學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精第三章統計案例eq\o（\s\up7(）,\s\do5(本章概覽））eq\o（\s\up7(）,\s\do5(整體設計））教材分析1．本章內容在學科知識中的地位與重要性在實際生活中，我們經常面臨著一些需要作出推斷的問題，例如研制出的一種新藥,需要推斷它是否有效；吸煙是否與患癌癥有關等等，在對于類似的問題作出推斷時，我們不能僅憑主觀臆斷作出結論，而是需要通過實驗來收集數據，并對這些數據作出相應的分析，從而做出合理的判斷．兩個變量之間是否存在關系？又是何種關系?這些問題的解決,也是數學中一種重要的思想方法．本章是數學與生產、生活實際相結合、相聯系的重要體現,是數學重要思想方法的應用，是數學與生產、生活相聯系的橋梁之一．2．本章主要內容本章知識是新課標教材的新增內容，目的是通過案例介紹一些統計方法，體會運用統計方法解決實際問題的基本思想，認識統計方法在決策中的作用．本章的重點是：獨立性檢驗和回歸分析的基本思想與方法；難點是：獨立性檢驗和回歸分析的初步應用．主要內容具體有:(1）線性相關關系的判斷；（2)殘差分析；（3)建立回歸模型的基本步驟;(4）擬合效果的比較;（5）等高條形圖的應用；(6)獨立性檢驗的基本思想．課標要求1．通過典型案例的探究，進一步了解回歸分析的基本思想、方法及其初步應用．2．通過典型案例的探究，了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯表）的基本思想、方法及其初步應用．教學建議本章在必修課程學習統計的基礎上,通過對典型案例的討論，了解和使用一些常用的統計方法，進一步體會運用統計方法解決實際問題的基本思想，認識統計方法在決策中的作用．在進行本章教學時，應注意以下幾點:(1)通過對典型案例的討論，了解回歸分析的基本思路、方法及其初步應用．回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方法．教學中應該通過生活中詳實事例理解回歸分析的方法,其步驟為通過散點圖，直觀地了解兩個變量的關系,然后，通過最小二乘法建立回歸模型，最后通過分析殘差、相關指數等，評價模型的好壞．重點是了解回歸分析的思想方法,對其理論基礎不做要求，避免學生單純記憶和機械套用公式進行計算．(2）通過對典型案例的分析，了解獨立性檢驗的基本思想、方法及其初步應用．教學中應用實例分析總結得出獨立性檢驗的意義，并且認真體會獨立性檢驗的基本思路類似于反證法,會用類比的思想方法得出獨立性檢驗的基本步驟．重點是了解獨立性檢驗的思想方法,對其理論基礎不做要求，避免學生單純記憶和機械套用公式進行計算．（3)回歸分析和獨立性檢驗兩種思想方法的學習重在使用．這部分內容是《必修3》統計內容的深化，反映了對已學知識的螺旋式上升的認識過程，也充分體現了兩種思想的應用價值,在應用中不斷提高對兩種思想方法的認識．課時分配本章教學時間大約需10課時，具體分配如下(僅供參考）3．1回歸分析的基本思想及其初步應用約4課時3．2獨立性檢驗的基本思想及其初步應用約3課時實習作業約2課時本章復習約1課時3．1回歸分析的基本思想及其初步應用eq\o（\s\up7()，\s\do5(整體設計)）教材分析1．教材的地位和作用高中新課程中增加了有關統計學初步的內容，先后出現在必修3和選修12(文科）、選修23（理科）中．《數學3（必修)》中的“統計”一章，給出了運用統計的方法解決問題的思路．“線性回歸分析"是其介紹的一種分析、整理數據的方法．在這一部分中，學習了如何畫散點圖、利用最小二乘法的思想、利用計算器求回歸直線方程、利用回歸直線方程進行預報等內容．然而在大量的實際問題中，兩個變量不一定都呈線性相關關系，它們可能呈指數關系或對數關系等非線性關系，本節就是在學習了如何建立線性回歸模型的基礎上,探索如何建立非線性關系的回歸模型．通過本節的學習，使學生了解回歸分析的必要性和回歸分析的基本思想，明確回歸分析的基本方法和基本步驟，學會以科學的態度評價兩個變量的相互關系，培養學生運用所學內容解決實際問題的能力．