第六章實數重難點檢測卷注意事項：本試卷滿分120分，考試時間120分鐘，試題共26題。答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規定的位置選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．（2022秋·海南?？凇ぐ四昙壭？计谥校┕浪愕闹凳牵?/p>

）A．在5和6之間 B．在6和7之間 C．在7和8之間 D．在8和9之間【答案】D【分析】估算出的值的范圍，即可解答．【詳解】解：，∵，∴，∴，∴，估算的值在8和9之間，故選：D．【點睛】本題考查了估算無理數的大小，熟練掌握平方數是解題的關鍵．2．（2022秋·山東東營·七年級校考期末）若，，且，則的算術平方根為（

）A．4 B．2 C． D．3【答案】B【分析】先根據算術平方根、絕對值意義和求出a、b值，從而求出值，再求出其算術平方根即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴的算術平方根為，故選：B．【點睛】本題考查算術平方根與絕對值，有理數乘法，熟練掌握正確求出一個數的算術平方根與絕對值是解題的關鍵．3．（2022秋·江蘇揚州·八年級?？计谥校┰冢?，，，（每兩個之間依次多一個）中，無理數的個數有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】無理數就是無限不循環小數．理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統稱．即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數．由此即可判定選擇項．【詳解】解：在，，，，（每兩個之間依次多一個）中，，，（每兩個之間依次多一個）是無理數，共3個．故選：B．【點睛】本題考查無理數，會判斷無理數．解題的關鍵是了解它的三種形式：①開方開不盡的數，如：；②無限不循環小數，如：（相鄰兩個之間依次多一個）；③含有數，如：．4．（2022秋·浙江寧波·七年級校考期中）定義：不超過實數的最大整數稱為的整數部分，記作．例如：，，按此規定，的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先據算出的大小，然后求得的范圍，然后根據的意義可求得的值．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查無理數的估算、無理數整數部分的有關計算等知識，是重要考點，難度較易，估算出是解題關鍵．5．（2022秋·湖南常德·八年級統考期中）我們根據指數運算，得出了一種新的運算，如下表是兩種運算對應關系的一組實例：指數運算新運算根據上表規律，某同學寫出了三個式子：①，②，③．其中正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】根據指數運算和新的運算法則得出規律，根據規律運算可得結論．【詳解】解：由題意得：①，，故①正確；②，，故②不正確；③，，故③正確；所以，正確的是①③，故選：B．【點睛】此題考查了指數運算和新定義運算，發現運算規律是解答此題的關鍵．6．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？计谀┪覀冊诔踔幸呀泴W會了估算的值，現在用表示距離最近的正整數．（n為正整數）比如：表示距離最近的正整數，∴；表示距離最近的正整數，∴；表示距離最近的正整數，∴……利用這些發現得到以下結論：①；②時，n的值有3個；③；④；⑤當時，n的值為2550．五個結論中正確的結論有（

）個．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】①根據表示距離最近的正整數，進行判斷；②根據，確定n的值；③分別求出，進行求解即可；④根據③中的數據，得到相應的數字規律，再進行計算即可；⑤根據規律進行倒推，即可得解．【詳解】解：①表示距離最近的正整數，∴；故①正確；②時，，4，5，6，∴n的值有4個；故②錯誤；③∵，∴；故③正確；④∵，…，∴2個1，4個2，6個3，8個4，…，∴；故④錯誤；⑤，∴；故⑤正確；綜上：正確的是①③⑤，共3個；故選B．【點睛】本題考查無理數的估算，以及數字規律探究．根據所給的定義，通過無理數的估算，找到數字規律是解題的關鍵．7．（2022秋·浙江·八年級專題練習）規定以下兩種變換：①，如；②，如．按照以上變換有：，那么等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據新定義逐步求解即可【詳解】∵，∴，∵，∴．故選：C．【點睛】此題考查新定義的運用，仔細閱讀題干，理解材料的含義是解題的關鍵．8．（2023春·七年級課時練習）已知x，y為實數，且，則（）A．﹣1 B．﹣7 C．﹣1或﹣7 D．1或﹣7【答案】C【詳解】直接利用二次根式的性質得出x，y的值，然后討論進而得出答案．【解答】解：∵，∴∴∴y＝4，∴，當時，；當時，；∴或，故選：C．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件．解答本題的關鍵由二次根式有意義的條件求出x、y的值．9．（2022秋·重慶·九年級重慶實驗外國語學校?？茧A段練習）定義：如果，那么x叫做以a為底N的對數，記作．例如：因為，所以；因為，所以．則下列說法正確的個數為（

