專題4.3因式分解（滿分100）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分評卷人得分一．選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（2022春?泰山區校級月考）下列各式由左到右的變形中，屬于分解因式的是（）A．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．a（m+n）＝am+an【思路點撥】根據因式分解的定義逐個判斷即可．【解題過程】解：A．等號右邊不是乘積形式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意為；B．等號右邊不是乘積形式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意C．屬于因式分解，故本選項符合題意；D．整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；故選：C．2．（2021秋?洛陽期末）如圖，四邊形ABCD是一個長方形，利用不同的方法可以計算出長方形的面積．通過分析圖形中所標線段的長度，將多項式m2+3mn+2n2因式分解，其結果正確的是（）A．（m+2n）2 B．（m+2n）（m+n） C．（2m+n）（m+n） D．（m+2n）（m﹣n）【思路點撥】根據面積的不同求解方法，可得到不同的表示方法，從而得到等式．【解題過程】解：觀察圖形可知m2+3mn+2n2＝（m+2n）（m+n）．故選：B．3．（2021秋?豐澤區校級期末）在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（）A．m B．m（a﹣x） C．m（a﹣x）（b﹣x） D．（a﹣x）（b﹣x）【思路點撥】首先把式子進行變形，可變為m（a﹣x）（x﹣b）+mn（a﹣x）（x﹣b），進而可得到公因式m（a﹣x）（b﹣x）．【解題過程】解：m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x），＝m（a﹣x）（x﹣b）+mn（a﹣x）（x﹣b），＝m（a﹣x）（x﹣b）（1+n）＝﹣m（a﹣x）（b﹣x）（1+n），故選：C．4．（2021秋?青神縣期末）下列各式：①x2﹣x2y4＝（x﹣xy2）（x+xy2），②x2﹣1+2x＝（x﹣1）（x+1）+2x，③﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2，④1mA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】根據因式分解的意義對各小題進行分析即可．【解題過程】解：①x2﹣x2y4＝x2（1﹣y4）＝x2（1﹣y2）（1+y2）＝x2（1+y）（1﹣y）（1+y2），故原題因式分解錯誤；②x2﹣1+2x＝（x﹣1）2，故原題因式分解錯誤；③﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2，正確；④等式左邊不是多項式，右邊不是幾個整式的積的形式，不是因式分解，所以屬于正確的因式分解的有1個．故選：A．5．（2021秋?湖里區期末）已知多項式a2+b2+M可以運用平方差公式分解因式，則單項式M可以是（）A．2ab B．﹣2ab C．3b2 D．﹣5b2【思路點撥】利用平方差公式的結構特征判斷即可．【解題過程】解：多項式a2+b2+M可以運用平方差公式分解因式，則單項式M可以是﹣5b2．故選：D．6．（2021秋?鳳凰縣期末）如果二次三項式x2﹣ax﹣9（a為整數）在整數范圍內可以分解因式，那么a可取值的個數是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．無數個【思路點撥】根據因式分解﹣十字相乘法，將﹣9分解為﹣9×1和﹣1×9，然后進行計算即可．【解題過程】解：當﹣9＝﹣9×1時，﹣a＝﹣9+1，∴a＝8，當﹣9＝﹣1×9時，﹣a＝﹣1+9，∴a＝﹣8，∴如果二次三項式x2﹣ax﹣9（a為整數）在整數范圍內可以分解因式，那么a可取值：±8，故選：A．7．（2022春?寶山區校級月考）若x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5），則p+q的值為（）A．15 B．7 C．﹣7 D．﹣8【思路點撥】直接利用多項式乘多項式運算法則得出p，q的值，進而得出答案．【解題過程】解：∵x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5），∴x2+px+q＝x2﹣8x+15，故p＝﹣8，q＝15，則p+q＝﹣8+15＝7．故選：B．8．（2021秋?順平縣期末）如圖，邊長為a、b的長方形周長為20，面積為16，則a2b+ab2的值為（）A．80 B．160 C．320 D．