專題08角度中的動態模型角度的動態（旋轉）模型屬于七年級上期必考壓軸題型，是尖子生必須要攻克的一塊重要內容，對考生的綜合素養要求較高。絕大部分學生對角度旋轉問題信心不足，原因就是很多角度旋轉問題需要自己畫出圖形，與分類討論思想、數形結合思想等結合得很緊密，思考性強，難度大。本專題重點研究與角有關的旋轉模型（求值模型；定值模型；探究模型；分類討論模型）。【知識儲備】1、角度旋轉模型解題步驟：①找——根據題意找到目標角度；②表——表示出目標角度：1）角度一邊動另一邊不動，角度變大：目標角=起始角+速度×時間；2）角度一邊動另一邊不動，角度變小：目標角=起始角—速度×時間；3）角度一邊動另一邊不動，角度先變小后變大。變小：目標角=起始角—速度×時間；變大：目標角=速度×時間—起始角③列——根據題意列方程求解。注：①注意題中是否確定旋轉方向，未確定時要分順時針與逆時針分類討論；②注意旋轉角度取值范圍。2、常見的三角板旋轉模型：三角板有兩種，一種是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一種是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋轉中隱藏的條件就是上面所說的這幾個特殊角的角度。總之不管這個角如何旋轉，它的角度大小是不變的，旋轉的度數就是組成角的兩條射線旋轉的度數（角平分線也旋轉了同樣的度數）。抓住這些等量關系是解題的關鍵，三角板只是把具體的度數隱藏了起來。模型1、旋轉中的求值模型例1．（2023春·福建福州·七年級統考開學考試）如圖1，已知繞點在的內部轉動，平分，平分．(1)如圖2，當與重合時，求的度數；(2)請判斷的大小是否隨的位置的變化發生改變？并說明理由；：(3)當時，求的度數．

例2．（2023·福建福州·七年級期末）在一次數學活動課上，李磊同學將一副宜角三角板、按如圖1放置，點A、C、D在同一直線上，（°、），并將三角板繞點A順時針旋轉一定角度，且始終保持．(1)在旋轉過程中，如圖2，當點A、C、E在同一直線上時，則____；(2)在旋轉過程中，如圖3，當時．請說明平分；(3)在旋轉過程中，如圖4，當時，求此時的度數．模型2、旋轉中的定值模型例1．（2022·四川成都·七年級期末）已知，如圖1，，分別為定角（大小不會發生改變）內部的兩條動射線，，．（1）求的度數；（2）如圖2，射線分別為的平分線，當繞著點O旋轉時，的位置也會變化但大小保持不變，請求出的度數；（3）如圖3，是外部的兩條射線，且，平分，平分．當繞著點O旋轉時，的大小是否會發生變化？若不變，求出其度數；若變化，說明理由．例2．（2022秋·河南南陽·七年級校考期末）將一副三角尺如圖①擺放，，，現將繞點C以/秒的速度逆時針方向旋轉，旋轉時間為秒．

(1)如圖②，當______時，恰好平分；(2)如圖③，當______時，恰好平分；(3)如圖④，當______時，恰好平分；(4)繞點C旋轉到如圖⑤的位置，平分，平分，求的度數；(5)若旋轉到如圖⑥的位置，（4）中結論是否發生變化？請說明理由．模型3、旋轉中的探究類模型（判斷角的數量之間的關系）例1．（2023秋·湖北武漢·七年級統考期末）如圖，在內部存在，平分，平分．(1)當在的內部，與不重合時．①如圖1若，求的角度．②如圖2，若，畫出圖形并探究與的數量關系．(2)如圖3，若旋轉到的外部，平分，平分，則______例2．（2023·上海·七年級專題練習）（1）已知：如圖1，P是直角三角板ABC斜邊AB上的一個動點，CD、CE分別是∠ACP和∠BCP的平分線．當點P在斜邊AB上移動時，∠DCE＝°；（2）把直角三角板的直角頂點C放在直尺的一邊MN上：①點A和點B在直線MN的上方（如圖2），此時∠ACM與∠BCN的數量關系是∠ACM+∠BCN＝；②當把這把直角三角板繞頂點C旋轉到點A在直線MN的下方、點B仍然在直線MN的上方時（如圖3），∠ACM與∠BCN的數量關系是；③當把這把直角三角板繞頂點C旋轉到點A和點B都在直線MN的下方時（如圖4），∠ACM與∠BCN的數量關系是．模型4、旋轉中的分類討論模型例1．（2023·重慶·西南大學附中七年級期中）如圖①，已知，在內部畫射線，得到三個角，分別為、、．若這三個角中有一個角是另外一個角的3倍，則稱射線為的“幸福線”．