2．課時劃分《回歸分析的基本思想及其初步應用》的教學分四個課時完成．第一課時：介紹線性回歸模型的數學表達式，解釋隨機誤差項產生的原因，使學生能正確理解回歸方程的預報結果；第二課時：從相關系數、相關指數和殘差分析角度探討回歸模型的擬合效果,以及建立回歸模型的基本步驟;第三課時：介紹兩個變量非線性相關關系;第四課時：回歸分析的應用．第一課時教學目標知識與技能通過典型案例的探究，進一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應用．過程與方法讓學生經歷數據處理的過程，培養他們對數據的直觀感覺,體會統計方法的特點，認識統計方法的應用；通過使用轉化后的數據，利用計算器求相關指數,使學生體會使用計算器處理數據的方法．情感、態度與價值觀從實際問題中發現已有知識的不足，激發好奇心、求知欲;通過尋求有效的數據處理方法，開闊學生的思路，培養學生的探索精神和轉化能力;通過案例的分析，使學生了解回歸分析在生活實際中的應用，增強數學“取之生活，用于生活”的意識，提高學習興趣．重點難點教學重點:理解回歸分析的基本思想,掌握求回歸直線方程的步驟以及對隨機誤差e的認識．教學難點：掌握利用回歸分析的基本思想處理實際問題的方法，理解隨機誤差的來源和對預報變量的影響．eq\o（\s\up7(）,\s\do5(教學過程)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(引入新課）)“名師出高徒”這句諺語的意思是什么？有名氣的老師就一定能教出厲害的學生嗎?這兩者之間是否有關？活動設計：學生獨立思考回答問題．學情預測:學生可能會說“有名氣的老師不一定能教出厲害的學生”．教師提問：為什么?學情預測:兩者之間有一定的關系，但不是必然關系，即名師也不一定出高徒,二者之間是相關關系．設計意圖：復習兩個變量之間的關系,為線性分析做好鋪墊．提出問題:我們知道函數關系是一種確定性關系，而相關關系是一種非確定性關系．上面所提的“名師"與“高徒”之間的關系就是相關關系．那么，在一般情況下，人的身高與體重之間是什么關系？試設計一個方案，來分析某大學女大學生的身高與體重之間的關系，并以此為依據來預報身高172cm的女大學生的體重．學生活動：學生獨立思考，小組合作交流討論．活動結果:可以采用統計的方法解決這一問題,先采用隨機抽樣的方法，從在校女大學生中抽取樣本，記錄其身高和體重，然后通過所得數據建立線性回歸模型,并根據所得模型來預報身高為172cm女生的體重．其步驟：收集數據→作散點圖→求回歸直線方程→利用方程進行預報．設計目的：合理設計問題，使學生進一步掌握用統計方法解決問題的基本步驟：提出問題、收集數據、分析整理數據、進行預測或決策．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(探究新知）)若從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數據如下表所示：編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重．學生活動:分組合作探究，查閱課本中的計算公式．活動結果：1。畫散點圖選取身高為自變量x,體重為因變量y，畫出散點圖形象展示兩個變量之間的關系，并判斷二者是否具有線性關系．由散點圖可以發現，樣本點呈條狀分布，身高和體重有比較好的線性相關關系，因此可以用線性回歸直線近似刻畫它們之間的關系．2．建立回歸方程由計算器可得eq\o（a，\s\up6（^））＝－85.712，eq\o（b,\s\up6(^））＝0。849。于是得到回歸方程為eq\o（y，\s\up6（^))＝0.849x－85.712。3．預報和決策當x＝172時，eq\o(y,\s\up6（^））＝0.849×172－85。712＝60。316(kg）．即一名身高為172cm的女大學生的體重預報值為60.316kg。設計目的：進一步熟悉線性回歸分析的具體步驟．