專題51圖形折疊中的直角三角形存在性問題【題型演練】一、解答題1．如圖，在平面直角坐標系中，直線為與x，y軸分別交于A，B兩點，點C在y軸的負半軸上，若將沿直線折疊，點B恰好落在x軸正半軸上的點D處．(1)點A坐標是，點B的坐標是．的長是．(2)求點C的坐標．(3)若點M是y軸上一動點，若，直接寫出點M坐標．(4)在第一象限內是否存在一點P，使為等腰直角三角形，若存在，直接寫出點P坐標，若不存在，說明理由．【答案】(1)，5(2)(3)或(4)存在，點P的坐標為或或【分析】（1）利用一次函數解析式直接求出其圖象與x軸和y軸的交點坐標，即為A，B的坐標，再根據兩點的距離公式即可求出的長；（2）由折疊知，從而可求出．設，則．在中，利用勾股定理可列出關于x的等式，解出x，即可求出C點坐標；（3）由三角形面積公式可求出．設，則，從而得出關于t的方程，解出t即可得出M點坐標；（4）分類討論：①當，時，過點P作軸于點G．易證，得出，，從而得出；②當，時，過點P作軸于點H．由①同理可求出；③當，時，過點P作軸于點M，軸于點N．易證，得出，．即可設，得出，解出a，即得出P點坐標．【詳解】（1）對于，令，則，解得：，∴．令，則，∴，∴．故答案為：，5；（2）由折疊知：，∴．設，則．∵在中，,∴，解得：，∴，∴；（3）∵，，∴．設，∴，∴，∴，解得：或20，∴或；（4）分類討論：①當，時，如圖，過點P作軸于點G．∴，，∴．即在和中，，∴，∴，∴，∴；②當，時，如圖，過點P作軸于點H．由①同理可證，∴，∴，∴；③當，時，如圖，過點P作軸于點M，軸于點N．∵，∴．∵，∴．又∵，，∴，∴，．∴可設，∴，，∴，解得：．∴；綜上可知，存在一點P，使為等腰直角三角形，點P的坐標為或或．【點睛】本題考查一次函數與坐標軸的交點，坐標與圖形，折疊的性質，勾股定理，三角形全等的判定和性質，等腰直角三角形的性質等知識，綜合性強，較難．利用數形結合和分類討論的思想是解題關鍵．2．折紙，常常能為證明一個命題提供思路和方法．例如，在中，（如圖1），怎樣證明呢？把沿的平分線翻折，因為，所以點落在上的點處（如圖2）．于是，由，，可得．【感知】(1)①如圖2，在中，若，則．②如圖2，在中，若，求證：；【探究】(2)若將圖2中是角平分線的條件改成是高線，其他條件不變（圖3），即在中，，請探索線段之間的等量關系，并說明理由．【拓展】(3)如圖4，在中，，，點是邊上的一個動點（不與重合），將沿翻折，點的對應點是點．若以為頂點的三角形是直角三角形，直接寫出的長度【答案】(1)①；②見解析(2)，理由見解析；(3)或【分析】（1）①根據折疊的性質可得，根據三角形外角的性質，可得，即可求解；②根據折疊的性質與三角形外角的性質得出，根據等角對等邊得出，進而根據等量代換可得結論；（2）結論，根據（1）②的方法證明即可；（3）根據折疊的性質，結合圖形可知點不能為直角頂點，分兩種情況討論，①若，過點作于點，在中，，根據勾股定理列出方程，解方程即可求解；②若，根據等腰三角形的性質與判定得出，即可求解．【詳解】（1）解：①∵，，∴，∴，故答案為：；②證明：∵折疊，∴∵，又，∴，∴，∴，即；（2）解：，理由如下，如圖，將沿折疊，∵，∴點落在上的點處，∴，，，∵，，∴∴，∴，即；（3）依題意，∵點在上，以為頂點的三角形若為直角三角形，則點不能為直角頂點，分兩種情況討論，①若，如圖，過點作于點，∵，，∴，在中，，∴，設，則，在中，，，解得，即，②若，如圖，∵，∴∴，，∴∴∴，綜上所述，或【點睛】本題考查了折疊的性質，三角形外角的性質，勾股定理，等腰三角形的性質與判定，掌握折疊的性質是解題的關鍵．3．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于點A，B，點C在y軸的負半軸上，若將沿直線折疊，點B恰好落在x軸正半軸上的點D處．(1)點A的坐標是_________，點B的坐標是__________，的長為_________；(2)求點C的坐標；(3)點M是y軸上一動點，若，直接寫出點M的坐標；(4)在第一象限內是否存在點P，使為等腰直角三角形，若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)點M的坐標為或(4)點P的坐標為或或【分析】（1）直接利用直線求得點A和點B的坐標，則可得到的長，然后依據勾股定理可求得的長；（2）由折疊的性質可得到，利用可得D的坐標，然后依據勾股定理即可求解；（3）首先求出，進而得出，然后設出點M的坐標，建立方程求解即可；（4）分三種情況：①若；②若；③若，分別利用全等三角形的判定及性質求解即可．【詳解】（1）令得：，∴，∴令得：，解得：，∴，∴，在Rt△OAB中，．故答案為：；（2）由折疊的性質可知，∴，設，則在中，，∴，解得：，∴，∴；（3）∵，，∴，設點M的坐標為，∴，解得或，∴點M的坐標為或；（4）存在，理由如下：①若，如圖，過點P作交A于點G，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．∴此時點P的坐標為；②若，如圖，過點P作交點H，同理可得，此時點P的坐標為；③若，如圖，過點P作交OA于點M，交于點N，∵，∴，∵，∴，∴，∴，設點P的坐標為，∴，解得：，∴此時點P的坐標為，綜上所述，點P的坐標為或或．【點睛】本題考查了一次函數的綜合應用，解答本題主要應用了翻折的性質、勾股定理、待定系數法求函數解析式、三角形的面積公式，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，數形結合是解答本題的關鍵．