（本題中所研究的角都是大于而小于的角．）(1)角的三等分線________這個角的“幸福線”（填“是”或“不是”）；(2)如圖①，，射線為的“幸福線”，求的度數；(3)如圖②，已知，射線從出發，以每秒的速度繞點逆時針旋轉，同時，射線從出發，以每秒的速度繞點逆時針旋轉，設運動的時間為秒（）．若、、三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸福線”，求出所有可能的值．例2．（2022·成都市七中育才學校七年級月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如圖1所示放置，兩個頂點重合于點，與重合，且，，，．將三角板繞著點逆時針旋轉一周，旋轉過程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度數．（1）當三角板繞點旋轉至如圖2的位置時，與重合，______°，______°．（2）三角板繞點旋轉過程中，的度數還有其他可能嗎？如果有，請研究證明結論，若沒有，請說明理由．（3）類比拓展：當的度數為時，其他條件不變，在旋轉過程中，請直接寫出的度數．（用含的式子來表示）課后專項訓練1．（2023·內蒙古鄂爾多斯·七年級統考期末）（1）如圖1，點在線段上，圖中共有3條線段：和，若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍，則稱點是線段的“二倍點”．則線段上共有____________個“二倍點”．（2）類似的如圖1，射線在內部，圖中共有3個角：和，若其中一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線是的“二倍線”．則內部共有_____________條“二倍線”．（3）如圖2，若線段，點從點的位置開始，以每秒的速度向點運動，當點到達點時停止運動，設運動的時間為秒．問為何值時，點是線段的“二倍點”．（4）如圖3，若，射線從射線的位置開始，繞點按逆時針方向以每秒5°的速度向射線旋轉，當射線到達射線的位置時停止旋轉，設射線旋轉的時間為秒，若射線是的“二倍線”，求的值．（5）在（4）的條件下，同時射線從射線的位置開始，繞點按順時針方向以每秒10°的速度向射線旋轉，當射線到達射線的位置時停止旋轉，同時射線也停止旋轉．請直接寫出當射線是的“二倍線”時的值．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級校考開學考試）如圖1，是直線上的一點，，平分．

(1)若，求的度數；(2)將圖1中的繞頂點順時針旋轉至圖2的位置．①探究和的度數之間的關系，并說明理由；②在的內部有一條射線，內部有一條射線，且，試確定與的度數之間的關系，并說明理由．3．（2022·湖北武漢·七年級統考期末）已知150°．（1）如圖1，若60°，為內部的一條射線，，平分，求的度數．（2）如圖2，若、是內部的兩條射線，、分別平分，，且，求的值．（3）如圖3，為射線的反向延長線上一點，將射線繞點順時針以的速度旋轉，旋轉后OB對應射線為，旋轉時間為秒（），平分，為的三等分線，且，若，則的值為_______（直接填寫答案）．4．（2022?江北區期末）將一副三角板疊放在一起，使直角頂點重合于點O．（1）如圖1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度數．（2）若三角板AOB保持不動，將三角板COD的邊OD與邊OA重合，然后將其繞點O旋轉．試猜想在旋轉過程中，∠AOC與∠BOD有何數量關系？請說明理由．5．（2022?洪山區期末）將一副直角三角板ABC，ADE，按如圖1疊加放置，其中B與E重合，∠BAC＝45°，∠BAD＝30°．（1）如圖1，點F在直線AC上，且位于點A的左側，求∠FAD的度數；（2）將三角板ADE從圖1位置開始繞A點順時針旋轉，并記AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線．①當三角板ADE旋轉至如圖2的位置時，求∠MAN的度數．②若三角板ADE的旋轉速度為每秒5°，且轉動到∠DAC＝180°時停止，運動時間記為t（單位：秒），試根據不同的t的值，求∠MAN的大小（直接寫出結論）．