提高學生的數據處理能力,并讓學生在應用中進一步掌握公式的應用．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（理解新知）)提出問題：散點圖可以直觀地判斷兩個變量是否具有線性相關性，那么還有什么方法可以描述線性相關性的強弱？學生活動：獨立思考或相互討論．活動結果：還可以通過必修3中的相關系數r來衡量兩個變量之間的線性相關關系的強弱．提出問題:如何根據相關系數r描述線性相關性的強弱？相關系數的計算公式是什么?學生活動：獨立思考或相互討論，查閱課本．活動結果：其具體計算公式是r＝eq\f（\i\su(i＝1,n,）（xi－\x\to(x))（yi－\x\to（y）)，\r（\i\su(i＝1，n，)（xi－\x\to(x））2\i\su(j＝1，n，)(yj－\x\to(y)）2))當r>0時，表示兩個變量正相關；當r〈0時，表示兩個變量負相關．r的絕對值越接近1,表明兩個變量的線性相關性越強，r的絕對值越接近0,表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系．通常，當|r|>0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關關系．提出問題：在本例中,身高和體重的線性相關系數是多少？我們建立的線性回歸方程是否有實際意義？學生活動：獨立計算，求解相關系數．活動結果：利用計算器可求得r＝0.798，這表明體重與身高有很強的線性相關關系,從而表明我們建立的回歸模型是有意義的．設計目的：復習判斷變量線性相關的方法，進一步熟悉線性相關系數的計算公式．提出問題：身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？學生活動：獨立思考也可相互討論．學情預測：不一定，但一般可以認為她的體重在60.316kg左右．提出問題：為什么根據得到的一次函數求出的結論不一定是實際值?產生誤差的原因是什么？學生活動：獨立思考也可相互討論，教師加以適當的引導提示．活動結果：觀察上述散點圖，我們可以發現女大學生的體重y和身高x之間的關系并不能用一次函數y＝bx＋a來嚴格刻畫（因為所有的樣本點不共線，所以線性模型只能近似地刻畫身高和體重的關系）．在數據表中身高為165cm的3名女大學生的體重分別為48kg、57kg和61kg，如果能用一次函數來描述體重與身高的關系，那么身高為165cm的3名女大學生的體重應相同．這就說明體重不僅受身高的影響還受其他因素的影響，如生理因素、飲食鍛煉、測量工具等其他因素．為了更準確地刻畫身高和體重的關系，可用下列線性回歸模型來表示：y＝bx＋a＋e。我們把自變量x稱作解釋變量，因變量y稱作預報變量，e稱為隨機誤差．提出問題：函數模型y＝bx＋a與線性回歸模型y＝bx＋a＋e有什么關系？學生活動：獨立思考也可相互討論，教師加以適當的引導提示．活動結果：線性回歸模型：y＝bx＋a＋e當理想化時，即所有人的遺傳因素都一樣、所有人的生活方式都一樣、所有測量都沒有誤差等等，此時e＝0，線性回歸模型就變成函數模型了．因此，一次函數模型是線性回歸模型的特殊形式，線性回歸模型是一次函數模型的一般形式．設計目的：突破本節課的難點，充分認識隨機誤差e的來源和對預報變量的影響．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（運用新知）)例1假設關于某設備的使用年限x（年）和所支出的維修費用y(萬元)有如下統計數據:x23456y2。23.85。56.57。0若由此資料可知y對x呈線性相關關系，試求：(1)回歸直線方程；(2)估計使用年限為10年時,維修費用為多少？分析:正確理解計算eq\o（b,\s\up6(^)），eq\o(a,\s\up6（^)）的公式和準確的計算，是求線性回歸方程的關鍵．解：（1）由上表中的數據列成下表i12345xi23456yi2。23。85.56。57.0xiyi4。411。422.032。