4．如圖，在平面直角坐標系中，直線與直線相交于點，直線與y軸交于點．(1)求直線的函數解析式；(2)將沿直線翻折得到，使點O與點C重合，與x軸交于點D．求證：；(3)在直線下方是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，直接寫出點P坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)，，【分析】（1）先將代入直線的解析式，求出A點坐標，再利用待定系數法求直線的函數解析式；（2）先利用兩點間距離公式求出，推出．再利用折疊的性質得出，等量代換可得，根據內錯角相等即可證明；（3）過點作，，過點作，，連接，，，與交于，可得四邊形是正方形，則，，均為等腰直角三角形．分別求出，，的坐標即可．【詳解】（1）解：直線與直線相交于點，，解得，，將，代入，得：，解得，直線的函數解析式為；（2）解：，，，，，．沿直線翻折得到，，，；（3）解：如圖，過C作于M，，，，．由折疊的性質可知，，，．過點作，，過點作，，連接，，，與交于，則四邊形是正方形，，，均為等腰直角三角形．作軸于N，，，，，又，，，，，，；四邊形是正方形，是的中點，也是的中點，，，的橫坐標為，縱坐標為，，，的橫坐標為，縱坐標為，，綜上，點P的坐標為：，，．【點睛】本題考查求一次函數解析式，折疊的性質，等腰三角形的性質，平行線的判定與性質，全等三角形的判定和性質，正方形的性質等，解題的關鍵是通過作圖找出符合條件的P點的位置．5．在數學綜合實踐課上，老師讓同學們探究等腰直角三角形中的折疊問題．如圖，在中，，，點在邊上運動，點在邊上運動．(1)如圖2，當沿折疊，點落在邊的點處，且時，發現四邊形是菱形，請證明；(2)如圖3，奇異小組同學的折疊方法是沿折疊，點落在點處，延長交于點，，點在邊上運動，沿折疊使點落在線段的中點處，求線段的長；(3)沿折疊，點的對應點恰好落在邊的三等分點處，請借助圖探究，并直接寫出的長．【答案】(1)見解析；(2)；(3)或．【分析】（1）根據折疊的性質得出，，，進而證明，即可得證；（2）勾股定理求得，根據平行線分線段成比例得出，設，則，由折疊可知：，，根據題意得出，證明，根據相似三角形的性質求得，代入即可求解；（3）分情況討論，①當時，②當時，根據勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：（1）由折疊可知：，，又∵

