專題01平行線中的拐點模型之豬蹄模型（M型）與鋸齒模型平行線中的拐點模型在初中數學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（豬蹄模型（M型）與鋸齒模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉化。模型1：豬蹄模型（M型）與鋸齒模型【模型解讀】圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結論：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，結論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如圖3，已知：AM∥BN，結論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型證明】（1）∠APB＝∠A+∠B這個結論正確，理由如下：如圖1，過點P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根據（1）中結論可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案為：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的規律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案為：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2023上·湖南長沙·八年級校聯考期中）如圖，為等邊三角形，．若，則（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查平行線的性質，等邊三角形性質．得用平行線性質“兩直線平行，同旁內角互補”求解即可．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，∵，∴，即，∵，∴，故選：D．例2．（2023下·河北石家莊·七年級統考期末）山上的一段觀光索道如圖所示，索道支撐架均為互相平行（），且每兩個支撐架之間的索道均是直的，若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過點B作，則，由平行線的性質進行求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點B作，

∵，∴，∴，∴，故選A．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，熟知兩直線平行，內錯角相等是解題的關鍵．例3．（2023下·河南駐馬店·七年級校考階段練習）如圖，，，則與滿足（

）

A．B．C．D．【答案】B【分析】過C作，根據平行線的性質得到，，于是得到結論．【詳解】解：過C作，

∵，∴，∴，，∵，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，熟記平行線的性質是解題的關鍵．例4．（2023下·廣東佛山·七年級校考期中）如圖，直線，分別交、于E、F兩點，作、的平分線相交于點K；作、的平分線交于點；依此類推，作、的平分線相交于點，…，作、的平分線相交于點，則，．

【答案】【分析】過作，可得，可得出兩對內錯角相等，由與分別為角平平分線，利用角平分線定義得到兩對角相等，再由與平行，利用兩直線平行同旁內角互補得到兩對角互補，利用等式的性質求出的度數，即可求出的度數；此類推即可確定出的度數．【詳解】解：如圖，過作，可得，，，

、分別為與的平分線，，，，，即，，則；、的平分線相交于點，，，，即，，即，，歸納總結得：．故答案為：，．【點睛】此題考查了平行線的性質，角平分線定義，屬于探究型試題，熟練掌握平行線的性質是解本題的關鍵．例5．（2023下·江蘇泰州·七年級校考階段練習）如圖，已知和分別平分和，若，，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點E作，則，由平行線的性質得，過點C作，則有，同理，結合角平分線的定義即可求得結果．【詳解】解：如圖，過點E作，∵，∴，∴，∴，過點C作，則有，同理，∵和分別平分和，∴，∴，，即，解得：，故選：D．

【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，解二元一次方程組，構造平行線是解題的關鍵．例6．（2023下·浙江溫州·七年級校聯考期中）如圖，已知，點，分別在，上，點，在兩條平行線，之間，與的平分線交于點．若，，則的度數為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】過點，，作的平行線，容易得出，和是角平分線，所以，進一步求即可．【詳解】解：如圖所示，過點，，作，，，．，．，，，，，，，，和是角平分線，，，，，，，，即．故選：D．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質、角平分線的性質以及平角的定義等知識，熟練掌握平行線的判定與性質，正確做出輔助線是解題的關鍵．例7．（2023下·四川涼山·七年級校考階段練習）如圖，，則．【答案】/度【分析】可過點，分別作，，進而利用同旁內角互補得出結論．【詳解】解：如圖，過點，分別作，，

∵，∵，則，,,∴,∴,故答案為．【點睛】本題主要考查平行線的判定與性質，平行公理的推論，掌握兩直線平行，同旁內角互補是解決此題的關鍵．例8．（2023·浙江七年級期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形，你可能注意過，木尺折斷后的斷口一般是參差不齊的，那么請你深入考慮一下其中所包含的一類數學問題，我們不妨取名叫“木尺斷口問題”．（1）如圖（2）所示，已知，請問，，有何關系并說明理由；（2）如圖（3）所示，已知，請問，，又有何關系并說明理由；（3）如圖（4）所示，已知，請問與有何關系并說明理由．【答案】見解析.【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：過點E作直線a∥AB，則a∥AB∥CD，則∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D.（2）∠E+∠B+∠D=360°，理由如下：過點E作直線b∥AB，則b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180°∴∠B+∠3+∠4+∠D=360°即∠E+∠B+∠D=360°.（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：過點E，F，G作直線c∥AB，d∥AB，e∥AB，則c∥AB∥d∥e∥CD，則∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.例9．（2023下·陜西渭南·七年級統考期中）已知點在直線，之間，且．