480【思路點撥】直接利用長方形面積求法以及周長求法得出a+b＝10，ab＝16，再將原式提取公因式ab分解因式，代入數據求出答案．【解題過程】解：∵邊長為a、b的長方形周長為20，面積為16，∴a+b＝10，ab＝16，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝16×10＝160．故選：B．9．（2021秋?九龍坡區校級期末）已知x﹣y＝2，xy=12，那么x3y+x2y2+xyA．3 B．5 C．112 D．【思路點撥】原式提取公因式，再利用完全平方公式變形，將各自的值代入計算即可求出值．【解題過程】解：∵x﹣y＝2，xy=1∴原式＝xy?（x2+xy+y2）＝xy?[（x﹣y）2+3xy]=12×[22=12×（=1=11故選：D．10．（2021秋?江油市期末）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2023的值為（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【思路點撥】利用因式分解法將原式進行分解，再整體代入即可求解．【解題過程】解：∵x2+x＝1，∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2023＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2023＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2023＝x2+x3﹣x2﹣2x+2023＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2023＝x﹣x2﹣2x+2023＝﹣x2﹣x+2023＝﹣（x2+x）+2023＝﹣1+2023＝2022．故選：C．評卷人得分二．填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）11．（2022?蓬安縣模擬）分解因式：5ab2﹣45a＝5a（b+3）（b﹣3）．【思路點撥】先提取公因式5a，然后利用平方差公式進行因式分解．【解題過程】解：原式＝5a（b2﹣9）＝5a（b+3）（b﹣3）．故答案為：5a（b+3）（b﹣3）．12．（2022?新會區校級模擬）若y2﹣3y+m有一個因式為y﹣4，則m＝﹣4．【思路點撥】設多項式y2﹣3y+m的另一個因式為（y+k），則y2﹣3y+m＝（y﹣4）（y+k），可得關于k、m的方程組，解方程組即可求出m的值．【解題過程】解：設多項式y2﹣3y+m的另一個因式為（y+k），則y2﹣3y+m＝（y﹣4）（y+k），∴y2﹣3y+m＝y2+（k﹣4）y﹣4k，∴k-解得k=1故答案為：﹣4．13．（2021秋?淮陽區期末）甲乙兩人完成因式分解x2+ax+b時，甲看錯了a的值，分解的結果是（x+6）（x﹣2），乙看錯了b的值，分解的結果為（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正確的結果為（x﹣6）（x+2）．【思路點撥】根據甲、乙看錯的情況下得出a、b的值，進而再利用十字相乘法分解因式即可．【解題過程】解：因式分解x2+ax+b時，∵甲看錯了a的值，分解的結果是（x+6）（x﹣2），∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，又∵乙看錯了b的值，分解的結果為（x﹣8）（x+4），∴a＝﹣8+4＝﹣4，∴原二次三項式為x2﹣4x﹣12，因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），故答案為：（x﹣6）（x+2）．14．（2021秋?仁壽縣期末）已知a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值等于3．【思路點撥】對a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac提公因式12，進而進行因式分解，再將a、b、c【解題過程】解：∵a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=12（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2=12[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）=12[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）=1＝3．故答案為：3．15．（2020?浙江自主招生）分解因式：2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．【思路點撥】因2x2+7xy﹣15y2＝（x+5y）（2x﹣3y），故可設2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝（x+5y+a）（2x﹣3y+b），根據十字相乘法的逆運算解答．