∴

∴

∴

∴

∴四邊形是菱形．（2）在中，

∴

∵，

∴設，則

由折疊可知：，

又∵為中點∴

∴

∵

∴∴

即

∴

∴∴線段DF的長為．（3）①當時，如圖設，則

在中，

∴，即②當時，如圖．設，則

在中，

∴

∴

綜上，BD的長為或．【點睛】本題考查了菱形的判定，折疊的性質，勾股定理，相似三角形的性質與判定，掌握相似三角形的性質與判定，分類討論是解題的關鍵．6．定義：若，，是的三邊，且，則稱為“方倍三角形”．(1)對于①等邊三角形，②直角三角形，下列說法一定正確的是________．A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D.①②都一定不是“方倍三角形”(2)若是“方倍三角形”，且斜邊，則該三角形的面積為________；(3)如圖，中，，，為邊上一點，將沿直線進行折疊，點落在點處，連接，．若為“方倍三角形”，且，求的長．【答案】(1)A(2)(3)【分析】（1）直接利用“方倍三角形”的定義對等邊三角形和直角三角形分別判斷即可；（2）根據勾股定理和“方倍三角形”的定義求得直角三角形的三邊長，即可求得直角三角形的面積；（3）根據“方倍三角形”定義可得為等邊三角形，從而證明為等腰直角三角形，可得，據此求解即可求得結論．【詳解】（1）解：對于①等邊三角形，三邊相等，設邊長為a，則，根據“方倍三角形”定義可知：等邊三角形一定是“方倍三角形”；對于②直角三角形，三邊滿足關系式：，根據“方倍三角形”定義可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；故選：A；（2）解：設，，，，，，，；故答案為：；（3）解：為“方倍三角形”，，，，即為等邊三角形，，，，，，，，，即為等腰直角三角形，，．【點睛】本題考查了翻折變換、等邊三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是掌握等邊三角形的性質以及“方倍三角形”的定義．7．如圖，在中，，，，P是線段上一動點，將沿直線折疊，使點B落在點D處，交于點E，連結．(1)求的長．(2)若，求證：．(3)當是直角三角形時，求所有符合條件的長．【答案】(1)(2)見解析(3)或【分析】(1)根據等角對等邊及折疊的性質，即可求得；(2)根據折疊的性質，平行線的性質及等角對等邊，即可證得，，據此即可證得結論；(3)分兩種情況：當，設，根據勾股定理列方程即可求得；當，過點C作于點H，根據直角三角形的性質，平行線的性質及三角形外角性質，可證得，即可得，據此即可求得．【詳解】（1）解：，．由折疊知，；（2）證明：，，．，，，，，，即；（3）解：設．①當，如圖1．此時，．，．由，得：，解得，即；②當，如圖2，作于點H．由①知，．，，，，，，，．綜上所述，當是直角三角形時，或．【點睛】本題考查了等角對等邊，折疊的性質，勾股定理，等角對等邊，三角形外角的性質，平行線的性質，采用分類討論的思想是解決本題的關鍵．8．在中于點．(1)如圖1，若的角平分線交于點，，，求的度數；(2)如圖2，點、分別在線段、上，將折疊，點落在點處，點落在點處，折痕分別為和，點、均在直線上，若，試猜想與之間的數量關系，并簡要說明理由；(3)在（2）小題的條件下，將繞點逆時針旋轉一個角度，記旋轉中的為（如圖3）．在旋轉過程中，直線與直線交于點，與直線交于點．若，是否存在這樣的、兩點，使為直角三角形？