）①；②；③若，則；④．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據對數的定義和乘方意義解題即可．【詳解】解：①∵，∴，故說法①正確，符合題意；②設，，則，，∴，即，∴，∴，即，故②正確，符合題意；③設，則，，∴，∴，∴，解得，故③說法正確，符合題意；④設，，則，，∴,∴故說法④正確，符合題意；∴正確的說法有個，故選：A．【點睛】本題以新定義題型為背景，主要考查了學生的數的乘方的計算能力，在解答新定義題型的時候，首先一定要把定義理解透徹，然后靈活應用定義變化，一一判斷給出的說法是否正確．10．（2023秋·重慶大渡口·九年級重慶市第九十五初級中學校校考階段練習）對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為，即當n為非負整數時，若，則，如，，給出下列關于的結論正確的是（

）①；②；③；④當，m為非負整數時，有；⑤滿足的非負數x只有兩個．A．①④ B．①④⑤ C．①②⑤ D．①③④【答案】B【分析】先理解題意，表示對x四舍五入．①可直接判斷；②③可取特殊值檢驗正誤；④整數不影響四舍五入；⑤，則為整數，那么x是的倍數，可代入特殊值驗證．【詳解】①，說法正確；②比如時，，而，，說法錯誤；③比如時，，而，，說法錯誤；④m為非負整數，則，所以當時，，說法正確；⑤若滿足，則為整數，x必然是的倍數．經驗證：時；

時，符合條件的x有兩個，說法正確．故選：B【點睛】本題主要考查了新定義下的實數運算，理解題意用特殊值法是解題的關鍵．二、填空題（8小題，每小題3分，共24分）11．（2023秋·四川達州·八年級?？计谀┮阎堑恼麛挡糠?，是的小數部分，那么的值是_____．【答案】##【分析】直接利用的范圍，得出的值，進而求出答案．【詳解】解：，是的整數部分，是的小數部分，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了估算無理數的大小，正確得出的值是解題的關鍵．12．（2023秋·山東青島·八年級校考期末）若（k為整數），那么k的值為______．【答案】2【分析】先估算出的范圍，再估算的范圍，最后得出結果即可．【詳解】解：∵，∴，∵（k為整數），∴，故答案為：2．【點睛】本題主要考查了估算無理數的大小，能估算出的范圍是解此題的關鍵．13．（2022秋·甘肅嘉峪關·七年級?？计谀┮阎獙崝祒，y滿足，則代數式的值為___________．【答案】【分析】根據絕對值和偶次方的非負性求得x、y的值，然后代入求解即可．【詳解】解：，，解得：，當時，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了代數式求值、絕對值和偶次方的非負性；能利用非負性正確求出x、y值是解答的關鍵．14．（2022秋·浙江寧波·七年級?？茧A段練習）如圖網格中每個小正方形的邊長為，若把陰影部分剪拼成一個正方形，那么新正方形的邊長是______．規定：用符號表示一個不大于實數的最大整數，例如：，，，按這個規定，________．【答案】

【分析】（1）根據圖形求出陰影部分的面積，即為新正方形的面積，開方即可求出邊長．（2）先求出的范圍，求出的范圍，即可得出答案．【詳解】解：（1）根據圖形得：，則新正方形的邊長為．故答案為．