542.0xeq\o\al(2,i）49162536故eq\x\to（x）＝4,eq\x\to（y)＝5,eq\i\su（i＝1,5，x）eq\o\al（2,i）＝90，eq\i\su(i＝1，5,x）iyi＝112。3，于是eq\o(b，\s\up6(^))＝eq\f(\i\su（i＝1,5,x)iyi－5\x\to（x)\x\to(y),\i\su（i＝1,5，x）\o\al(2,i）－5\x\to(x）2)＝eq\f(112。3－5×4×5，90－5×42）＝1。23，eq\o（a,\s\up6（^）)＝eq\x\to(y）－eq\o（b,\s\up6（^)）eq\x\to(x）＝5－1.23×4＝0。08，∴回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6（^))＝eq\o（b，\s\up6(^））x＋eq\o（a，\s\up6（^）)＝1.23x＋0。08。（2)當x＝10時，eq\o(y，\s\up6（^)）＝1.23×10＋0.08＝12。38(萬元)，估計當使用10年時的維修費用為12。38萬元．點評:由于本節課題目計算量大，公式較多，所以在求解時易出現公式亂用，數據出錯等問題，對這一點，同學們在解題時尤為需要注意．【變練演編】例210名同學在高一和高二的數學成績如下表:x74717268767367706574y76757170767965776272其中x為高一數學成績，y為高二數學成績．(1）y與x是否具有線性相關關系；（2）如果y與x具有線性相關關系，求線性回歸方程．思路分析：先根據數據計算相關系數，然后根據相關系數的大小,判斷兩個變量是否線性相關．解：（1）由已知表格中的數據，利用計算器進行計算得eq\x\to（x）＝71，eq\x\to（y)＝72.3,eq\i\su（i＝1,10，x）iyi＝51467，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i）＝50520，eq\i\su（i＝1，10，y)eq\o\al(2，i）＝52541，r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,）(xi－\x\to(x))(yi－\x\to（y)）,\r(\i\su（i＝1，n，）(xi－\x\to（x）)2\i\su(j＝1，n,）(yj－\x\to(y))2))≈0.7853〉0。75，故兩個變量有很強的線性相關關系．(2)y與x具有線性相關關系,可設線性回歸方程為eq\o（y,\s\up6（^))＝eq\o(a,\s\up6（^）)＋eq\o（b，\s\up6(^））x，則eq\o（b，\s\up6(^））＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)（xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)）,\i\su（i＝1，10,)(xi－\x\to(x）)2)≈1。22,eq\o(a,\s\up6（^）)＝eq\x\to(y)－eq\o(b，\s\up6（^))eq\x\to(x)＝72。3－1.22×71＝－14。32，所以y關于x的線性回歸方程為eq\o(y，\s\up6(^））＝1。22x－14.32。點評:本題通過計算相關系數,將兩個變量相關性的判斷轉化為數據大小的比較．變式：在確定上題中y與x的線性相關關系中,是否還有別的方法？若有，請加以說明．活動設計：學生分組討論，回顧課本解答問題．活動成果：還可以通過畫散點圖的方法來判斷兩個變量是否具有相關性．如選取x的值作為自變量，y的值作為因變量,畫出散點圖．由圖可知兩個變量有線性相關性，求其回歸直線方程是有實際意義的．設計意圖：進一步熟悉判斷變量線性相關的各種方法．【達標檢測】1．對于回歸分析,下列說法錯誤的是()A．在回歸分析中，兩個變量的關系若是非確定關系,那么其中一個變量不能由另一個變量唯一確定B．回歸系數可以是正的,也可以是負的C．回歸分析中，如果r2＝1或r＝±1，說明變量x與變量y之間完全線性相關D．