【解題過程】解：∵2x2+7xy﹣15y2＝（x+5y）（2x﹣3y），∴可設2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝（x+5y+a）（2x﹣3y+b），a、b為待定系數，∴2a+b＝﹣3，5b﹣3a＝11，ab＝﹣2，解得a＝﹣2，b＝1，∴原式＝（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．故答案為：（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．評卷人得分三．解答題（本大題共8小題，滿分55分）16．（2021秋?魚臺縣期末）利用因式分解計算：（1）9002﹣894×906；（2）2.68×15.7﹣31.4+15.7×1.32．【思路點撥】（1）利用平方差公式把894×906分解，再和9002相減．（2）首先2.68×15.7+15.7×1.32通過因式分解提取公因數15.7，使3.68+0.32結果為整數4．再﹣31.4計算．【解題過程】（1）9002﹣894×906＝9002﹣（900﹣6）（900+6）＝9002﹣（9002﹣62）＝9002﹣9002+62＝36．（2）2.68×15.7﹣31.4+15.7×1.32＝15.7×（2.68+1.32）﹣31.4＝15.7×4﹣31.4＝31.4×2﹣31.4＝31.4．17．（2020秋?叢臺區期末）因式分解（1）（a﹣b）2+4ab；（2）x2﹣2x﹣8；（3）x4﹣6x3+9x2﹣16；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3．【思路點撥】（1）先根據完全平方公式展開，再根據完全平方公式分解因式即可；（2）根據十字相乘法分解因式即可；（3）先分組，根據完全平方公式進行計算，再根據平方差公式分解因式，最后根據“十字相乘法”分解因式即可；（4）把x2+3x當作一個整體展開，再根據“十字相乘法”分解因式即可．【解題過程】解：（1）（a﹣b）2+4ab＝a2﹣2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2＝（a+b）2；（2）x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2）；（3）x4﹣6x3+9x2﹣16＝（x4﹣6x3+9x2）﹣16＝x2（x﹣3）2﹣42＝[x（x﹣3）+4][x（x﹣3）﹣4]＝（x2﹣3x+4）（x2﹣3x﹣4）＝（x2﹣3x+4）（x﹣4）（x+1）；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3＝（x2+3x）2+6（x2+3x）+5+3＝（x2+3x）2+6（x2+3x）+8＝（x2+3x+2）（x2+3x+4）＝（x+1）（x+2）（x2+3x+4）．18．（2021春?鐵西區期中）先因式分解，然后計算求值：（x+1）（x+2）+14，其中x【思路點撥】首先去括號，進而利用完全平方公式分解因式，最后求出答案．【解題過程】解：（x+1）（x+2）十1＝x2+3x+2+＝x2+3x+＝（x+32）把x=3原式＝（32+32）19．（2021秋?金川區校級期末）王老師在黑板上寫下了四個算式：①32﹣12＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1；②52﹣32＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2；③72﹣52＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3；④92﹣72＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4；…認真觀察這些算式，并結合你發現的規律，解答下列問題：（1）112﹣92＝40；132﹣112＝48．（2）小華發現上述算式的規律可以用文字語言概括為：“兩個連續奇數的平方差能被8整除”，如果設兩個連續奇數分別為2n+1和2n﹣1（n為正整數），請你用含有n的算式驗證小華發現的規律．【思路點撥】（1）根據已知算式寫出符合題意的答案；（2）利用平方差公式計算得出答案．【解題過程】解：（1）112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝8×5＝40；132﹣112＝（13+11）（13﹣11）＝8×6＝48．故答案為：40；48；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）＝2×4n＝8n，∵n為正整數，∴兩個連續奇數的平方差是8的倍數．20．（2021春?亳州期末）【問題情景】多項式的乘法公式可以利用圖形中面積的等量關系來驗證其正確性．例如，（a+b）2＝a2+2ab+b2就能利用圖1的面積進行驗證．