解：（2）∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了估算無理數的大小的應用，算術平方根和三角形的面積，熟練掌握算術平方根的定義是解本題的關鍵．15．（2022秋·甘肅酒泉·八年級?？计谀τ谌我鈨蓚€不相等的實數，定義一種新運算“”如下：，如：．那么________．【答案】【分析】根據新定義，將，代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查實數的計算，解題的關鍵是將，正確代入再化簡．16．（2023春·上海·七年級專題練習）如圖，正方形的邊在數軸上，數軸上點A表示的數為，正方形的面積為．將正方形在數軸上水平移動，移動后的正方形記為，點A、B、C、D的對應點分別為、、、，移動后的正方形與原正方形重疊部分圖形的面積為，當時，數軸上點表示的數是___________．（用含a的代數式表示）【答案】或【分析】根據正方形的面積可得正方形的邊長，然后分情況討論，進而可以表示點表示的數．【詳解】解：∵正方形的面積為，所以邊長為a，當時，分兩種情況：（1）當正方形向左平移時，如圖所示：∵，，∴，∴，∴數軸上點表示的數為；（2）當正方形ABCD向右平移時，如圖所示：∵，，∴，∴數軸上點表示的數為；綜上所述，數軸上點表示的數為或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了實數與數軸，解決本題的關鍵是根據正方形平移后用代數式表示線段的長度．17．（2023春·七年級單元測試）若，其中a，b均為整數，則______．【答案】0，2，4【分析】先根據絕對值和算術平方根的非負性分三種情況進行討論得出a，b的值，再代入進行計算即可求解【詳解】解：∵，其中a，b均為整數，又∵，①當，時，∴，∴②當，時，∴或，∴或③當，時，∴或，∴或故答案為：4或2或0【點睛】本題考查了絕對值和算術平方根的非負性，得出a、b可能的取值是解決此題的關鍵，注意分類討論的數學思想．18．（2022·浙江寧波·九年級專題練習）定義：若一個兩位數k，滿足（m，n為正整數），則稱該兩位數k為“類完全平方數”，記．例如：，則39是一個“類完全平方數”，且．（1）已知37是一個“類完全平方數”，則___________；（2）若兩位數a是一個“類完全平方數”，且，則a的最大值=___________．【答案】

