專題02絕對值壓軸題（最值與化簡）專項講練專題1.最值問題最值問題一直都是初中數學中的最難點，但也是高分的必須突破點，需要牢記絕對值中的最值情況規律，解題時能達到事半功倍的效果。題型1.兩個絕對值的和的最值【解題技巧】目的是在數軸上找一點x，使x到a和b的距離和的最小值：分類情況（的取值范圍）圖示取值情況當時無法確定當時的值為定值，即為當無法確定結論：式子在時，取得最小值為。例1.（2021·珠海市初三二模）閱讀下面材料：數軸是數形結合思想的產物．有了數軸以后，可以用數軸上的點直觀地表示實數，這樣就建立起了“數”與“形”之間的聯系．在數軸上，若點，分別表示數，，則，兩點之間的距離為．反之，可以理解式子的幾何意義是數軸上表示實數與實數3兩點之間的距離．則當有最小值時，的取值范圍是（）A．或 B．或 C． D．變式1．（2022·江蘇蘇州·七年級階段練習）同學們都知道，|5－（－2）|表示5與－2之差的絕對值，實際上也可理解為5與－2兩數在數軸上所對的兩點之間的距離．試探索：（1）求|5－（－2）|＝_______．（2）找出所有符合條件的整數x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7這樣的負整數是_____________．（3）由以上探索猜想對于任何有理數x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有寫出最小值，如果沒有說明理由．例2.（2022·河南·鄭州外國語中學七年級期末）數軸是一個非常重要的數學工具，它使數和數軸上的點建立起對應關系，揭示了數與點之間的內在聯系，它是“數形結合”的基礎．例如：從“形”的角度看：可以理解為數軸上表示3和1的兩點之間的距離；可以理解為數軸上表示3與﹣1的兩點之間的距離．從“數”的角度看：數軸上表示4和﹣3的兩點之間的距離可用代數式表示為：4-（-3）．根據以上閱讀材料探索下列問題：(1)數軸上表示3和9的兩點之間的距離是；數軸上表示2和﹣5的兩點之間的距離是；（直接寫出最終結果）(2)①若數軸上表示的數x和﹣2的兩點之間的距離是4，則x的值為；②若x為數軸上某動點表示的數，則式子的最小值為．變式2.（2022?思明區校級期末）同學們都知道|5﹣（﹣2）|表示5與（﹣2）之差的絕對值，也可理解為5與﹣2兩數在數軸上所對的兩點之間的距離，試探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝．（2）找出所有符合條件的整數x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整數是．（3）由以上探索猜想，對于任何有理數x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．題型2.兩個絕對值的差的最值【解題技巧】目的是在數軸上找一點x，使x到a和b的距離差的最大值和最小值：分類情況（的取值范圍）圖示取值情況當時的值為定值，即為—當時當的值為定值，即為結論：式子在時，取得最小值為；在時，取得最大值。例1.（2022·浙江·溫州七年級開學考試）代數式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值為a，最小值為b，下列說法正確的是（）A．a＝3，b＝0B．a＝0，b＝﹣3C．a＝3，b＝﹣3D．a＝3，b不存在變式1．（2022·上海七年級期中）代數式，當時，可化簡為______；若代數式的最大值為與最小值為，則的值______．例2.（2022·湖北十堰·七年級期中）設﹣1≤x≤3，則|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值與最小值之和為__．變式2．（2022·湖北武漢·七年級期中）我們知道，的幾何意義是數軸上表示數a的點與原點的距離，一般地，點A，B在數軸上分別表示數a，b，那么A，B之間的距離可表示為|a-b|，請根據絕對值的幾何意義并結合數軸解答下列問題：（1）數軸上的數x與1所對應的點的距離為__，數x與-1所對應的點的距離為__；（2）求的最大值；（3）直接寫出的最大值為______．題型3.多個絕對值的和的最值【解題技巧】最小值規律：①當有兩個絕對值相加：若已知，的最小值為，且數的點在數，的點的中間；②當有三個絕對值相加：若已知，的最小值為，且數的點與數的點重合；③當有（奇數）個絕對值相加：，且，則取中間數，即當時，取得最小值為；④當有（偶數）個絕對值相加：，且，則取中間段，即當時，取得最小值為。例1.（2022·天津初一月考）若是有理數，則的最小值是________．變式1．（2022?武侯區校級月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值為，此時x的取值為．例2.（2022·北京市第四十四中學七年級期中）閱讀下面一段文字：在數軸上點A，B分別表示數a，b．A，B兩點間的距離可以用符號表示，利用有理數減法和絕對值可以計算A，B兩點之間的距離．