若存在，請直接寫出旋轉角的度數；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)存在，旋轉角的度數為或，理由見解析【分析】（1）利用三角形的內角和定理和角平分線的定義即可解決問題；（2）結論：．由翻折可知，，由得出，再根據三角形外角的性質可得出，從而得出結論；（3）分兩種情形分別求解即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，又∵平分，∴，∴，∴．∴的度數為．（2）結論：．理由：如圖，由翻折可知，，∵，，∴，∴，∵，∴，即，∴．（3）①當時，∴，∵將折疊，點落在點處，折痕為，將繞點逆時針旋轉一個角度，∴，∴，∴，∴；②當時，∵將折疊，點落在點處，折痕為，將繞點逆時針旋轉一個角度，∴，∴，∵，∴，∴，∴．綜上所述，旋轉角的度數為或．【點睛】本題考查三角形綜合題，旋轉變換，翻折變換，三角形的內角和定理，三角形外角的性質，直角三角形兩銳角互余等知識．解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題．9．如圖，在中，，點P是射線上的任意一點（不與點C重合），，連接，將沿AP向右翻折，得到，連接．(1)當，時，的度數為，的度數為；(2)在圖1中，點P在BC邊上，猜想與的數量關系，并說明理由；(3)當點P在邊的延長線上時，（2）中的結論是否仍然成立嗎？請直接作出判斷，不必說明理由．【答案】(1)或，(2)，理由見解析(3)仍然成立【分析】（1）先利用三角形內角和定理求出，分點P在BC邊上和點P在邊的延長線上兩種情況，利用折疊的性質和角的和差關系即可求解；（2）設,,利用三角形內角和定理可得，利用折疊的性質可得，，進而得出，可得；（3）采用（2）中的方法，可證仍然成立．（1）解：∵在中，，，∴，∴，當點P在BC邊上時，，根據折疊的性質可知：，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，同理，當點P在邊的延長線上時，，根據折疊的性質可知：，，，∵，∴，∴，綜上，的度數為或，的度數為；（2）解：，理由如下：如圖，設,,則,∴，由折疊的性質可，，，，∴，∴，∴，∴；（3）解：點P在邊的延長線上時，（2）中的結論仍然成立．如圖，設,,則,∴，由折疊的性質可，，，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查折疊的性質、三角形內角和定理、等腰三角形的性質、角的和差關系等知識點，掌握折疊前后“對應邊相等、對應角相等”是解題的關鍵．10．如圖1，在△ABC中，BC＝6，P是BC邊的一點，且不與B，C重合，將△APB沿AP折疊得，過點C作AP垂線，垂足為D，連接．(1)AB和的數量關系是，AP與的位置關系是；(2)如圖2，當四邊形是平行四邊形時，求BP的長；(3)在（2）的條件下，若BD＝CD，求證：．【答案】(1)，(2)2(3)詳見解析【分析】（1）由軸對稱的性質即可得到，；（2）延長AP交于E，由△APB沿AP折疊得，有，根據四邊形是平行四邊形，可得＝＝，即得BP＝BC＝2；（3）連接交BC于G，由勾股定理可得CD＝2，再求出DP＝＝2，BE＝，PE＝＝1，在中，，可得，中，可得，從而，而，即可證得．（1）解：∵△APB沿AP折疊得，∴直線AP是的對稱軸，∴，故答案為：AB＝AB'，AP⊥BB'；（2）延長AP交于E，作CP中點T，PD中點K，連接KT，則KT是△PCD的中位線，如圖：∵△APB沿AP折疊得，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵KT是△PCD的中位線，∴，KT＝CD，

