第10講圖形性質問題考情分析圖形之性質問題解題策略：（1）“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設滿足條件的元素某性質圖形存在，用向量或平面幾何知識，轉化直線與圓錐曲線交點坐標的函數式，利用設而不求思想，列出關于待定系數的方程組，若方程組有實數解，則某性質圖形存在存在；否則，元素某性質圖形存在不存在.(2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法.二、經驗分享1、面積問題的解決策略：（1）求三角形的面積需要尋底找高，需要兩條線段的長度，為了簡化運算，通常優先選擇能用坐標直接進行表示的底（或高）（2）面積的拆分：不規則的多邊形的面積通常考慮拆分為多個三角形的面積和，對于三角形如果底和高不便于計算，則也可以考慮拆分成若干個易于計算的三角形2、多個圖形面積的關系的轉化：關鍵詞“求同存異”，尋找這些圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點，從而可將面積的關系轉化為線段的關系，使得計算得以簡化3、面積的最值問題：通常利用公式將面積轉化為某個變量的函數，再求解函數的最值，在尋底找高的過程中，優先選擇長度為定值的線段參與運算。這樣可以使函數解析式較為簡單，便于分析三、題型分析（一）面積條件的轉化例1.已知、是雙曲線：（，）的兩個頂點，點是雙曲線上異于、的一點，為坐標原點，射線交橢圓：于點，設直線、、、的斜率分別為、、、.（1）若雙曲線的漸近線方程是，且過點，求的方程；（2）在（1）的條件下，如果，求△的面積；（3）試問：是否為定值？如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理由.【變式訓練1】．直線經過，橢圓上兩個不同的點A,B關于直線對稱.當面積取得最大值（為坐標原點）則直線的方程為_______.【變式訓練2】．【2018天津文19】橢圓的右頂點為，上頂點為。已知橢圓的離心率為，（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓交于兩點，與直線交于點，且點均在第四象限，若的面積是面積的2倍，求的值。

（二）角平分線的轉化例2.已知是橢圓的左、右焦點，點，則∠的角平分線的斜率為()A. B. C. D.【變式訓練1】．、是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，，過作的角平分線的垂線，垂足為，則的長為（）A.1 B.2 C.3 D.4【變式訓練2】．設是雙曲線的左右焦點，點是右支上異于頂點的任意一點，是的角平分線，過點作的垂線，垂足為，為坐標原點，則的長為（）A.定值 B.定值C.定值 D.不確定，隨點位置變化而變化（三）與弦長有關問題的轉化例3.【2018全國1文15】直線與圓交于兩點，則=___________【變式訓練1】．【2018全國3理16】已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與拋物線交于兩點，若，則=________.【變式訓練2】．【2018浙江21】如圖，已知點P是軸左側（不含軸）一點，拋物線上存在不同的兩點滿足的中點均在上。（1）設中點為，證明：垂直于軸；（2）若是半橢圓上的動點，求面積的取值范圍。四、遷移應用1.已知點是橢圓上的動點，為橢圓的兩個焦點，是原點，若是的角平分線上一點，且,則的取值范圍是（）A．[0,3]B．C．D．[0,4]2．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點且直線與軸垂直，若的角平分線恰好過點，則的面積為（）A．12 B．24C．36 D．483.設分別是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上的點，射線是的角平分線，過原點作的平行線交于點，若，則雙曲線的離心率是（）A. B. C.3 D.4．已知動點到點的距離為，動點到直線的距離為，且.（1）求動點的軌跡的方程；（2）若直線交曲線于兩點，求的面積.5．已知、是雙曲線的兩個頂點，點是雙曲線上異于、的一點，為坐標原點，射線交橢圓于點，設直線、、、的斜率分別為、、、.（1）若雙曲線的漸近線方程是，且過點，求的方程；（2）在（1）的條件下，如果，求的面積；（3）試問：是否為定值？如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理由.6.