6．（2022?綿陽七年級期中）如圖1，擺放一個三角形紙板ODE，邊OD在正東方向的射線上，點A，B分別在正西，正東方向上，∠COF＝30°，現將三角形紙板ODE從圖1位置開始繞點O以每秒5度的速度逆時針方向勻速旋轉，設旋轉的時間為t秒，在旋轉一周的過程中．（1）當t＝5時，求∠AOD的度數，并寫出點D的方向角；（2）如圖2，當三角形紙板ODE旋轉至△OD1E1時，邊OE1恰好落在射線OF上，且OF平分∠AOD1，OD1平分∠BOC，求t的值，并寫出點F的方向角；（3）當旋轉至△OD2E2時，OE2所在直線平分∠AOC，求t的值．7．（2022?鎮海區七年級期中）新定義問題如圖①，已知∠AOB，在∠AOB內部畫射線OC，得到三個角，分別為∠AOC、∠BOC、∠AOB．若這三個角中有一個角是另外一個角的2倍，則稱射線OC為∠AOB的“幸運線”．（本題中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【閱讀理解】（1）角的平分線這個角的“幸運線”；（填“是”或“不是”）【初步應用】（2）如圖①，∠AOB＝45°，射線OC為∠AOB的“幸運線”，則∠AOC的度數為；【解決問題】（3）如圖②，已知∠AOB＝60°，射線OM從OA出發，以每秒20°的速度繞O點逆時針旋轉，同時，射線ON從OB出發，以每秒15°的速度繞O點逆時針旋轉，設運動的時間為t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸運線”，求出所有可能的t值．8．（2022·湖北武漢·七年級期末）【學習概念】如圖1，在∠AOB的內部引一條射線OC，則圖中共有3個角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．【理解運用】（1）①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請用含α的代數式表示∠MPN；【拓展提升】（2）如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒12°的速度逆時針旋轉，旋轉的時間為t秒．當PQ與PN成110°時停止旋轉．同時射線PM繞點P以每秒6°的速度順時針旋轉，并與PQ同時停止．當PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時，則t＝秒．9．（2022·河北·泊頭市教師發展中心七年級期中）【實踐操作】三角尺中的數學．(1)如圖1，將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起，．①若，則_________；若，則______；②猜想與的大小有何特殊關系，并說明理由；(2)如圖2，若是兩個同樣的直角三角尺銳角的頂，點A重合在一起，，則與的大小又有何關系，請說明理由；(3)已知，（都是銳角），如圖3，若把它們的頂點O重合在一起，請直接寫出與的大小關系：________．10．（2022·河南·鄭州市第四初級中學七年級期末）【閱讀理解】如圖①，射線OC在∠AOB內部，圖中共有三個角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有兩個角的度數之比為1：2，則稱射線OC為∠AOB的“幸運線”．(1)∠AOB的角平分線這個角的“幸運線”；（填“是”或“不是”）(2)若∠AOB＝120°，射線OC為∠AOB的“幸運線”，則∠AOC＝．【問題解決】(3)如圖②，已知∠AOB=150°，射線OP從OA出發，以20°/s的速度順時針方向旋轉，射線OQ從OB出發，以10°/s的速度逆時針方向旋轉，兩條射線同時旋轉，當其中一條射線旋轉到與∠AOB的邊重合時，運動停止，設旋轉的時間為t（s），當t為何值時，射線OP是以射線OA、OQ為邊構成角的幸運線？試說明理由．11．（2022·陜西·西安七年級期末）如圖所示，OA，OB，OC是以直線EF上一點O為端點的三條射線，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射線OP從OF處開始出發，繞點O逆時針勻速旋轉，旋轉速度為每秒5度：射線OQ從OC處開始出發，繞點O順時針勻速旋轉，兩條射線同時開始旋轉（當射線OQ旋轉至與射線OF重合時，OP、OQ同時停止運動），旋轉時間為t秒.