∴BE＝KT，，∴∠PBE＝∠PTK，∠PKT＝∠PEB，∴△BEP≌△TKP（ASA），∴BP＝PT，∴BP＝PT＝CT＝BC，而BC＝6，∴BP＝BC＝2；（3）連接交BC于G，如圖：由（2）知：四邊形是平行四邊形，BP＝2，∴PC＝BC﹣BP＝4，∵BD＝CD，∴四邊形是菱形，∴，BG＝CG＝BC＝3，∵CD⊥AP，∴∠DGC＝∠PDC＝90°，由勾股定理可得，，∴，即，解得DG＝（負值舍去），∴CD＝2，DP＝2，由（2）知：，∴BE＝，在Rt△BPE中，PE＝＝1，∴DE＝DP+PE＝3，

Rt△ABE中，，∴，Rt△ADC中，，∴，而，∴．【點睛】本題考查對稱變換，涉及平行四邊形、菱形的性質與判定，勾股定理的應用等知識，解題的關鍵是勾股定理的靈活運用，表達出．11．已知，如圖1，在中，，將沿翻折至，連接．(1)求證：；(2)若點在直線下方，如圖2，，，求的長；(3)在翻折過程中，若為直角三角形，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)的值為或或或【分析】（1）根據平行四邊形的性質，得出，再根據折疊的性質，得出，再根據等量代換，即可得出結論；（2）首先設與的交點為，根據平行四邊形的性質，得出，，再根據折疊的性質，得出，，，根據等量代換，得出，，再根據，可得，再根據全等三角形的性質，得出，再根據等角對等邊，得出，再根據三角形的內角和為，得出，然后再根據直角三角形所對的直角邊等于斜邊的一半，得出，再根據直角三角形的勾股定理，得出，再根據線段的關系，得出，再利用等量代換，得出，進而算出，然后再利用，即可得出結果；（3）根據題意，分四種情況，利用直角三角形的性質，分別進行討論，即可得出結果．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，又∵沿翻折至，∴，∴．（2）解：如圖，設與的交點為，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵沿翻折至，∴，，，∴，，又∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，又∵，∵，∴，解得：，∴．（3）解：如圖，當時，∵，∴，由（2）可知，，∴，∴，∴，∴．如圖，當時，同理可得：．如圖，當，點在的上方時，過點作，交于，∵四邊形是平行四邊形，，∴，∴，∵沿翻折至，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴．如圖，當，點在的下方時，同理可得：．綜上可得：的值為或或或．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，折疊的性質，等量代換，全等三角形性質與判定，直角三角形的性質，解本題的關鍵在熟練掌握相關性質和找出所有符合條件的情況．12．在中，，點D是BC邊上一點，將沿AD折疊后得到，射線AE交射線CB于點F．(1)當點D在線段BC上時，①如圖1，若，說明；②如圖2，若，請判斷與的數量關系，并說明理由；(2)若，，求的度數．【答案】(1)①見解析；②，證明見解析(2)或【分析】（1）①根據平行線的性質和折疊的性質即可證得；②利用互余的性質和折疊的性質可證；（2）分兩種情況：（ⅰ）若點在線段上；若點在延長線上，利用翻折變換的性質進行求解即可．（1）①∵，∴．∵，∴．由折疊可得，∴，∴，即．②．理由：∵，∴，即，由折疊可得，∴．∵，，∴．由折疊可得，∴，化簡得，，即．（2）解：∵，∴．∵，∴，．（ⅰ）若點在線段上，由折疊可得，∵，∴．∵，，∴．∴．由折疊可得．（ⅱ）若點在延長線上，由折疊可得，∴．∵，∴．∴，由折疊可得．綜上所述，或．【點睛】本題考查了翻折變換，等腰三角形的性質，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵．13．【探索發現】在一次折紙活動中，小亮同學選用了常見的A4紙，如圖①，矩形為它的示意圖．他查找了A4紙的相關資料，根據資料顯示得出圖①中．他先將A4紙沿過點A的直線折疊，使點B落在上，點B的對應點為點E，折痕為；再沿過點F的直線折疊，使點C落在上，點C的對應點為點H，折痕為；然后連結，沿所在的直線再次折疊，發現點D與點F重合，進而猜想．【問題解決】(1)小亮對上面的猜想進行了證明，下面是部分證明過程：證明：四邊形是矩形，∴．由折疊可知，，．∴．∴．請你補全余下的證明過程．