∴當時，28-∴255即為第8行第一個數，∴存在數255．【點睛】本題主要考查了數字類的規律題，正確找到規律是解題的關鍵．20．（2021·安徽·統考中考真題）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續排列．[觀察思考]當正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）；當正方形地磚有2塊時，等腰直角三角形地磚有8塊（如圖3）；以此類推，[規律總結]（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加塊；（2）若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數為（用含