第04講兩個三角形相似的判定（2類題型）課程標準學習目標1.相似三角形的判定定理1,2,3；1.掌握相似三角形的判定定理1,2,3,；2.掌握直角三角形的特殊判定；知識點01、相似三角形的判定預備定理平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似．判定1有兩個角對應相等的兩個三角形相似．判定2兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．判定3三邊對應成比例的兩個三角形相似直角三角形的特殊判定若一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似．【即學即練1】1．（2023秋·浙江·九年級專題練習）下列兩個三角形不一定相似的是（）A．兩個等邊三角形 B．兩個頂角是的等腰三角形C．兩個全等三角形 D．兩個直角三角形【答案】D【分析】根據相似三角形的判定定理依次判斷．【詳解】解：A、兩個等邊三角形，所有的角都是，相等，可以判定兩三角形相似，故本選項錯誤；B、兩個頂角是的等腰三角形，兩個底角一定都是，可以判定兩三角形相似，故本選項錯誤；C、全等是相似的特殊情況，兩個全等三角形一定相似，故本選項錯誤；D、兩個直角三角形，只有一個直角對應相等，無法判定相似，故本選項正確．故選：D．【點睛】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的性質及直角三角形的性質是解題的關鍵．【即學即練2】2．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，已知，那么添加下列一個條件后，不能判定的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據求出，再根據相似三角形的判定方法解答．【詳解】解：，，A、添加，可用兩角法判定，故本選項不符合題意；B、添加，可用兩角法判定，故本選項不符合題意；C、添加，可用兩邊及其夾角法判定，故本選項不符合題意；D、添加，不能判定，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定：①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．【即學即練3】3．（2023秋·浙江·九年級專題練習）下列說法中錯誤的是（）A．同角或等角的補角相等 B．圓周角等于圓心角的一半C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 D．兩邊成比例及其夾角相等的兩個三角形相似【答案】B【分析】根據補角的定義，圓周角定理，平行四邊形的判定，相似三角形的判定定理逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A.同角或等角的補角相等，故該選項正確，不符合題意；

B.在同圓或等圓中，同一條弧所對的圓周角等于圓心角的一半，故該選項不正確，符合題意；C.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故該選項正確，不符合題意；

D.兩邊成比例及其夾角相等的兩個三角形相似，故該選項正確，不符合題意；

故選：B．【點睛】本題考查了補角的定義，圓周角定理，平行四邊形的判定，相似三角形的判定定理，掌握以上知識是解題的關鍵．【即學即練4】4．（2023秋·浙江杭州·九年級翠苑中學校聯考階段練習）如圖，點D、E分別在△ABC的邊AC、AB上，要使△ABC∽△ADE，需加一個條件，則以下所添加條件不正確的為（）A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C． D．【答案】D【分析】利用相似三角形的判定方法一一判斷即可．【詳解】解：A、由∠A＝∠A，∠B＝∠ADE，可以推出，△ABC∽△ADE，故本選項不符合題意；B、由∠A＝∠A，∠C＝∠AED，可以推出，△ABC∽△ADE，故本選項不符合題意；C、由∠A＝∠A，可以推出，△ABC∽△ADE，故本選項不符合題意；D、由，推不出，△ABC∽△ADE，故本選不符合題意；故選：D．【點睛】本題考查相似三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，屬于中考常考題型．題型01證明兩個三角形相似1．（2023秋·浙江·九年級專題練習）下列條件中的兩個等腰三角形不一定相似的是（

