湖北鄂州市2025屆高二上數學期末預測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過圓外一點引圓的兩條切線，則經過兩切點的直線方程是A. B.C. D.2．已知直線l：過橢圓的左焦點F，與橢圓在x軸上方的交點為P，Q為線段PF的中點，若，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.3．已知實數x，y滿足，則的最大值為（）A. B.C.2 D.14．下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5．橢圓的焦點坐標為（）A. B.C. D.6．已知數列是各項均為正數的等比數列，若，則公比()A. B.2C.2或 D.47．若，則（）A. B.C. D.8．在空間直角坐標系中，，，平面的一個法向量為，則平面與平面夾角的正弦值為（）A. B.C. D.9．已知點是橢圓的左右焦點，橢圓上存在不同兩點使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知圓的方程為，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知數列的前n項和為，，，則（）A. B.C. D.12．某中學舉行黨史學習教育知識競賽，甲隊有、、、、、共名選手其中名男生名女生，按比賽規則，比賽時現場從中隨機抽出名選手答題，則至少有名女同學被選中的概率是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，可形成新的數列，再把所得數列按照同樣的方法不斷進行構造，又可以得到新的數列．現將數列1，2進行構造，第1次得到數列1，3，2；第2次得到數列1，4，3，5，2；依次構造，第次得到數列1，，，，…，，2；記則______，設數列的前n項和為，則______14．已知直線過拋物線的焦點，且與的對稱軸垂直，與交于，兩點，，為的準線上一點，則的面積為________15．總書記在2021年2月25日召開的全國脫貧攻堅總結表彰大會上發表重要講話，莊嚴宣告，在迎來中國共產黨成立一百周年的重要時刻，我國脫貧攻堅取得了全面勝利.在脫貧攻堅過程中，為了解某地農村經濟情況，工作人員對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：根據此頻率分布直方圖，下列結論中所存確結論的序號是____________①該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%；②該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%；③估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元；④估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間16．過點的直線與雙曲線交于兩點，且點恰好是線段的中點，則直線的方程為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知定圓，過的一條動直線與圓相交于、兩點，（1）當與定直線垂直時，求出與的交點的坐標，并證明過圓心；（2）當時，求直線的方程18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，.（1）求證：平面PAC；（2）已知點M是線段PD上的一點，且，當三棱錐的體積為1時，求實數的值.19．（12分）設數列的前項和為，已知，且.（1）證明：數列為等比數列；（2）若，是否存在正整數，使得對任意恒成立?若存在、求的值；若不存在，說明理由.20．（12分）已知數列為等差數列，滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和，并求的最大值.21．（12分）中國共產黨建黨100周年華誕之際，某高校積極響應黨和國家的號召，通過“增強防疫意識，激發愛國情懷”知識競賽活動，來回顧中國共產黨從成立到發展壯大的心路歷程，表達對建黨100周年以來的豐功偉績的傳頌．教務處為了解學生對相關知識的掌握情況，隨機抽取了100名學生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖（1）求值并估計中位數所在區間（2）需要從參賽選手中選出6人代表學校參與省里的此類比賽，你認為怎么選最合理，并說明理由22．（10分）在平面直角坐標系中，已知，動點M滿足（1）求M的軌跡方程；（2）設，點N是的中點，求點N的軌跡方程；（3）設M的軌跡與N的軌跡的交點為P、Q，求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】過圓外一點，引圓的兩條切線，則經過兩切點的直線方程為，故選2、D【解析】由直線的傾斜角為，可得，結合，可推得是等邊三角形，可得，計算可得離心率【詳解】直線：過橢圓的左焦點，設橢圓的右焦點為，所以，又是的中點，是的中點，所以，又，所以，又，所以是等邊三角形，所以，又在橢圓上，所以，所以，所以離心率為，故選：3、A【解析】作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識，通過平移即可求出的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示，由可知，此直線可用由直線平移得到，求的最大值，即直線的截距最大，當直線過直線的交點時取最大值，即故選：4、C【解析】先舉例說明ABD不成立，再根據不等式性質說明C成立.【詳解】當時，滿足，但不成立，所以A錯；當時，滿足，但不成立，所以B錯；當時，滿足，但不成立，所以D錯；因為所以，又，因此同向不等式相加得，即C對；故選：C【點睛】本題考查不等式性質，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.5、B【解析】根據方程可得，且焦點軸上，然后可得答案.【詳解】由橢圓的方程可得，且焦點在軸上，所以，即，故焦點坐標為故選：B6、B【解析】由兩式相除即可求公比.【詳解】設等比數列的公比為q，∵其各項均為正數，故q＞0，∵，∴，又∵，∴=4，則q＝2.故選：B.7、D【解析】設，計算出、的值，利用平方差公式可求得結果.【詳解】設由已知可得，，因此，.故選：D.8、A【解析】根據給定條件求出平面的法向量，再借助空間向量夾角公式即可計算作答.