（旋轉速度÷旋轉角度：旋轉時間）(1)當t＝秒，射線OP平分∠AOB時；(2)若射線OQ的旋轉速度為每秒4度時，請求出當∠POQ=60°時，射線OP旋轉的時間；(3)若射線OQ的旋轉速度為每秒3度時，是否存在某個時刻，使得射線OQ，OP，OB中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請直接寫出所有滿足題意的的值，若不存在，請說明理由．12．（2022成都市七中育才學校七年級期末）如圖1，在表盤上12：00時，時針、分針都指向數字12，我們將這一位置稱為“標準位置”(圖中)．小文同學為研究12點分()時，時針與分針的指針位置，將時針記為，分針記為．如：12：30時，時針、分針的位置如圖2所示，試解決下列問題：（1）分針每分鐘轉動°；時針每分鐘轉動°；（2）當與在同一直線上時，求的值；（3）當、、兩兩所夾的三個角、、中有兩個角相等時，試求出所有符合條件的的值．(本小題中所有角的度數均不超過180°)13．（2022·江西蓮花縣·七年級期末）樂樂對幾何中角平分線的興趣濃厚，請你和樂樂一起探究下面問題吧．已知°，射線分別是和的平分線；（1）如圖1，若射線在的內部，且，求的度數；（2）如圖2，若射線在的內部繞點旋轉，則的度數為；（3）若射線在的外部繞點旋轉(旋轉中，均指小于的角)，其余條件不變，請借助圖3探究的大小，請直接寫出的度數(不寫探究過程)14．（2022·福建·福州時代中學七年級期末）已知，OC、OD是過點O的射線，射線OM、ON分別平分∠AOC和∠DOB．(1)如圖①，若OC、OD是∠AOB的三等分線，則______°(2)如圖②，若，，則______°(3)如圖③，在∠AOB內，若，則______°(4)將（3）中的∠COD繞著點O逆時針旋轉到∠AOB的外部（，），求此時∠MON的度數．15．（2022·福建泉州·七年級期末）如圖，射線OC在的內部，圖中共有3個角：，和，若其中有一個角的度數是另一個角的度數的兩倍，則稱射線OC是的“倍分線”．(1)如圖，若，射線OC繞點O從OB位置開始，以每秒15°的速度逆時針旋轉t秒，且．①當秒時，OC______的“倍分線”；（填“是”或“不是”）②若射線OA是的“倍分線”，求t的值；(2)如圖，射線AF繞點A從AB位置開始逆時針旋轉，同時射線BG繞點B從BA的位置開始順時針旋轉，且，兩條射線相交于點C．CD、CE分別是的高和角平線，是否存在CE是的“倍分線”的情況？若存在，請求出與應滿足的數量關系；若不存在，請說明理由．16．（2022·貴州銅仁·七年級期末）沿河縣某初中七年級的數學老師在課外活動中組織學生進行實踐探究，用一副三角尺（分別含，，和，，的角）按如圖所示擺放在量角器上，邊PD與量角器刻度線重合，邊AP與量角器刻度線重合，將三角尺ABP繞量角器中心點P以每秒的速度順時針旋轉，當邊PB與刻度線重合時停止運動，設三角尺ABP的運動時間為t秒．(1)當時，__________；(2)若在三角尺ABP開始旋轉的同時，三角尺PCD也繞點P以每秒的速度逆時針旋轉，當三角尺ABP停止旋轉時，三角尺PCD也停止旋轉．①當t為何值時，邊PB平分；②在旋轉過程中，是否存在某一時刻使，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．17．（2022·湖北孝感·七年級期末）如圖，直線與相交于點O，將一直用三角尺AOB的直角頂點與點O重合．(1)如圖1，若°，試說明；(2)小學時我們學習過，把一個圖形繞著一個固定的點旋轉某一角度，這個圖形的形狀和大小都不會發生改變．如圖2，若°，OB平分，將三角尺AOB以每秒5°的速度繞點O順時針旋轉，設運動時間為秒．如果，0≤≤42，當為何值時，直線EF平分？18．（2022·四川成都·七年級期末）點O直線AB上一點，過點O作射線OC，使得∠BOC＝65°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處．（1）如圖1，將三角板MON的一邊ON與射線OB重合時，求∠MOC的度數