）A．都含有角 B．都含有的角C．都含有的角 D．都含有的角【答案】B【分析】根據相似三角形的判定及等腰三角形的性質對各個選項進行分析，從而得到答案．【詳解】解：A、有一個角是的兩個等腰三角形的三組角分別對應相等，所以這兩個三角形相似，不符合題意；B、當一個等腰三角形的底角為，而另一個等腰三角形的頂角是時，這兩個等腰三角形不相似，符合題意；C、有一個角是的兩個等腰三角形的三組角分別對應相等，所以這兩個三角形相似，不符合題意；D、有一個角是的兩個等腰三角形的三組角分別對應相等，所以這兩個三角形相似，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性質，解題的關鍵是對相似三角形的判定定理的掌握．2．（2023·上海靜安·校考一模）如圖，已知與，下列條件一定能推得它們相似的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】三角形相似的判定方法有（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊的延長線相交，所構成的三角形與原三角形相似；（2）如果兩個三角形對應邊的比相等且夾角相等，這2個三角形也可以說明相似（簡敘為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似.）；（3）如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例,那么這兩個三角形相似（簡敘為:三邊對應成比例，兩個三角形相似.）；（4）如果兩個三角形的兩個角分別對應相等（或三個角分別對應相等），則有兩個三角形相似（簡敘為兩角對應相等，兩個三角形相似）。【詳解】A選項符合判定方法（4），符合題意．B選項相等的角不是對應邊的夾角，不符合題意．C選項相等的角不是對應角，不符合題意．D選項相等的角不是對應角，不符合題意．【點睛】本題考查的是三角形相似的判定方法，解題的關鍵是牢記判定方法．3．（2023秋·九年級課前預習）若△ABC的三邊長分別為1，，，△DEF的三邊長分別2，，，則與（）A．一定相似 B．一定不相似C．不一定相似 D．無法判定是否相似【答案】A【分析】求出三組對應邊的比，觀察是否相等即可作出判斷．【詳解】．故選：A．【點睛】本題考查相似三角形的判定條件，熟練掌握對應邊長度成比例的三角形相似是本題的解題關鍵．4．（2023秋·九年級課時練習）如圖，D是的邊上一點，若，要使，只需添加條件________（只添一個即可）．【答案】【分析】因為，則，所以只要再找到另一組對應角相等即可．【詳解】解：只需添加條件使，證明如下：因為，則，當，則（兩組對應角相等的三角形相似），故答案為：．【點睛】本題主要考查的是三角形相似的判定內容，正確掌握證明三角形相似的方法是解題的關鍵．5．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知如圖，D，E分別是的邊上的點，．求證：．【答案】見解析【分析】根據“兩條邊對應成比例，且夾角相等的兩三角形相似”即可求證．【詳解】證明：∵，又∵，∴．【點睛】本題考查相似三角形的判定．熟記相關判定定理是解題的關鍵．6．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖判斷方格中的兩個三角形是否相似，并說明理由．【答案】相似，理由見解析【分析】根據相似三角形的判定定理判斷即可．【詳解】相似，理由如下：∵在中，，，，在中，，，，∵，，，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟知其判定定理是解題的關鍵．7．（2023秋·九年級單元測試）如圖，在平行四邊形中，點為邊上一點，連接，點為線段上一點，且，求證：．【答案】證明過程見詳解【分析】根據平行四邊形的性質可知，，且，根據三角形的外角性質可知，由此即可求證．【詳解】證明：在平行四邊形中，∴，∴，，∵，∴，∵，即，∴，∴．【點睛】本題主要考查相似三角形的判斷，平行四邊形的性質，三角形外角的性質，掌握平行四邊形的性質，三角形的外角的性質是解題的關鍵．題型02選擇或補充條件使兩個三角形相似1．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，在四邊形中，已知，那么補充下列條件后不能判定和相似的是(

)