(1)如圖1，過點作直線，求證：；(2)若平分，．①如圖2，平分，過點作，若，求的度數；②如圖3，過點作，若平分，試判斷與的數量關系并說明理由．【答案】(1)見解析(2)①，②，見解析【分析】（1）根據平行線的性質求解即可；（2）①根據平行線的性質和角平分線的概念求解即可；②根據平行線的性質和角平分線的概念求解即可．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①∵平分，∴，①由平分，可設，又∵，∴，又∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．②．理由：設，，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴．【點睛】此題考查了平行線的性質和角平分線的概念，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點，利用代數式表示各個角之間的關系．課后專項訓練1．（2023·陜西西安·校考二模）如圖，已知直線，與直線c分別交于A、B兩點，點C在直線b上，點D在線段上，連接，若，則的度數為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由平行線的性質得到，由三角形內角和定理即可求出的度數．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴．故選：A．【點睛】本題考查平行線的性質，三角形內角和定理，掌握平行線的性質，三角形內角和定理是解題關鍵．2．（2023上·湖北孝感·八年級統考期中）如圖，，，，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據平行線的性質得出，再根據三角形外角的性質可得，代入計算即可．【詳解】解：，，，，，．故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形外角的性質，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角相等；兩直線平行，內錯角相等．3．（2023·湖南·中考真題）如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數為（）A．70° B．65° C．35° D．5°【答案】B【分析】作CF∥AB，根據平行線的性質可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，從而可得∠BCE的度數，本題得以解決．【詳解】作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故選：B．【點睛】本題考查平行線的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用平行線的性質解答．4．（2023下·吉林·七年級統考期末）如圖所示，直線，的直角頂點A落在直線a上，點B落在直線b上，若，，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據兩直線平行，同旁內角互補，進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，，，∴．故選：C．【點睛】此題考查了平行線的性質，熟練掌握兩直線平行，同旁內角互補是解題的關鍵．5．（2023·河南信陽·校考三模）已知，如圖，一個含30°角的直角三角尺放在兩條平行線間，已知，，，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過點B作，由平行線的傳遞性可得，由平行線的性質可得，，再根據角的和差關系即可求解．【詳解】解：如圖，過點B作，

∵，，∴．∴，∵，∴．∵在中，，∴，∴，又∵，∴，故選A．【點睛】本題主要考查簡單的有拐點的平行線，涉及平行線的傳遞性，平行線的性質及判定，直角三角形兩銳角互余的知識，解題的關鍵是掌握平行線的性質定理．6．（2023·哈爾濱·七年級校考階段練習）如圖，，平分，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查平行線的性質，根據平行線的性質得到，求出，再利用角平分線計算即可．【詳解】∵，∴，∴，∴，∵平分，∴,∴，故選：A．7．（2023下·湖北襄陽·七年級統考期末）如圖，，點A為射線CF上一點，，，則的度數為．

【答案】40【分析】根據可得，作，得出，從而得出，，，由，得．【詳解】解：∵，∴，過C作，則，如圖：

∴，，∵，∴，∴．故答案為：40．【點睛】本題考查平行的性質，含有平行線中的拐點模型，作出適當的輔助線是解題關鍵．8．（2023下·河北衡水·九年級校考期中）如圖，已知，，當β增大時，（填“增大”或“減小”）度．【答案】增大5【分析】作，推出，得到，，推出，即，據此即可求解．【詳解】解：作，如圖，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴當β增大時，增大5度．故答案為：增大，5．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，推出是解題的關鍵．9．（2023下·遼寧撫順·七年級校聯考階段練習）如圖，A地與B地，B地與C地之間均有一條筆直的公路連接，B地分別在A地的南偏東的方向，在C地的南偏西的方向，若公路長，公路長，則A地到公路的距離是．

【答案】8【分析】如圖，過B作，根據平行線的性質求出即可得到結論．【詳解】解：如圖，過B作，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴A地到公路的距離是，故答案為：8．

【點睛】本題考查了方向角，平行線的性質，點到直線的距離，解題的關鍵是學會添加常用輔助線．10．（2023下·四川南充·七年級校考期末）如圖，，，則．

【答案】/35度【分析】過點A作的平行線，根據平行線的性質，即可求解．【詳解】解：過點A作，則．

∴，，∴．∵，∴．∴．故答案為：．【點睛】本題考查直線平行的性質，關鍵在于過點A作平行線，將角進行轉化，常考題型．11．（2023下·重慶·七年級統考期末）如圖，直線，點E在直線上，點H在直線上，點F在直線之間，連接，．則的度數為度．