例如：當a＝2，b＝5時，＝5－2＝3；當a＝2，b＝－5時，＝＝7；當a＝－2，b＝－5時，＝＝3，綜合上述過程，發現點A、B之間的距離＝（也可以表示為）．請你根據上述材料，探究回答下列問題：（1）表示數a和－2的兩點間距離是6，則a＝；（2）如果數軸上表示數a的點位于－4和3之間，則＝（3）代數式的最小值是．（4）如圖，若點A，B，C，D在數軸上表示的有理數分別為a，b，c，d，則式子的最小值為（用含有a，b，c，d的式子表示結果）變式2.（2022?龍泉驛區期中）我們知道，在數軸上，|a|表示數a到原點的距離．進一步地，點A，B在數軸上分別表示有理數a，b，那么A，B兩點之間的距離就表示為|a﹣b|；反過來，|a﹣b|也就表示A，B兩點之間的距離．下面，我們將利用這兩種語言的互化，再輔助以圖形語言解決問題．例，若|x+5|＝2，那么x為：①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．文字語言：數軸上什么數到﹣5的距離等于2．②圖形語言：③答案：x為﹣7和﹣3．請你模仿上題的①②③，完成下列各題：（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；①文字語言：②圖形語言：③答案：（2）|x﹣3|﹣|x|＝2時，求x的值：①文字語言：②圖形語言：③答案：（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范圍：①文字語言：②圖形語言：③答案：（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．①文字語言：②圖形語言：③答案：課后專項訓練：1．（2021·湖北武漢·七年級階段練習）式子|x﹣3|+|x+4|有最小值，其最小值是___．1．（2021·安徽蕪湖·七年級期中）觀察下列每對數在數軸上的對應點間的距離,3與5,4與﹣2,﹣4與3,﹣1與﹣5.并回答下列各題:(1)數軸上表示4和﹣2兩點間的距離是;表示﹣1和﹣5兩點間的距離是.(2)若數軸上的點A表示的數為x,點B表示的數為﹣3.①數軸上A、B兩點間的距離可以表示為(用含x的代數式表示);②如果數軸上A、B兩點間的距離為|AB|=1,求x的值.(3)直接寫出代數式的最小值為.3．（2022·山東·濟南市七賢中學七年級階段練習）閱讀下列材料并解決有關問題：我們知道|x|＝，現在我們可以用這個結論來化簡含有絕對值的代數式，如化簡代數式|x+1|+|x﹣2|時，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1，x＝2（稱﹣1，2分別叫做|x+1|與|x﹣2|的零點值．）在有理數范圍內，零點值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數分成不重復且不遺漏的如下3種情況：（1）當x＜﹣1時，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；（2）當﹣1≤x≤2時，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；（3）當x＞2時，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．綜上所述，原式＝．通過以上閱讀，請你解決以下問題：（1）分別求出|x+2|和|x﹣4|的零點值；（2）化簡代數式|x+2|+|x﹣4|；（3）求方程：|x+2|+|x﹣4|＝6的整數解；（4）|x+2|+|x﹣4|是否有最小值？如果有，請直接寫出最小值；如果沒有，請說明理由．4．（2022·四川·九年級專題練習）我國著名數學家華羅庚說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微”；數形結合是解決數學問題的重要思想方法．例如，代數式的幾何意義是數軸上所對應的點與2所對應的點之間的距離；因為，所以的幾何意義就是數軸上所對應的點與所對應的點之間的距離．發現問題：代數式的最小值是多少？探究問題：如圖，點分別表示的是，2，，．∵的幾何意義是線段與的長度之和，∴當點在線段上時，；當點在點的左側或點的右側時，∴的最小值是3．解決問題：(1)的最小值是；(2)利用上述思想方法解不等式：(3)當為何值時，代數式的最小值是2．5．（2022·河北唐山·七年級期末）閱讀下面的材料：我們知道，在數軸上，表示有理數a對應的點到原點的距離，同樣的道理，表示有理數a對應的點到有理數2對應的點的距離，例如，，表示數軸上有理數5對應的點到有理數2對應的點的距離是3．請根據上面的材料解答下列問題：(1)數軸上有理數對應的點到有理數3對應的點的距離是_______；(2)表示有理數a對應的點與有理數_______對應的點的距離；如果，那么有理數a的值是_______；(3)如果，那么有理數a的值是_______．(4)代數式的最小值是_________，此時有理數a可取的整數值有______個．6．