A．平分 B． C． D．【答案】B【分析】根據相似三角形的判定方法逐項進行判斷即可．【詳解】解：A．∵平分，∴，∵，∴，故選項不符合題意；B．∵，∴，不一定能判定和相似，故選項符合題意；C．∵，，∴，故選項不符合題意；D．∵，，∴，故選項不符合題意．故選：B．【點睛】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．2．（2023春·安徽蚌埠·九年級校考階段練習）如圖，在和中，，要使與相似，還需要添加一個條件，這個條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題中已知，則對應的夾角相等即可使與相似，結合各選項即可得問題答案．【詳解】解：∵，∴添加．則故選B．【點睛】此題考查了相似三角形的判定：①有兩個對應角相等的三角形相似；②有兩個對應邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；③三組對應邊的比相等，則兩個三角形相似，熟記各種判定相似三角形的方法是解題關鍵．3．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，在中，為上的一點，補充條件，能使，這個條件可以是．（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【分析】和有公共角，則根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似解答即可．【詳解】解：，當時，，故答案為：（答案不唯一）【點睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似．充分利用和的公共角是關鍵．4．（2023春·八年級課時練習）如圖，在中，點D在上，連接．請添加一個條件，使得，然后再加以證明．【答案】（答案不唯一），證明見解析【分析】利用相似三角形的判定可求解．【詳解】解：添加，又∵，∴，故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．5．（2023春·陜西榆林·九年級校考期中）如圖，在中，點D是線段上一點．請利用尺規作圖法在邊上求作點E，使得．

【答案】見解析【分析】根據作一個角等于已知角的作圖方法，在的內部，作，交于點E，則E即為所求．【詳解】解：如圖所示，點E即為所求．

【點睛】本題考查作圖—相似變換，熟練掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．6．（2023秋·江蘇泰州·九年級統考期末）如圖，點D、E為外兩點，給出下列信息：①；②；③．請從上述三條信息中選擇兩條作為補充條件，余下的一條作為結論組成一個真命題，并說明理由．你選擇的補充條件是______，結論是______．（填寫序號）【答案】見詳解【分析】分別將條件進行組合，判斷是否為真命題，再根據三角形相似的判定方法證明即可．【詳解】（1）條件：①②，結論③；（2）條件：①③，結論②；（3）條件：②③，結論①；以上三個命題均是真命題．選擇（1）進行證明，證明：，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了三角形相似的判定及性質，掌握相似的判定方法是解題的關鍵．A夯實基礎1．（2022秋·江蘇宿遷·九年級校考階段練習）如圖，在中，點，分別在邊，上，與不平行，添加下列條件之一仍不能判定的是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由于，則根據相似三角形的判定方法可對各選項進行判斷．【詳解】解：，當時，，故A不合題意；當時，，故C不合題意；當時，，故D不合題意；故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似．2．（2022秋·九年級單元測試）已知的三邊長分別是，，，的三邊長如以下四個選項所列，若要使，則的三邊長分別是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】B【分析】根據三邊對應成比例的三角形相似逐項進行判斷即可．【詳解】解：A．∵，∴的三邊長不可能是，，，故A錯誤；B．∵，∴的三邊長可能是，，，故B正確；C．∵，∴的三邊長不可能是，，，故C錯誤；D．∵∴的三邊長不可能是，，，故D錯誤．故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形相似的判定，解題的關鍵是熟練掌握三邊對應成比例的三角形相似．3．（2023秋·九年級課時練習）如圖，D是的邊上一點，若，要使，只需添加條件________（只添一個即可）．【答案】【分析】因為，則，所以只要再找到另一組對應角相等即可．【詳解】解：只需添加條件使，證明如下：因為，則，當，則（兩組對應角相等的三角形相似），故答案為：．【點睛】本題主要考查的是三角形相似的判定內容，正確掌握證明三角形相似的方法是解題的關鍵．4．（2023·福建福州·校考一模）如圖，在中，，點D在邊上，點E在邊上且．只需添加一個條件即可證明，這個條件可以是（寫出一個即可）．【答案】【分析】由相似三角形的判定定理可求解．【詳解】解：添加，又∵，∴，故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是本題的關鍵．5．（2022秋·福建福州·九年級校考階段練習）如圖，、分別是的邊、上的點，，，，，求證：．【答案】見解析【分析】首先求出，的長，再求出出，又因為，根據相似三角形的判定可證得．【詳解】證明：，，，，，，，，，又，．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關鍵．6．（2022秋·福建泉州·九年級校聯考期中）如圖，在中，點，，分別在，，邊上，，．求證：【答案】詳見解析【分析】由平行線性質可得到，，則．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，平行線的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．B能力提升1．（2022秋·四川雅安·九年級統考期末）如圖所示，點是的邊上一點，連接，以下條件中，不能判定的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】根據相似三角形的判定定理有兩角分別相等的兩個三角形相似，有兩邊的比相等，并且它們的夾角也相等的兩個三角形相似逐個進行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴，故A不符合要求；和，不能判斷∽，故B符合要求；∵，，∴，故C不符合要求；；∵，，∴，故D不符合要求；故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理的應用．能正確運用判定定理進行推理是解此題的關鍵．2．（2022春·北京海淀·九年級清華附中校考階段練習）如圖，點P在的邊上，如果添加一個條件后可以得到，那么以下添加的條件中，不正確的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可．【詳解】解：∵，A、當添加時，根據兩角對應相等的三角形相似可得到，故此選項不符合題意；B、當添加時，根據兩角對應相等的三角形相似可得到，故此選項不符合題意；C、當添加，即時，兩邊對應成比例且它們的夾角相等的三角形相似可得到，故此選項不符合題意；D、當添加時，無法得到，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關鍵．3、（2023秋·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）已知：在中，P是上一點，連接，當滿足條件：或或時，．