【答案】150【分析】過點F作，則有，即，，解題即可求出．【詳解】解：如圖，過點F作，∵∴，∴，，∴，即，解得：故答案為：．

【點睛】本題考查平行線的性質和平行公理，掌握兩直線平行，同旁內角互補是解題的關鍵．12．（2023下·河北邯鄲·七年級統考期中）如圖，直線，，，，則°．

【答案】75【分析】由可知，又由，由平行線的傳遞性可知，根據平行線的性質可知，，再由計算即可．【詳解】解：，，，，，，．故答案為：75．【點睛】本題考查平行線的性質和判定的綜合運用，解題關鍵是據圖形合理利用平行線的性質和判定定理．13．（2023上·福建福州·八年級福州日升中學校考階段練習）如圖，直線、分別經過等邊三角形的頂點、，且，，則．

【答案】/106度【分析】由得，再由是等邊三角形，即可求出結果．【詳解】解：，，，是等邊三角形，，，故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，平行線的性質，熟練掌握等邊三角形的性質，平行線的性質是解題的關鍵．13．（2023下·貴州黔東南·七年級校考階段練習）如圖，直線，、分別是、的平分線，那么與之間的關系是.

【答案】互余【分析】根據平行線的性質得出，再根據角平分線的定義得出結論．【詳解】解：∵，∴，∵、分別是、的平分線，∴，，∴，∴，∴，∴與互余，故答案為：互余．【點睛】本題考查平行性的性質、角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質得出是解題的關鍵．14．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級校考階段練習）如圖，，，，，，．【答案】36【分析】本題主要考查了三角形內角和定理，平行線的性質．根據三角形內角和定理，可得，從而得到，再由平行線的性質可得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案為：3615．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級校考階段練習）如圖，直線平分，交于點，過點作平分交于，若，則度．

【答案】100【分析】延長交于點，設，根據平行線的性質，角平分線平分角和三角形的外角的性質，求出，即可．【詳解】解：延長交于點，

設，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；故答案為：100．【點睛】本題考查平行線的性質，與角平分線有關的計算，以及三角形的外角的性質，正確的識圖，理清角度之間的數量關系，設參法表示角的度數，是解題的關鍵．16．（2023下·四川德陽·七年級校考階段練習）如圖，，平分，，下列結論：①；②；③；④若，則，其中結論正確的是（填序號）【答案】①②④【分析】由，可得，根據，可得，再根據平行線的性質以及角的和差關系進行計算，即可得出正確結論．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故①正確；∴，∴，，∴，又∵平分，∴，即，故②正確；∵與不一定相等，∴不一定成立，故③錯誤；∵，∴為定值，故④正確．綜上所述，正確的選項①②④，故答案為：①②④．【點睛】本題主要考查了平行線的性質以及角平分線的定義的運用，解題的關鍵是注意：兩直線平行，內錯角相等．17．（2023下·貴州黔東南·七年級校考階段練習）填空，并在后面的括號中填理由：如圖，已知，求證：．

證明：如圖，過點C作∴______（

），∵，即∴______∴____________（

）又∵（

）∴____________（

）【答案】見解析【分析】根據平行線的性質可得，再根據，即，可得，從而可得，即可得出結論．【詳解】證明：如圖，過點C作，∴（兩條直線平行，內錯角相等），∵，即，∴，∴（內錯角相等，兩條直線平行），又∵（已知），∴（如果兩條直線都有第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．【點睛】本題考查平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的性質與判定是解題的關鍵．18．（2023下·福建南平·七年級統考期末）如圖，，直線與分別交于M，N，平分，平分．

(1)當時，求的大小；(2)設，用含α的式子表示．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據平行線的性質得出，再由角平分線求解即可；（2）根據平行線的性質得出，再由角平分線確定，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，又∵平分，∴；（2）∵，∴，又∵平分，平分，∴，∴，又∵，∴．【點睛】題目考查平行線的性質及角平分線的計算，理解題意，結合圖形找出各角之間的關系是解題關鍵．19．（2023上·綿陽市·八年級專題練習）如圖1，已知，點B為平面內一點，過點B作于點D，于B．(1)若，則______；(2)求證：；

