2025屆沈陽外國語學校高二數學第一學期期末質量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數，則（）A.1 B.5C. D.02．已知等比數列的各項均為正數，且，則（）A. B.C. D.3．已知中，內角，，的對邊分別為，，，，.若為直角三角形，則的面積為（）A. B.C.或 D.或4．求點關于x軸的對稱點的坐標為（）A. B.C. D.5．已知動直線的傾斜角的取值范圍是，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.6．下列命題中正確的是A.命題“若，則”的否命題為：“若，則”B.若命題，是假命題，則實數C.“”的一個充分不必要條件是“”D.命題“若，則”的逆否命題為真命題7．已知拋物線的準線方程為，則此拋物線的標準方程為（）A. B.C. D.8．若雙曲線的一個焦點為，則的值為（）A. B.C.1 D.9．設α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不重合的直線，下列命題中為真命題的是（）A如果，，n∥β，那么B.如果，，，那么α∥βC.如果m∥n，，，那么α∥βD.如果m∥n，，，那么10．拋物線的準線方程是，則實數的值為（）A. B.C.8 D.11．已知雙曲線：（）的離心率為，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.12．已知函數在上是增函數，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設等差數列的前項和為，若，，則______14．設，，若將函數的圖像向左平移個單位能使其圖像與原圖像重合，則正實數的最小值為___________.15．直線l過拋物線的焦點F，與拋物線交于A，B兩點，若，則直線l的斜率為______16．設數列的前n項和為，且是6和的等差中項，若對任意的，都有，則的最小值為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設橢圓的左，右焦點分別為，其離心率為，且點在C上.（1）求C的方程；（2）O為坐標原點，P為C上任意一點.若M為的中點，過M且平行于的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在實數，使得？若存在，求值；若不存在，說明理由.18．（12分）已知定點，圓：，點Q為圓上動點，線段MQ的垂直平分線交NQ于點P，記P的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）過點M與N作平行直線和，分別交曲線C于點A，B和點D，E，求四邊形ABDE面積的最大值19．（12分）已知點，，雙曲線C上除頂點外任一點滿足直線RM與QM的斜率之積為4.（1）求C方程；（2）若直線l過C上的一點P，且與C的漸近線相交于A，B兩點，點A，B分別位于第一、第二象限，，求的最小值.20．（12分）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長為4，離心率等于（1）求橢圓的方程（2）設，若橢圓E上存在兩個不同點P、Q滿足，證明：直線PQ過定點，并求該定點的坐標.21．（12分）設全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求a的取值范圍；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求a的取值范圍.22．（10分）在平面直角坐標系中，動點到定點的距離比到軸的距離大，設動點的軌跡為曲線，分別過曲線上的兩點，做曲線的兩條切線，且交于點，與直線交于兩點（1）求曲線的方程；（2）求面積的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由題意結合導數的運算可得，再由導數的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以原式等于.故選：B.2、B【解析】利用對數的運算性質，結合等比數列的性質可求得結果.【詳解】是各項均為正數的等比數列，，，，.故選：B3、C【解析】由正弦定理化角為邊后，由余弦定理求得，然后分類討論：或求解【詳解】由正弦定理，可化為：，即，所以，，所以，又為直角三角形，若，則，，，，若，則，，，故選：C4、D【解析】根據點關于坐標軸的對稱點特征，直接寫出即可.【詳解】A點關于x軸對稱點，橫坐標不變，縱坐標與豎坐標為原坐標的相反數，故點的坐標為，故選：D5、B【解析】根據傾斜角與斜率的關系可得，即可求m的范圍.【詳解】由題設知：直線斜率范圍為，即，可得.故選：B.6、C【解析】．命題的否定是同時否定條件和結論；．將當成真命題解出的范圍，再取補集即可；．求出“”的充要條件再判斷即可；．判斷原命題的真假即可【詳解】解：對于A：命題“若，則”的否命題為：“若，則“，故A錯誤；對于B：當命題，是真命題時，，所以，又因為命題為假命題，所以，故B錯誤；對于C：由“”解得：，故“”是“”的充分不必要條件，故C正確；對于D：因為命題“若，則”是假命題，所以其逆否命題也是假命題，故D錯誤；故選：C7、D【解析】由已知設拋物線方程為，由題意可得，求出，從而可得拋物線的方程【詳解】因為拋物線的準線方程為，所以設拋物線方程為，則，得，所以拋物線方程為，故選：D，8、B【解析】由題意可知雙曲線的焦點在軸，從而可得，再列方程可求得結果【詳解】因為雙曲線的一個焦點為，所以，，所以，解得，故選：B9、C【解析】AB.