§5無窮小量與無窮大量的比較先看數列的情形．設是無窮小量，即：＝0，＝0．考慮可能出現各種情形：，，＝；，＝，＝；，，不存在是有界量，＝，＝，是無界量，但非無窮大，＝，＝，這時＝可見，有些無窮小量可以比較，但有些不能。定義3.10設＝0，＝0．(1)若存在>0，>0及正整數，使得當時，有0<≤≤，則稱與是同階的無窮小量；(2)若＝1，則稱與為等價的無窮小量，記為～；(3)若＝0，則稱為較高階的無窮小量，或稱是較低階的無窮小最．記為＝o()．自然地，符號，就表示為無窮小量。與是同階無窮小量若存在>0，>0及正整數，使得當時，有0<≤≤，則當充分大后，其絕對值互相被一常數倍限制著，即≤，≤，它們趨向于0的速度可以用常數倍來度量是比高階的無窮小量＝o()＝0或其中，，當時，這表明趨于0的速度比快得多。與為等價無窮小量～＝1，其中，這表明：1、充分大時，于幾乎相等。2、兩個等價無窮小量之差是比其自身更高階的無窮小量還要引進一個記號：＝如果是有界的，即≤如果幾個常用結論：1、若＝與是同階的＝且因為由極限的性質知＝>0則存在，當時，有或由得＝由得2、＝＝＝＝0≤＝3、例1、只要證是有界量2、只要證是無窮小量注意：上面的等式不可以反過來寫！如果選定作為無窮小量的標準，若滿足＝，其中是某個正常數，則稱是階無窮小量，這時＝＋是較高階的無窮小量，我們把稱為的主部。例－＝是階的無窮小量，由于故其主部是.類似的概念也可轉移到連續變量的函數極限．以為例．設＝0，＝0，當時與是同階的無窮小量若存在>0，>0以及,當時，有≤≤當時與是等價的無窮小量＝1，～（）當時是較高階的無窮小量＝0＝)（）．若存在，使得在有界＝)()．例判別下列等式是否正確（），（），（），（）解（），（），（）而，故（）是不正確的。二、幾個常用的等價無窮小關系利用兩個重要極限和函數的連續性，我們立即可以得到在自變量的趨向下，幾個常用的等價無窮小關系（）（）（）（）（）（）（）（）意義：1、用直線代替曲線，以簡單代替復雜。（在附近，可以用直線代替曲線）(在附近，可以用直線代替曲線）2、作無窮小等價代換，使許多復雜的極限都變得簡單。例1注1在求極限過程中我們直接用代換了，用代換了，是因為例2問題1下面的解法對嗎？因為當時，，所以問題2()，兩者都是的一階無窮小。但它們之差卻是的三階無窮小。是否兩個的一階等價無窮小之差總是的三階無窮小？試考察例子：，，當時和都是的一階等價無窮小，但即是的二階無窮小。問題3兩個同價無窮小之差是否一定是一個更高階的無窮小。試考察例子：，當時和都是的一階無窮小，但仍是的一階無窮小。若和是等價無窮小量，則是比其自身更高階無窮小量。事實上例5求極限．解因為～～，所以＝＝2總起來說，無窮小量的比較是用它們趨向于0的速度快慢來衡量的．這個觀念是分析中十分重要的觀念，現在還不能很好體會．以后學多了，便會逐步加深理解．無窮小量的階是無止盡的．換句話說，任一無窮小量都存在比它更高階的無窮小量，也存在比它更低階的無窮小量．下面的數列中，后者是比前者更高階的無窮小量；而且，相鄰的兩個無窮小量之間還可插入無窮小量，使得后者是比前者更高階的無窮小量．…{}，{}，{}，{}，{}，{}，{}，…