12

93【分析】（1）根據（，為正整數）進行推導即可求出答案；（2）根據兩位數是一個“類完全平方數”，推出是3的倍數并且滿足，求的最大值，逐個嘗試即可求出正確答案．【詳解】解：（1）∵37是一個“類完全平方數”，37=32+3×4+42∴F（37）=12故答案為：12（2）∵兩位數是一個“類完全平方數”，且∴是3的倍數當=99時，108，不滿足是兩位數；當=96時，105，不滿足是兩位數；當=93時，102，不滿足是兩位數；當=90時，99，滿足是兩位數，∵又∵，，，，∴99不符合題意，當=87時，96，滿足是兩位數，∵，又∵，∴96不符合題意，當=84時，93，滿足是兩位數，∵，又∵，∴93符合題意，∴的最大值為93，故答案為：93．【點睛】本題考查了閱讀材料題，認真讀懂題干中的例子是解答本題的關鍵．三、解答題（10小題，共66分）19．（2021春·重慶九龍坡·七年級重慶市楊家坪中學校考期中）計算：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據立方根，算術平方根，以及有理數的乘方運算，進行計算即可求解；（2）根據立方根，算術平方根，以及有理數的乘方運算，化簡絕對值，進行計算即可求解；【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查了實數的混合運算，掌握立方根，算術平方根，以及有理數的乘方是解題的關鍵．20．（2023春·七年級課時練習）求滿足下列各式的未知數(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）方程整理后根據平方根的定義求解可得；（2）根據立方根的定義得出，解之可得．【詳解】（1），方程整理得：，開方得：；（2）開立方得：，解得：．【點睛】本題主要考查立方根、平方根，解題的關鍵是掌握立方根和平方根的定義．21．（2020秋·甘肅蘭州·八年級?？计谥校┮阎钠椒礁牵乃阈g平方根是1，c是的整數部分，求的立方根．【答案】【分析】根據平方根的定義列式求出a的值，再根據算術平方根的定義列式求出b的值，根據估算可得c值，代入所求代數式的值，再根據立方根的定義計算即可．【詳解】解：∵的平方根是，∴，∴，∵的算術平方根是1，∴，∴；∵c是的整數部分，，∴．∴，∴的立方根是．【點睛】本題考查了算術平方根與平方根的定義和估算無理數的大小，熟記概念，先判斷所給的無理數的近似值是解題的關鍵．22．（2023春·全國·八年級專題練習）先閱讀題的解法，再解答．已知a、b是有理數，并且滿足等式，求a、b的值．解：因為．即．所以，．解得：，．解答：設x、y是有理數，并且滿足，求的值．【答案】1或【分析】根據規律：等式左右兩邊的有理數部分和二次根式分別相同，建立方程，然后解方程即可．【詳解】解：因為，所以，所以，，解得或．所以或．故的值為1或．【點睛】題目主要考查實數的加減運算，理解題干中的求解方法是解題關鍵．23．（2022春·貴州遵義·七年級校考階段練習）閱讀下面的文字，解答問題：例如：∵，即∴的整數部分是，小數部分是(1)試求：的整數部分與小數部分；(2)已知小數部分是n，且，求的的值．【答案】(1)3；(2)或【分析】（1）根據夾逼法可求的整數部分和小數部分；（2）求出的值，代入，根據平方根的定義求即可．【詳解】（1）解：∵，即，∴的整數部分是3，小數部分是，（2）解：∵，即，，即∴的小數部分為；∵小數部分是n，∴，，∴或．【點睛】本題考查估算無理數的大小，熟練掌握估算無理數值是解題的關鍵．24．（2022秋·四川巴中·八年級?？茧A段練習）求一個正數的算術平方根，有些數可以直接求得，如，有些數則不能直接求得，如，但可以通過計算器求.還有一種方法可以通過一組數的內在聯系，運用規律求得，請同學們觀察下表：n160.160.00161600160000…40.40.0440400…(1)表中所給的信息中，你能發現什么規律？（請將規律用文字表達出來）(2)運用你發現的規律，探究下列問題：已知，求下列各數的算術平方根：①；②；(3)根據上述探究過程類比研究一個數的立方根已知，則．【答案】(1)被開方數的小數點向左或向右移動位，其算術平方根的小數點就向左或向右移動位．(2)(3)【分析】（1）觀察被開方數和算術平方根小數點的位置，即可求解；（2）根據（1）中的規律，從被開方數和算術平方根小數點的移動位置考慮，即可求解；（3）根據前面的規律，被開立方數與立方根之間的關系，即可求解．【詳解】（1）解：探究發現：觀察被開方數和算術平方根小數點的位置，可以的得到：被開方數的小數點向左或向右移動位，其算術平方根的小數點就向左或向右移動位．（2）解：∵∴∵∴；故答案為：0.1435；14.35；（3）解：∵，故答案為：12.60．【點睛】本題考查了算術平方根和立方根，解題的關鍵是從小數點移動的位數來考慮．25．（2023秋·重慶大渡口·九年級重慶市第九十五初級中學校?？茧A段練習）若一個各數位上數字均不為0的四位數M的千位數字大于百位數字，且千位數字與百位數字和的平方等于十位數字與個位數字組成的兩位數，則稱這個四位數M為“完全平方和數”．例如：，∵且，∴3116是“完全平方和數”；又如：，∵但，∴7295不是“完全平方和數”．(1)判斷5481，9185是否是“完全平方和數”，并說明理由．(2)一個“完全平方和數”M的千位數字為a，百位數字為b，十位數字為c，個位數字為d，記，．當與均能被2整除時，求出所有滿足條件的M．【答案】(1)5481是“完全平方和數”；9185不是“完全平方和數”(2)滿足條件的M的值為：或或【分析】（1）根據“完全平方和數”的定義進行解答即可；（2）根據與均能被2整除，可得均為偶數，同奇或同偶，根據“完全平方和數”的定義取值即可．【詳解】（1）解：∵且，∴5481是“完全平方和數”；∵且，∴9185不是“完全平方和數”；（2）根據題意可得：，∵與均能被2整除，要滿足能被整除，則同奇同偶，∴，其中、、均能被整除，∴必然能被整除，即為偶數，∴均為偶數，∴為偶數，∴也為偶數，∴同奇或同偶，根據“完全平方和數”可知，，當時，，則，c，d不滿足均為偶數；當時，，則，不滿足均為偶數；當時，或，則或，故滿足題意；當，，則，故滿足題意；當時，，則，故滿足題意；當時，沒有