【問題解決】（1）直接寫出圖2中所表示的等式：（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2；（2）畫出適當的圖形，以表示等式（3x）2＝9x2；（3）利用圖2中所表示的等式分解因式：①3x2+4x+1＝（3x+1）（x+1）；②2m2+8mn+6n2＝2（m+n）（m+3n）．【思路點撥】（1）本問關鍵在于從整體和局部兩個角度去分析圖形，因而得出兩種形式的式子形成等式；（2）本問在于把（3x）2看作是矩形的長與寬相乘，即3x?3x，從而繪制邊長為3x的正方形；（3）本問將等式的左邊看作是矩形的積，求出它的因式，即矩形的長和寬．【解題過程】解：（1）觀察圖2，從總體來看，大矩形的長為：3a+b，寬為：a+b，∴大矩形面積可表示為：（a+b）（3a+b）；從局部來看，各小矩形的面積依次相加，可得：a2+ab+ab+a2+b2+ab+a2+ab＝3a2+4ab+b2；故答案為：（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2；（2）如上圖，從整體來看：3x?3x＝（3x）2，從局部來看：9?x2＝9x2，∴（3x）2＝9x2；（3）①3x2+4x+1＝（3x+1）（x+1），②2m2+8mn+6n2＝（2m+2n）（m+3n）＝2（m+n）（m+3n），故答案為：（3x+1）（x+1），2（m+n）（m+3n）．21．（2021秋?樂昌市期末）教科書中這樣寫道：“我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．能解決一些與非負數有關的問題或求代數式最大值，最小值等．例如：分解因式．原式＝x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）例如．求代數式2x2+4x﹣1的最小值．原式＝2x2+4x﹣1＝2（x2+2x+1﹣1）﹣1＝2（x+1）2﹣3．可知當x＝﹣1時，2x2+4x﹣1有最小值，最小值是﹣3．（1）分解因式：a2﹣2a﹣3＝（a﹣3）（a+1）．（2）試說明：x、y取任何實數時，多項式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數．（3）當m，n為何值時，多項式m2﹣2mn+2n2﹣4m﹣4n+25有最小值，并求出這個最小值．【思路點撥】（1）把a2﹣2a﹣3化為a2﹣2a+1﹣4的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解；（2）首先把x2+y2﹣4x+2y+6配方寫成（x﹣2）2+（y+1）2+1，根據平方的非負性即可求解；（3）用拆項的方法首先把多項式化為m2﹣2m（n+2）+（n+2）2+n2﹣8n+16+5的形式，進一步分解因式，再根據平方的非負性求出多項式最小值．【解題過程】解：（1）a2﹣2a﹣3＝a2﹣2a+1﹣4＝（a﹣1）2﹣4＝（a﹣1﹣2）（a﹣1+2）＝（a﹣3）（a+1）；（2）多項式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數，理由：x2+y2﹣4x+2y+6＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴（x﹣2）2+（y+1）2+1≥1，∴多項式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數；（3）m2﹣2mn+2n2﹣4m﹣4n+25＝m2﹣2m（n+2）+（n+2）2+n2﹣8n+16+5＝（m﹣n﹣2）2+（n﹣4）2+5，當m﹣n﹣2＝0，n﹣4＝0時代數式有最小值，解得m＝6，n＝4，最小值為5．22．（2021秋?松滋市期末）如圖，將一塊長方形紙板沿圖中的虛線裁剪成9塊，其中2塊是邊長為a的小正方形，5塊是長為b，寬為a的小長方形，2塊是邊長為b的大正方形．（1）觀察圖形，可以發現代數式2a2+5ab+2b2可以分解因式為（a+2b）（2a+b）；（2）若這塊長方形紙板的面積為177，每塊長為b，寬為a的小長方形的面積是15．①則圖中1塊邊長為a的小正方形和1塊邊長為b的大正方形的面積之和為51；②試求圖中所有剪裁線（虛線部分）長的和．【思路點撥】（1）按照整體思想和分割思想利用面積法分析求解；（2）①利用整體思想代入求值；②利用平移思想分析求解．【解題過程】解：（1）如圖，∵矩形ABCD由2塊邊長為a的小正方形，5塊長為b，寬為a的小長方形，2塊邊長為b的大正方形組成，∴S矩形ABCD＝2a2+5ab+2b2，又∵矩形ABCD的長為（a+2b），寬為（2a+b），∴S矩形ABCD＝（a+2b）（2a+b），∴2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），故答案為：（a+2b）（2a+b）；（2）①∵這塊長方形紙板的面積為177，每塊長為b，寬為a的小長方形的面積是15，∴2a2+5ab+2b2＝177，ab＝15，∴2（a