【2018全國2理19文20】設拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于兩點，（1）求的方程；（2）求過點且與的準線相切的圓的方程。7.【2018北京理19】已知拋物線經過點，過點的直線與拋物線有兩個不同的交點，且直線交軸于，直線交軸于.（1）求直線的斜率的取值范圍；（2）設為原點，，求證：為定值。第10講圖形性質問題考情分析圖形之性質問題解題策略：（1）“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設滿足條件的元素某性質圖形存在，用向量或平面幾何知識，轉化直線與圓錐曲線交點坐標的函數式，利用設而不求思想，列出關于待定系數的方程組，若方程組有實數解，則某性質圖形存在存在；否則，元素某性質圖形存在不存在.(2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法.二、經驗分享1、面積問題的解決策略：（1）求三角形的面積需要尋底找高，需要兩條線段的長度，為了簡化運算，通常優先選擇能用坐標直接進行表示的底（或高）（2）面積的拆分：不規則的多邊形的面積通常考慮拆分為多個三角形的面積和，對于三角形如果底和高不便于計算，則也可以考慮拆分成若干個易于計算的三角形2、多個圖形面積的關系的轉化：關鍵詞“求同存異”，尋找這些圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點，從而可將面積的關系轉化為線段的關系，使得計算得以簡化3、面積的最值問題：通常利用公式將面積轉化為某個變量的函數，再求解函數的最值，在尋底找高的過程中，優先選擇長度為定值的線段參與運算。這樣可以使函數解析式較為簡單，便于分析三、題型分析（一）面積條件的轉化例1.已知、是雙曲線：（，）的兩個頂點，點是雙曲線上異于、的一點，為坐標原點，射線交橢圓：于點，設直線、、、的斜率分別為、、、.（1）若雙曲線的漸近線方程是，且過點，求的方程；（2）在（1）的條件下，如果，求△的面積；（3）試問：是否為定值？如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）定值為0.【解析】（1）雙曲線的漸近線方程是設雙曲線方程為，將點代入方程，解得的方程為.（2）設化簡得到：根據對稱性不妨設在第一象限，在上，則代入方程得到（3）設，三點共線【變式訓練1】．直線經過，橢圓上兩個不同的點A,B關于直線對稱.當面積取得最大值（為坐標原點）則直線的方程為_______.【答案】【解析】由題意，設直線的方程為，，，又A,B關于直線對稱，可設直線的方程可設為，由，整理得：，則有，，即；所以，記A,B中點為P，則，因為點A,B關于直線對稱，所以在直線上，所以，因此，代入整理得：，解得，所以或，又，當且僅當，即，（又，解得，）即時，面積取得最大值，此時直線的方程為：.故答案為：【變式訓練2】．【2018天津文19】橢圓的右頂點為，上頂點為。已知橢圓的離心率為，（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓交于兩點，與直線交于點，且點均在第四象限，若的面積是面積的2倍，求的值。【解析】：（1）（2）設【需要的等量關系】，接下來用表示出即可，所以，解得或當時，不符合題意，當時，符合題意，所以（二）角平分線的轉化例2.已知是橢圓的左、右焦點，點，則∠的角平分線的斜率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】由橢圓，則F1（﹣2，0），F2（2，0），則直線AF1的方程為y=（x+2），即3x﹣4y+6=0，直線AF2的方程為x=2，由點A在橢圓C上的位置得直線l的斜率為正數，設P（x，y）為直線l上一點，則|x﹣2|，解得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0（斜率為負，舍），∴直線l的方程為2x﹣y﹣1=0，直線的斜率為：2.故答案為：C【變式訓練1】．、是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，，過作的角平分線的垂線，垂足為，則的長為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】延長交延長線于N,則選A【變式訓練2】．設是雙曲線的左右焦點，點是右支上異于頂點的任意一點，是的角平分線，過點作的垂線，垂足為，為坐標原點，則的長為（）A.定值 B.定值C.定值 D.