【結論應用】(2)的度數為________度，的值為_________；(3)在圖①的條件下，點P在線段上，且，點Q在線段上，連結、，如圖②，設，則的最小值為_________．（用含a的代數式表示）【答案】(1)見解析(2)22.5°，(3)【分析】（1）根據折疊的性質可得AD=AF，，由HL可證明結論；（2）根據折疊的性質可得證明是等腰直角三角形，可求出GF的長，從而可得結論；（3）根據題意可知點F與點D關于AG對稱，連接PD，則PD為PQ+FQ的最小值，過點P作PR⊥AD，求出PR=AR=，求出DR，根據勾腰定理可得結論．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，∴．由折疊可知，，．∴．∴．由折疊得，，∴∴又AD=AF，AG=AG∴（2）由折疊得，∠又∠∴∠由得，∠∠又∠∴∠∴∠∴設則∴∴∴（3）如圖，連接∵∴AG是FD的垂直平分線，即點F與點D關于AG軸對稱，連接PD交AG于點Q，則PQ+FQ的最小值為PD的長；過點P作交AD于點R，∵∠∴∠∴又∴∴在中，∴∴的最小值為【點睛】本題主要考查了折疊的性質，全等三角形的判定與性質，最短路徑問題，矩形的性質以及勾股定理等知識，正確作出輔助線構造直角三角形是解答本題的關鍵．14．如圖，ABCD為一長方形紙片，E為BC上一點，將紙片沿AE折疊，B點落在長方形外的F點．(1)如圖1，當∠BEA＝35°時，∠FAD的度數為．（直接填空）(2)如圖2，連BD，若∠CBD＝25°，AFBD，求∠BAE；(3)如圖3，當AFBD時，設∠CBD＝，請你求出∠BAE的度數．（用表示）【答案】(1)20°(2)57.5°(3)【分析】（1）先求出∠BAE的度數，然后根據翻折得出∠FAE的度數，再根據平行線的性質求出∠DAE的度數，即可得出結論；（2）先根據AD∥BC，∠CBD=25°得出∠ADB=25°，再由AF∥BD得出∠FAD=25°，故可得出∠AGF的度數，由平行線的性質得出∠BEF的度數，根據翻折變換的性質得出∠BEA的度數，根據直角三角形的性質即可得出結論；（3）同（2）的證明過程即可．【詳解】（1）解：由題意知ADBC，∠B=90°，又∠BEA＝35°，∴∠BAE=55°，∵翻折，∴∠FAE=∠BAE=55°，∵ADBC，∴∠EAD=∠BEA=35°．∴∠FAD=∠FAE-∠EAD=20°故答案為：20°；（2）解∶如圖2，∵ADBC，∠CBD=25°，∴∠ADB=25°．∵AFBD，∴∠FAD=25°，∴∠AGF=90°-25°=65°．∵ADBC，∴∠BEF=∠AGF=65°．∵△AEF由△AEB反折而成，∴∠BEA=∠BEF=32.5°，∴∠BAE=90°-32.5°=57.5°；（3）解∶如圖3，∵ADBC，∠CBD=，∴∠ADB=．∵AFBD，∴∠FAD=，∴∠AGF=．∵ADBC，∴∠BEF=∠AGF=．∵△AEF由△AEB反折而成，∴∠BEA=∠BEF=，∴∠BAE=．故答案為：．【點睛】本題考查的是平行線的性質與翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質是解答此題的關鍵．15．【探究與應用】我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發現有很多結論．例如：在平行四邊形ABCD中，，將△ABC沿直線AC翻折至△AEC，連結DE，則AC∥ED．(1)如圖1，若AD與CE相交于點O，證明以上個結論；(2)如圖2，AD與CE相交于點O，若，，，求△AOC的面積；(3)如果，，當A、C、D、E為頂點的四邊形是正方形時，請畫圖并求出AC的長；(4)如果，，當△AED是直角三角形時，直接寫出BC的長．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)或2；圖形見解析；(4)或或【分析】（1）由平行四邊形的定義可得AD∥BC，AD=BC，由折疊的性質可得∠ACB=∠ACE，BC=CE，于是可得△OAC、△ODE是等腰三角形，利用對頂角相等求得∠OCA和∠OED即可證明；（2）設OD=x，由（1）解答可得OD=OE=x，由折疊的性質可得OC=2-x，由∠B=90°可得ABCD是矩形，Rt△ODC中由勾股定理建立方程求得x，進而求得OA即可解答；（3）分∠ACB=45°和∠ACB=90°兩種情況作出圖形，再根據正方形的性質計算求值即可；（4）分∠ACB=60°，∠ACB=90°和∠ACB=30°，三種情況，根據30°直角三角形的邊長關系和勾股定理計算求值即可；【詳解】（1）證明：∵ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠OAC=∠ACB，∵∠ACB=∠ACE，∴∠OAC=∠OCA，∴OA=OC，∠OCA=（180°-∠AOC），∵BC=CE，BC=AD，∴AD=CE，∴AD-OA=CE-OC，∴OE=OD，∴∠OED=（180°-∠EOD），∵∠AOC=∠EOD，∴∠OCA=∠OED，∴AC∥DE；（2）解：設OD=x，由（1）解答可得OD=OE=x，∵CE=CB=2，∴OC=2-x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=，AD=BC=2，∠ADC=90°，Rt△ODC中，OC2=OD2+CD2，∴（2-x）2=x2+2，∴x=，∴OA=AD-OD=，∴△OAC面積=OA?CD=；（3）解：①如圖，∠ACB=45°時，∠B=45°，AB=AC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=45°，則∠BCD=135°，∴∠ACD=90°，∵∠BAC=180°-∠B-∠ACB=90°，AC∥ED，∴∠AED=90°，∠CDE=90°，∴四邊形ACDE是矩形，∵AB=AC=AE，∴四邊形ACDE是正方形，∵CE=CB=2，∴AC2+AE2=CE2，∴AC=；②如圖，∠ACB=90°時，∠B=∠BAC=45°，CA=CB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=45°，則∠BAD=135°，∴∠CAD=90°，∵AC∥ED，∴∠ADE=90°，∠CED=90°，∴四邊形ACDE是矩形，∵BC=CE=CA，∴四邊形ACDE是正方形，∴AC=2；∴AC=或2；（4）解：①如圖，∠ACB=60°時，∠B=30°，則∠BAC=90°，∴∠CAE=90°，∵AC∥DE，∴∠AED=90°，則△AED是直角三角形，Rt△ABC中，AB=3，BC=2AC，∴BC2=AB2+AC2=9+BC2，BC=；②如圖，∠ACB=90°時，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=30°，則∠BAD=150°，∵∠BAC=90°-∠B=60°，∴∠CAD=90°，∵AC∥DE，∴∠ADE=90°，則△AED是直角三角形，Rt△ABC中，AB=3，AC=，∴BC==，③如圖，∠ACB=30°時，作AH⊥BC于點H，由四邊形ABCD是平行四邊形得AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=120°，由折疊的性質可得∠EAC=∠BAC=120°，∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°，則△AED是直角三角形，Rt△ABH中，AB=3，AH=，∴BH=，∠B=∠ACB=30°，AH⊥BC，則BH=HC=BC，∴BC=2BH=，綜上所述BC的長為：或或.【點睛】本題考查了特殊平行四邊形的判定和性質，折疊的性質，等腰三角形的判定和性質，含30°直角三角形，勾股定理等知識；正確作出圖形并分類討論是解題關鍵．16．小紅根據學習軸對稱的經驗，對線段之間、角之間的關系進行了拓展探究．如圖，在中，為邊上的高，，點在邊上，且，點是線段上任意一點，連接，將沿翻折得．(1)問題解決：如圖①，當，將沿翻折后，使點與點重合，則______；(2)問題探究：如圖②，當，將沿翻折后，使，求的度數，并求出此時的最小值；(3)拓展延伸：當，將沿翻折后，若，且，根據題意在備用圖中畫出圖形，并求出的值．【答案】(1)(2)(3)作圖見解析，【分析】（1）根據等邊三角形的性質，平行四邊形的性質可得，根據特殊角的三角函數值即可求解；（2）根據折疊的性質即可求得，由三角形內角和定理可得，根據點在邊上，當時，取得最小值，最小值為；（3）連接，設，則，，在中，，延長交于點，在中，，進而根據，即可求解．【詳解】（1），是等邊三角形，四邊形是平行四邊形，，，為邊上的高，，（2），，是等腰直角三角形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，為底邊上的高，則點在邊上，當時，取得最小值，最小值為；（3）如圖，連接，，則，設，則，，折疊，，，，，，，，，，，在中，，，延長交于點，如圖，，，，，，在中，，，．