相關樣本系數r∈(－1,1）2．下列各組變量之間具有線性相關關系的是（）A．出租車費與行使的里程B．學習成績與學生身高C．身高與體重D．鐵的體積與質量3．若勞動生產率x（千元）與月工資y(元)之間的回歸直線方程為eq\o(y，\s\up6（^）)＝50＋80x，則下列判斷正確的是()A．勞動生產率為1000元時,月工資為130元B．勞動生產率提高1000元時,月工資平均提高80元C．勞動生產率提高1000元時，月工資平均提高130元D．月工資為210元時,勞動生產率為2000元答案：1.D2.C3.Beq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結)）（給學生1～2分鐘的時間默寫本節的主要基礎知識、方法、例題、題目類型、解題規律等；然后用精煉的、準確的語言概括本節的知識脈絡、思想方法、解題規律）1．知識收獲:進一步學習回歸分析的基本思想以及求回歸直線方程的步驟，正確認識隨機誤差e的產生原因、了解線性回歸模型與函數的不同之處．2．方法收獲：線性回歸方程的求法、用樣本估計總體的統計思想．3．思維收獲：體會模型診斷的思想，提高利用回歸方法解決實際問題的能力，培養探索和創新的精神．設計意圖：讓學生自己小結，這是一個多維整合的過程，是一個高層次的自我認識過程．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（補充練習)）【基礎練習】1．對變量x，y有觀測數據(xi，yi)(i＝1，2，…,10），得散點圖1；對變量u，v有觀測數據（ui，vi）(i＝1，2,…，10）,得散點圖2。由這兩個散點圖可以判斷(）圖1圖2A．變量x與y正相關，u與v正相關B．變量x與y正相關,u與v負相關C．變量x與y負相關，u與v正相關D．變量x與y負相關,u與v負相關2．實驗測得四組（x,y)的值是(1，2）,（2，3)，（3，4），(4，5）,則y對x的回歸直線方程是()A。eq\o（y，\s\up6（^))＝x＋1B。eq\o(y，\s\up6（^）)＝x＋2C.eq\o(y，\s\up6（^））＝2x＋1D。eq\o（y,\s\up6（^））＝x－13．已知回歸直線的斜率的估計值是1。23，樣本點的中心為(4,5)，則回歸直線的方程是(）A.eq\o(y，\s\up6(^））＝1。23x＋4B.eq\o（y,\s\up6(^））＝1。23x＋5C.eq\o（y,\s\up6（^)）＝1.23x＋0。08D.eq\o(y，\s\up6(^)）＝0.08x＋1。234．若已知eq\i\su（i＝1，n,）(xi－eq\x\to（x））2是eq\i\su（i＝1,n,)(yi－eq\x\to(y））2的2倍，eq\i\su（i＝1,n,）（xi－eq\x\to(x)）（yi－eq\x\to(y)）是eq\i\su（i＝1,n,)(yi－eq\x\to(y))2的1。2倍，則相關系數r＝____________.答案：1.C2。A3.C4。eq\f(3\r（2），5）【拓展練習】5．測得10對父子的身高(單位:英寸)如下：父親身高(x)60626465666768707274兒子身高(y)63。665。26665。566.967.167.468。370。170(1)對變量y與x進行相關性檢驗；（2）如果y與x之間具有線性相關關系，求線性回歸方程；(3)如果父親的身高為73英寸，估計兒子的身高．解：（1）eq\x\to（x)＝66。8,eq\x\to(y）＝67。01，eq\i\su(i＝1，10,x）eq\o\al（2，i)＝44794，eq\i\su(i＝1,10，y)eq\o\al(2,i）＝44941。93，eq\x\to（x)eq\x\to（y)＝4476。27，eq\x\to（x）2＝4462.24，eq\x\to(y)2＝4490。34，eq\i\su(i＝1,10，x)iyi＝44842.4。所以r＝eq\f(\i\su（i＝1,n，)(xi－\x\to（x))(yi－\x\to(y)）,\r（\i\