不確定，隨點位置變化而變化【答案】A【解析】依題意如圖，延長F1Q，交PF2于點T，∵是∠F1PF2的角分線．TF1是的垂線，∴是TF1的中垂線，∴|PF1|＝|PT|，∵P為雙曲線1上一點，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|TF2|＝2a，在三角形F1F2T中，QO是中位線，∴|OQ|＝a．故選：A．（三）與弦長有關問題的轉化例3.【2018全國1文15】直線與圓交于兩點，則=___________【解析】：，圓心坐標為，半徑圓心到直線的距離，由勾股定理得【變式訓練1】．【2018全國3理16】已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與拋物線交于兩點，若，則=________.【解析】：用到結論：在拋物線中以焦點弦為直徑的圓與準線相切所以，設，根據焦點弦斜率公式可得【變式訓練2】．【2018浙江21】如圖，已知點P是軸左側（不含軸）一點，拋物線上存在不同的兩點滿足的中點均在上。設中點為，證明：垂直于軸；若是半橢圓上的動點，求面積的取值范圍。【解析】：（1）設中點滿足：中點滿足：所以是方程即的兩個根，所以，故垂直于軸。（2）由（1）可知所以,因此，因為，所以因此，面積的取值范圍是四、遷移應用1.已知點是橢圓上的動點，為橢圓的兩個焦點，是原點，若是的角平分線上一點，且,則的取值范圍是（）A．[0,3]B．C．D．[0,4]【答案】B【解析】采用特殊點法，當點在橢圓短軸端點時，垂足與原點重合，此時最小為0，當點在橢圓長軸端點時，垂足與原點重合，此時最大為，但此時，所以選擇2．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點且直線與軸垂直，若的角平分線恰好過點，則的面積為（）A．12 B．24C．36 D．48【答案】B【解析】記，則，由題意可知，為雙曲線通徑長的一半，即由雙曲線定義可知：由角平分線性質定理可得：本題正確選項：3.設分別是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上的點，射線是的角平分線，過原點作的平行線交于點，若，則雙曲線的離心率是（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】由題意可得：，則①由角平分線的性質可得：，結合，故：②由①可得：，由②可得：，據此有：，整理可得：，據此得：.本題選擇D選項.4．已知動點到點的距離為，動點到直線的距離為，且.（1）求動點的軌跡的方程；（2）若直線交曲線于兩點，求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，，因為，所以，化簡可得：，所以軌跡的方程即為：；（2）記到的距離為，所以；設，聯立可得：，所以，所以，所以.5．已知、是雙曲線的兩個頂點，點是雙曲線上異于、的一點，為坐標原點，射線交橢圓于點，設直線、、、的斜率分別為、、、.（1）若雙曲線的漸近線方程是，且過點，求的方程；（2）在（1）的條件下，如果，求的面積；（3）試問：是否為定值？如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）的面積為；（3）定值為.【解析】（1）由于雙曲線的漸近線方程為，可設雙曲線的方程為，將點的坐標代入雙曲線的方程得，因此，雙曲線的方程為；（2）設射線所在直線的方程為，設點，則，因為點在雙曲線上，所以，可得.，.所以，射線所在直線的方程為.聯立直線的方程與橢圓的方程，解得，所以，點的縱坐標為，因此，的面積為；（3）設點、，由于點在雙曲線上，則，得，，，，同理可得，因此，.6.【2018全國2理19文20】設拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于兩點，（1）求的方程；（2）求過點且與的準線相切的圓的方程。【解析】：（1）直線過焦點，因此屬于焦點弦長問題，可以利用焦點弦長公式來求根據焦點弦長公式可知，則，，則的直線方程為（2）由（1）知的中點坐標為，所以的垂直平分線方程為，即設所求圓的圓心坐標為，則解得因此所求圓的方程為通過這個題目注意一個在拋物線中不常用的結論：在拋物線中以焦點弦為直徑的圓與準線相切，證明過程如下：在上圖中過焦點的直線與拋物線交于兩點，取的中點，三點分別向準線作垂線，垂足分別為，因為，，所以，所以為直徑的圓與準線相切。7.【2018北京理19】已知拋物線經過點，過點的直線與拋物線有兩個不同的交點，且直線交軸于，直線交軸于.（1）求直線的斜率的取值范圍；（2）設為原點，