【點睛】本題考查了軸對稱的性質，特殊角的三角函數值，解直角三角形，勾股定理，三角形內角和定理，含30度角的直角三角形的性質，平行四邊形的性質，等邊三角形的性質，綜合運用以上知識是解題的關鍵．17．在中，點E是BC的中點，點F在AD上．將四邊形ABEF沿EF折疊，得到四邊形．(1)利用圖1，求證：；(2)如圖2，連接BD，若，，，當點落在BD上時，求EF的長；(3)如圖3，當點恰好落在線段CD上時，求證：直線與直線CD重合．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】(1)利用折疊的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，平行線判定定理，也可以運用折疊的性質，構造三角形中位線定理證明．（2）設EF與BD相交于點O．運用勾股定理，三角函數，中位線定理求解即可．(3)運用經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，證明即可．(1)解：（1）證法一：由折疊的性質可知：，．∴．∵E是BC的中點，∴．∴．∴．∴．證法二：設EF與相交于點G．由折疊的性質可知：G是的中點．又∵E是BC的中點，∴GE是的中位線．∴．即．(2)設EF與BD相交于點O．由折疊的性質可知：O是的中點，．由（1）得．∴．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴若，∠BDC＝∠ABD＝45°．∴，．∴．在中，由勾股定理得．∵E是BC的中點，O是的中點，∴，．∴．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴．∴，即．．(3)證法一：連接交直線EF于點M．由折疊知：．連接BM并延長交直線CD于點H．∵四邊形ABCD是平行四邊形，點在CD上，∴．∴，．∴．∴BM＝HM．又∵E是BC的中點，∴EM是△BCH的中位線．∴，即．由（1）得．∵過點C有且只有一條直線與EF平行，∴點在直線CD上．∴直線與直線CD重合．證法二：連接并延長交直線AB于點K，連接AE．∵四邊形ABCD是平行四邊形，點在CD上，∴．∴，．∵BE＝CE，∴．∴．由折疊知：，．∴．∴∵過點有且只有一條直線與AB平行，∴直線與直線重合．即直線與直線CD重合．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，折疊的性質，是三角形全等的判定和性質，三角形中位線定理，勾股定理，三角函數的應用，熟練掌握平行四邊形的性質，折疊性質，三角函數，勾股定理是解題的關鍵．18．模型探究：如圖1，D、E、F分別為三邊BC、AB、AC上的點，且．（1）與相似嗎？請說明理由；模型應用：為等邊三角形，其邊長為8，E為AB邊上一點，F為射線AC上一點，將沿EF翻折，使A點落在射線CB上的點D處，且．（2）如圖2，當點D在線段BC上時，求的值；（3）如圖3，當點D落在線段CB的延長線上時，求與的周長之比．【答案】（1），證明見解析；（2）；（3）與的周長之比為【分析】（1）根據三角形的內角和得到，即可證明；（2）①設，，根據等邊三角形的性質與折疊可知，，，根據三角形的內角和定理得，即可證明，故，再根據比例關系求出的值；②同理可證，得，得，再得到，再根據相似三角形的性質即可求解.【詳解】解（1），理由：，在中，，，，，，，；（2）①設，，是等邊三角形，，，由折疊知，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，；②設，，是等邊三角形，，，由折疊知，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，與的周長之比為.【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟知等邊三角形的性質及相似三角形的判定與性質.19．綜合與實踐：如圖1，已知正方形紙片ABCD．實踐操作第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD沿AC，BD分別折疊．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD相交于點O．第二步：如圖2，將正方形ABCD折疊，使點B的對應點E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF與BD相交于點G，然后展平，連接GE，EF．問題解決（1）的度數是______；（2