專題1.6角的平分線重難點題型【北師大版】【知識點1角平分線的作法】①以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

②分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內部交于點C.

③畫射線OC.即射線OC即為所求.【題型1角平分線的作法及應用】【例1】（2020秋?曲靖校級月考）如圖所示，已知∠AOB，求作射線OC，使OC平分∠AOB，作法的合理順序是．（將①②③重新排列）①作射線OC；②以O為圓心，任意長為半徑畫弧交OA、OB于D、E；③分別以D、E為圓心，大于12DE的長為半徑作弧，在∠AOB內，兩弧交于點【變式11】（2020?連城縣模擬）如圖，已知∠MON，點B，C分別在射線OM，ON上，且OB＝OC．（1）用直尺和圓規作出∠MON的角平分線OP，在射線OP上取一點A，分別連接AB、AC（只需保留作圖痕跡，不要求寫作法）．（2）在（1）的條件下求證：AB＝AC．【變式12】（2020秋?沛縣期中）如圖，已知點D在△ABC的邊AB上，且AD＝CD，（1）用直尺和圓規作∠BDC的平分線DE，交BC于點E（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，判斷DE與AC的位置關系，并寫出證明過程．【變式13】（2021秋?孟州市校級期中）數學課上，探討角平分線的作法時，李老師用直尺和圓規作角平分線，方法如下：根據以上情境，解決下列問題：作法：（如圖1）①在OA和OB上分別截取OD、OE，使OD＝OE．②分別以D、E為圓心，以大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內交于點C③作射線OC，則OC就是∠AOB的平分線．小聰只帶來直角三角板，他發現利用三角板也可以作角平分線（如圖2），方法如下：步驟：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分別截取OM、ON，使OM＝ON．②分別過M、N作OM、ON的垂線，交于點P．③作射線OP，則OP為∠AOB的平分線．小穎的身邊只有刻度尺，經過嘗試，她發現利用刻度尺也可以作角平分線．①李老師用尺規作角平分線時，用到的三角形全等的判定方法是．②小聰的作法正確嗎？請說明理由．③請你幫小穎設計用刻度尺作角平分線的方法．（要求：作出圖形，寫出作圖步驟，不予證明）【知識點2角平分線的性質】角的平分線的性質：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.

用符號語言表示角的平分線的性質定理：

若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.

【題型2角平分線的性質的應用】【例2】（2021春?畢節市期末）如圖，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于點D，DE⊥AB于點E，且AB＝10，則△DEB的周長為（）A．9 B．5 C．10 D．不能確定【變式21】（2021春?漢壽縣期中）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，連接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，點P是邊BC上的一動點，則DP的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式22】（2020秋?增城區期末）如圖，已知△ABC的周長是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，OD⊥BC于點D，若OD＝3cm，則△ABC的面積是（）cm2．A．24 B．27 C．30 D．33【變式23】（2021春?武侯區校級期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB于點F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，則△DEF的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．6【題型3角平分線的性質與等積法】【例3】（2020秋?云南期末）如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面積是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的長．【變式31】（2021春?浦江縣期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，若AD平分∠BAC交BC于點D，求BD的長．【變式32】（2020春?番禺區校級期中）點P為△ABC三內角平分線的交點，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，求：點P到三邊的距離．【變式33】（2020秋?渝水區校級期中）知識儲備：（1）如圖1，AD是△ABC的高，則△ABC的面積S△ABC=12BC?比例的性質：若ba=d知識運用：（2）如圖2，BE是△ABC的角平分線，運用上述知識，求證：ABBC知識延展：如圖3，△ABC的角平分線BE平分△ABC的周長，求證：△ABC是等腰三角形．【題型4角平分線的性質與全等】【例4】（2020秋?肇源縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點E，點F在AC上，BE＝FC．求證：BD＝DF．【變式41】（2020秋?平山縣期中）如圖，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，將直角三角板的頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與OA、OB相交于點C、D，問PC與PD相等嗎？試說明理由．【變式42】（2021春?鹽田區校級期中）已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，點F是OC上的另一點，連接DF，EF．求證：DF＝EF．【變式43】如圖，AB∥CD，以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F兩點，再分別以E，F為圓心，大于12EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線AP，交CD于點（1）求證：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度數；（3）若CN⊥AM，垂足為N，求證：△CAN≌△CMN．【知識點3角平分線的判定】角平分線的判定：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

【題型5角平分線的判定】【例5】（2020秋?鼓樓區校級期中）如圖，l3與兩條平行公路l1，l2三條公路相交，若要在l1上確定某個位置，使其到另兩條公路的距離相等，這樣的位置有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．無數個【變式51】（2020秋?長垣市月考）如圖為三條兩兩相交的公路，某石化公司擬建立一個加油站，計劃使得該加油站到三條公路的距離相等，則加油站的可選位置有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式52】（2020秋?夏津縣期末）小明同學在學習了全等三角形的相關知識后發現，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據是（）A．角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上 B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等 C．三角形三條角平分線的交點到三條邊的距離相等 D．以上均不正確【變式53】（2021春?道縣期末）如圖，已知點P到AE、AD、BC的距離相等，下列說法：①點P在∠BAC的平分線上；②點P在∠CBE的平分線上；③點P在∠BCD的平分線上；④點P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分線的交點上．其中正確的是（）A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③【題型6角平分線的性質與判定綜合】【例6】（2020秋?朝陽區校級期中）如圖，OD平分∠AOB，OA＝OB，P是OD上一點，PM⊥BD于點M，PN⊥AD于點N．求證：PM＝PN．【變式61】（2020秋?臨西縣期末）已知：如圖，BP、CP分別是△ABC的外角平分線，PM⊥AB于點M，PN⊥AC于點N．求證：PA平分∠MAN．【變式62】（2020秋?常熟市期中）如圖，△ABC中，點D在BC邊上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作EF⊥AB，垂足為F，且∠AEF＝50°，連接DE．（1）求∠