【詳解】設平面的法向量為，則，令，得，令平面與平面夾角為，則，，所以平面與平面夾角的正弦值為.故選：A9、C【解析】先設點，利用向量關系得到兩點坐標之間的關系，再結合點在橢圓上，代入方程，消去即得，根據題意，構建的齊次式，解不等式即得結果.【詳解】設，由得，，，即，由在橢圓上，故，即，消去得，，根據橢圓上點滿足，又兩點不同，可知，整理得，故，故.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：圓錐曲線中離心率的計算，關鍵是根據題中條件，結合曲線性質，找到一組等量關系（齊次式），進而求解離心率或范圍.10、C【解析】根據可求得結果.【詳解】因為表示圓，所以，解得.故選：C【點睛】關鍵點點睛：掌握方程表示圓的條件是解題關鍵.11、D【解析】根據給定遞推公式求出即可計算作答.【詳解】因數列的前n項和為，，，則，，，所以.故選：D12、D【解析】現場選名選手，共種情況，設，，，四位同學為男同學則沒有女同學被選中的情況，共有6種，利用對立事件進行求解，即可得到答案；【詳解】現場選名選手，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共種情況，不妨設，，，四位同學為男同學則沒有女同學被選中的情況是：，，，，，共種，則至少有一名女同學被選中的概率為.故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.81②.【解析】根據數列的構造寫出前面幾次得到的新數列，尋找規律，構造等比數列，求出通項公式，再進行求和.【詳解】第1次得到數列1，3，2，此時；第2次得到數列1，4，3，5，2，此時；第3次得到數列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此時；第4次得到數列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此時，故81，且故，又，所以數列是以為首項，公比為3的等比數列，所以，故，所以故答案為：81，14、【解析】先設出拋物線方程，寫出準線方程和焦點坐標，利用得到拋物線方程，再利用三角形的面積公式進行求解.【詳解】設拋物線的方程為，則焦點為，準線方程為，由題意，得，，，所以，解得，所以.故答案為：.15、①②④【解析】利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法，通過求解頻率即可判斷選項①，②，④，利用平均值的計算方法，即可判斷選項③【詳解】解：對于①，該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率為，故選項①正確；對于②，該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率為，故選項②正確；對于③，估計該地農戶家庭年收入的平均值為萬元，故選項③錯誤；對于④，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為，故估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于45萬元至8.5萬元之間，故選項④正確故答案為：①②④16、【解析】設，，，，分別代入雙曲線方程，兩式相減，化簡可得：，結合中點坐標公式求得直線的斜率，再利用點斜式即可求直線方程【詳解】過點的直線與該雙曲線交于，兩點，設，，，，，兩式相減可得：，因為為的中點，，，，則，所以直線的方程為，即為故答案為：【點睛】方法點睛：對于有關弦中點問題常用“點差法”，其解題步驟為：①設點（即設出弦的兩端點坐標）；②代入（即代入圓錐曲線方程）；③作差（即兩式相減，再用平方差公式分解因式）；④整理（即轉化為斜率與中點坐標的關系式），然后求解.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），證明見解析；（2）或.【解析】（1）根據題意可設直線的方程為，將點的坐標代入直線的方程，可求得的值，再將直線、的方程聯立，可得出這兩條直線的交點的坐標，將圓心的坐標代入直線的方程可證得結論成立；（2）利用勾股定理可求得圓心到直線的距離，對直線的斜率是否存在進行分類討論，設出直線方程，利用點到直線的距離公式求出參數的值，即可得出直線的方程.【小問1詳解】解：當直線與定直線垂直時，可設直線的方程為，將點的坐標代入直線的方程可得，則，此時，直線的方程為，聯立可得，即點，圓心的坐標為，因為，故直線過圓心.【小問2詳解】解：設圓心到直線的距離為，則.當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離為，合乎題意；當直線的斜率存在時，可設直線的方程為，即，由題意可得，解得，此時直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.18、（1）證明見解析（2）3【解析】（1）證明出，且，從而證明出線面垂直；（2）先用椎體體積公式求出，利用體積之比得到線段之比，從而得到的值.【小問1詳解】證明：∵平面ABCD，且平面ABCD，∴.又因為，且，∴四邊形ABCD為直角梯形.又因為，，易得，，∴，∴.又因為AC，PA是平面PAC的兩條相交直線，∴平面PAC.【小問2詳解】由（1）知且，∴.又∵平面ABCD，.又∵，∴，∴點M到平面ABC的距離為，∴，∴.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由已知條件有，根據等比數列的定義即可證明；（2）由（1）求出及，進而可得，利用二次函數的性質即可求解的最小值，從而可得答案.【小問1詳解】證明：因為，所以，又因為，所以，所以數列是首項為2公比為2的等比數列；【小問2詳解】解：由（1）知，，所以，所以，檢驗時也滿足上式，所以,所以，令，所以，故當即時，取得最小值，所以.20、（1）（2），45【解析】（1）由等差數列的通項列出方程組，得出通項公式；（2）先得出，再由二次函數的性質得出最大值.【小問1詳解】由，解得，即【小問2詳解】，二次型函數開口向下，對稱軸為，則當或時，有最大值45.21、（1）；中位數所在區間（2）選90分以上的人去參賽；答案見解析【解析】（1）根據頻率分布直方圖中，所有小矩形面積和為1，即可求得a值，根據各組的頻率，即可分析中位數所在區間.（2）計算可得之間共有6人，滿足題意，分析即可得答案.【小問1詳解】，解得成績在區間上的頻率為，，所以中位數所在區間，【小問2詳解】選成績