【答案】【分析】連接，由圖可得，兩三角形已有一組角（公共角）對應相等，再加一組角對應相等或兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，有此填空即可．【詳解】證明：連接，

，∴當或或時，，故答案為：；；．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似是解題的關鍵．4．（2022秋·江蘇連云港·九年級校考階段練習）和中，，，，當時，．【答案】/80度【分析】根據相似三角形的判定和三角形內角和定理計算即可證明．【詳解】解：當時，，則，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，三角形內角和，解題的關鍵是掌握有兩組對應角相等的三角形相似是解題的關鍵．5．（2023秋·陜西西安·九年級校考階段練習）如圖，已知等腰中，，請用尺規作圖法，在上求作一點D，使得（保留作圖痕跡，不寫作法）．

【答案】見解析【分析】作的垂直平分線，交于點，連接，由此即可得．【詳解】解：如圖，點即為所求．

理由：由線段垂直平分線的性質得：，，，，，在和中，，．【點睛】本題考查了相似三角形的判定、線段垂直平分線的尺規作圖，熟練掌握相似三角形的判定是解題關鍵．6．（2023秋·福建莆田·九年級福建省莆田市中山中學校考階段練習）如圖，在和中，，，求證：

【答案】見詳解【分析】由題意易得，然后問題可求證．【詳解】證明：∵，∴，即，∵，∴．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關C綜合素養1．（2023秋·河北邢臺·九年級邢臺市第七中學校聯考階段練習）在和中，已知，，如果從下列條件中增添一個條件，與仍不一定相似，那么這個條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似；三邊對應成比例，兩個三角形相似；兩角對應相等，兩個三角形相似．根據相似三角形的判定定理進行分析判斷即可．【詳解】解：A.由，可以根據兩邊成比例且夾角相等，證明，該選項不符合題意；B.由，可推導出，根據兩角對應相等，證明，該選項不符合題意；C.由，不能判定兩個三角形相似，符合題意；D.由，可推導，根據三邊對應成比例，證明，該選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定以及等腰三角形的性質等知識，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關鍵．2．（2023秋·福建莆田·九年級福建省莆田市中山中學校考階段練習）已知，點P在的邊上，要判斷，添加一個條件，不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可．【詳解】解：如圖，

A、當時，又，，故此選項不符合題意；B、當時，又，，故此選項不符合題意；C、當時，又，，故此選項不符合題意；D、無法得到，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關鍵．3．（2022秋·陜西榆林·九年級校考期中）如圖，點是的邊的延長線上的點，連接，交于點，那么該圖形中與相似的三角形共有個．

【答案】【分析】根據平行四邊形的對邊平行，利用“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似”找出相似三角形，然后即可求解．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，故答案為：．【點睛】此題考查了相似三角形的判定，熟知“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的