利用兩平面的位置關系判斷；CD.利用面面平行的判定定理判斷；【詳解】A.如果，，n∥β，那么α，β相交或平行；故錯誤；B.如果，，，那么α，β垂直，故錯誤；C.如果m∥n，，則，又，那么α∥β，故C正確；D錯誤，故選:C10、B【解析】化簡方程為，求得拋物線的準線方程，列出方程，即可求解.【詳解】由拋物線，可得，所以，所以拋物線的準線方程為，因為拋物線的準線方程為，所以，解得.故選：B.11、A【解析】先根據雙曲線的離心率得到，然后由，得，即為所求的漸近線方程，進而可得結果【詳解】∵雙曲線的離心率，∴又由，得，即雙曲線（）的漸近線方程為，∴雙曲線的漸近線方程為故選：A12、A【解析】由題意可知，對任意的恒成立，可得出對任意的恒成立，利用基本不等式可求得實數的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知，對任意的恒成立，所以，對任意的恒成立，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，所以，.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、77【解析】依題意利用等差中項求得，進而求得.【詳解】依題意可得，則，故故答案為：77.14、【解析】根據正弦型函數圖像平移法則和正弦函數性質進行解題.【詳解】解：由題意得：函數的圖像向左平移個單位后得：該函數與原函數圖像重合故可知，即故當時，最小正實數.故答案為：15、【解析】如圖，設，兩點的拋物線的準線上的射影分別為，，過作的垂線，在三角形中，等于直線的傾斜角，其正切值即為值，利用在直角三角形中，求得，從而得出直線的斜率【詳解】解：如圖，當在第一象限時，設，兩點的拋物線的準線上的射影分別為，，過作的垂線，在三角形中，等于直線的傾斜角，其正切值即為值，由拋物線的定義可知：設，則，，，在直角三角形中，，所以，則直線的斜率；當在第四象限時，同理可得，直線的斜率，綜上可得直線l的斜率為；故答案為：16、【解析】先根據和項與通項關系得通項公式，再根據等比數列求和公式得，再根據函數單調性得取值范圍，即得取值范圍，解得結果.【詳解】因為是6和的等差中項，所以當時，當時，因此當為偶數時，當為奇數時，因此因為在上單調遞增，所以故答案為：【點睛】本題考查根據和項求通項、等比數列定義、等比數列求和公式、利用函數單調性求值域，考查綜合分析求解能力，屬較難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)列出關于a、b、c的方程組求解即可；(2)直線l斜率不存在時，易得λ的值；斜率存在時，設l方程為，聯立直線l與橢圓C的方程，求出；求出OP方程，聯立OP方程與橢圓C的方程，求出；代入即可求得λ.【小問1詳解】由已知可得，解得，∴橢圓C的標準方程為.【小問2詳解】若直線的斜率不存在時，，∴；當斜率存在時，設直線l的方程為.聯立直線l與橢圓方程，消去y，得，∴.∵，設直線的方程為，聯立直線與橢圓方程，消去y，得，解得.∴，∴，同理，∴，∵，∴，故，存在滿足條件，綜上可得，存在滿足條件.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于弦長公式的運用，AB斜率為k，，M(1，0)，則，，，將弦長之積轉化為韋達定理求解.18、（1）（2）6【解析】（1）由橢圓的定義求解（2）設直線方程后與橢圓方程聯立，由韋達定理表示弦長，將面積轉化為函數后求求解【小問1詳解】由題意可得，所以動點P的軌跡是以M，N為焦點，長軸長為4的橢圓，即曲線C的方程為：；【小問2詳解】由題意可設的方程為，聯立方程得，設，，則由根與系數關系有，所以，根據橢圓的對稱性可得，與的距離即為點M到直線的距離，為，所以四邊形ABDE面積為，令得，由對勾函數性質可知：當且僅當，即時，四邊形ABDE面積取得最大值為6．19、（1）（2）1【解析】（1）由題意得，化簡可得答案，（2）求出漸近線方程，設點，，，，，由可得，代入雙曲線方程化簡可得，然后表示的坐標，再進行數量積運算，化簡后利用基本不等式可得答案【小問1詳解】由題意得，即，整理得，因為雙曲線的頂點坐標滿足上式，所以C的方程為.【小問2詳解】由（1）可知，曲線C的漸近線方程為，設點，，，，，由，得，整理得，①，把①代入，整理得②，因為，，所以.由，得，則，當且僅當時等號成立，所以的最小值是1.20、（1）；（2）證明見解析，.【解析】（1）由題可得，即求；（2）設直線PQ的方程為，聯立橢圓方程，利用韋達定理法可得，即得.【小問1詳解】由題可設橢圓的方程為，則，∴，∴橢圓的方程為；【小問2詳解】當直線PQ的斜率存在時，可設直線PQ的方程為，設，由，得，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，又∴，∴直線PQ的方程為過定點；當直線PQ的斜率不存在時，不合題意.故直線PQ過定點，該定點的坐標為.21、（1）（2）【解析】（1）由“”是“”的充分條件，可得，從而可得關于的不等式組，解不等式組可得答案；（2）“”是“”的必要條件，可得，然后分和兩種情況求解即可【小問1詳解】由題意得到A＝[1，5]，由“x∈A”是“x∈B”的充分條件可得A?B，則，解得，故實數a的取值范圍是.【小問2詳解】由“x∈A”是“x∈B”的必要條件可得B?A，當時，2-a＞1+2a，即a＜時，滿足題意，當時，即a≥時，則，解得≤a≤1.綜上a≤1，故實數a的取值范圍是.22、（1）（2）【解析】（1）由題意