(3)如圖2，G在射線上，當平分時，求與的數量關系．【答案】(1)(2)詳見解析(3)【分析】本題考查了平行線的性質、平行公理的應用、三角形的外角的性質：（1）依據題意，根據三角形的外角的性質，，又，故可得解．（2）過點B作，由于，從而，則，再結合，，又，可得，進而可以得解．（3）過點B作，由（2）可得，．設，，則；由，從而；又平分，可得，故，進而可得與的關系．需要熟練掌握角度之間的轉化，并學會借助方程的思想來解題．【詳解】（1）解：由題意，，．，．又，．故答案為：．（2）證明：如圖1，過點B作，

又，，．，．．，．，．又．；（3）如圖2，過點B作，由（2）可得，．設，，則．，．又平分，．．．．20．（2023下·廣東湛江·七年級校考期中）已知直角三角形．

(1)如圖1，直線，且平分，求的度數．(用含x的式子表示)(2)在（1）的條件下，直線平分交直線于點D，如圖2，在x取不同數值時，的大小是否發生變化？若不變，求其值；若變化，請求出變化的范圍．【答案】(1)(2)的大小不變，求其值為【分析】（1）過點A作，由平分得到，，繼而求出，再由推出，用求得，利用平行公理推論得到，繼而推導；（2）由得到，利用平分求得，利用得出，從而利用求得，至此得解．【詳解】（1）解：如下圖，過點A作，

∵平分，，∴，，∴．∵，∴．又∵，∴．又∵，，∴，∴．（2）的大小不變，求其值為．理由是：依然過點A作，

由（1）得：，∴．又∵平分，∴．又∵，，∴，∴，∴的大小不變，求其值為．【點睛】本題考查與角平分線有關的計算，平行線公理的推論，平行線的性質等知識，掌握平行線的性質是解題的關鍵．21．（2023下·廣東河源·七年級統考期末）如圖，已知，點，分別在，上，點在，之間，，，三點均在直線的同側．(1)如圖，試說明；(2)如圖，若，，分別平分和，求的度數；(3)如圖，若的度數為，平分交的延長線于點，平分交的延長線于點，請用含的代數式表示．

【答案】(1)見解析；(2)；(3)．【分析】（1）過點作，則，根據平行線的性質可得答案；（2）根據垂直的定義及(1)中的結論可得答案；（3）設的度數為，的度數為，則由(1)得，，由(1)(2)得，、，然后兩式相加可得答案．【詳解】（1）如圖，過點作，則，

，，，，，（2），，由（1）知，，，分別平分和，，（3）設的度數為，的度數為，則由（1）得，，由（2）得，，，由得，．【點睛】此題考查的是平行線的性質及垂直定義，正確作出輔助線是解決此題關鍵．22．（2023下·陜西安康·七年級校考期末）問題提出（1）如圖1，，直接寫出，，之間的關系：________．（2）如圖2，，平分，平分，試探究，之間的關系，并說明理由．問題解決（3）如圖3，，，，，，求的度數．

【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）根據平行于同一條直線的兩條直線互相平行可得，再根據平行線的性質及角的和差關系即可解答；（2）根據平行于同一條直線的兩條直線互相平行可得，再根據平行線的性質及角的和差關系，，最后根據角平分線的定義解答即可；（3）根據平行于同一條直線的兩條直線互相平行可得，再根據平行線的性質及角的和差關系，，最后利用角的和差關系解答即可．【詳解】解：（1），理由如下：過點作，∵，∴，∴，，∴，∴，即；

（2），理由如下，如圖，過點C作，過點F作．∵，∴，∴，，∴，∴，同理：，∵BF平分，∴，∵DF平分，∴，∴，即：；

（3）過點C作，過點F作，∵，∴，∴，，∴，∴，同理：，∵，，∴，∴，∵，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．

【點睛】本題考查了平行于同一條直線的兩條直線互相平行，平行線的性質，角的和差關系，角平分線的定義，掌握平行線的性質及角平分線的性質是解題的關鍵．23．（2023下·北京西城·七年級北京師大附中校考階段練習）請閱讀小明同學在學習平行線這章知識點時的一段筆記，然后解決問題．小明：老師說在解決有關平行線的問題時，如果無法直接得到角的關系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個“美味”的模型“豬蹄模型”．即已知：如圖1，，E為AB、CD之間一點，連接AE，CE得到．求證：小明筆記上寫出的證明過程如下:證明：過點E作∵∵，∴∴∴∴請你利用“豬蹄模型”得到的結論或解題方法，完成下面的兩個問題．(1)如圖，若，，求；(2)如圖，，BE平分，CF平分，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）作，，如圖，根據平行線的性質得，所以，，，然