（2022·四川·石室初中七年級階段練習）閱讀下面材料：點、在數軸上分別表示實數、，、兩點之間的距離表示為，當、兩點中有一點在原點時，不妨設在原點，如圖1，，當、兩點都不在原點時，①如圖2，點、都在原點的右邊；②如圖3，點、都在原點的左邊，③如圖4，點、在原點的兩邊，；綜上，數軸上、兩點之間的距離．回答下列問題：（1）數軸上表示和的兩點之間的距離是_____，數軸上表示和的兩點和之間的距離是______，如果，那么為______．（2）若表示一個有理數，則當在什么范圍內時，有最小值？請寫出的范圍及的最小值．（3）若表示一個有理數，則當在什么范圍內時，有最小值？請寫出的范圍及的最小值．圖1圖2圖3圖47．（2022·吉林省第二實驗學校七年級階段練習）數軸上表示數的點與原點的距離叫做數的絕對值，記作．數軸上表示數的點與表示數的點的距離記作．如表示數軸表示數3的點與表示數5的點的距離，表示數軸上表示數3的點與表示數的點的距離，表示數軸上表示數的點與表示數的點的距離，表示數軸上表示數的點與表示數3的點的距離．根據以上材料回答下列問題：（將結果直接填寫在答題卡相應位置，不寫過程）（1）若，則______，若，則______；（2）若，則能取到的最小值是______，最大值是______；（3）若，則能取到的最大值是______；（4）關于的式子的取值范圍是______．8．（2022·四川·雅安中學七年級期中）閱讀下面材料并解決有關問題：我們知道：|x|＝，現在我們可以用這一結論來化簡含有絕對值的代數式，如化簡代數式|x+1|+|x﹣2|時，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1，x＝2（稱﹣1，2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點值）．在實數范圍內，零點值x＝﹣1和x＝2可將全體實數分成不重復且不遺漏的如下3種情況：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．從而化簡代數式|x+1|+|x﹣2|可分以下3種情況：①當x＜﹣1時，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②當﹣1≤x＜2時，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③當x≥2時，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1；綜上討論，原式＝通過以上閱讀，請你解決以下問題：（1）當x＜2時，|x﹣2|＝；（2）根據材料中的方法化簡代數式|x+2|+|x﹣4|；（寫出解答過程）（3）直接寫出|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．9．（2022·重慶梁平·七年級期末）結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：(1)數軸上表示6和2的兩點之間的距離為______；表示－1和2兩點之間的距離為______；一般地，數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于，如果表示數a和－1的兩點之間的距離是3，那么a＝______．(2)若數軸上表示數a的點位于－5與3之間，求的值；(3)當x＝______時，的值最小，最小值為______．10．（2022·浙江杭州·七年級期末）點A、B在數軸上分別表示實數a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A、B兩點之間的距離．利用數軸，根據數形結合思想，回答下列問題：（1）數軸上表示2和6兩點之間的距離是_______，數軸上表示1和-2的兩點之間的距離為______；（2）數軸上表示x和1兩點之間的距離為________，數軸上表示x和-3兩點之同的距離為____．（3）的最小值為_______．的最小值為_____．（4）的最大值為_______．11．（2022·全國·七年級課時練習）的最小值是（

）A．1 B．1010 C．1021110 D．202012．（2022·四川·成都七中萬達學校七年級階段練習）（1）閱讀下面材料：點A、B在數軸上分別表示實數a，b，A、B兩點之間的距離表示為|AB|，當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖甲，|AB|﹣|OB|＝|b|＝|a﹣b|；當A、B兩點都不在原點時，①如圖乙，點A、B都在原點的右邊，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如圖丙，點A、B都在原點的左邊，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如圖丁，點A、B在原點的兩邊，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．綜上，數軸上A、B兩點之間的距離|AB|＝|a﹣b|．（2）回答下列問題：①數軸上表示2和﹣5的兩點之間的距離是，數軸上表示x和﹣1的兩點分別是點A和B，則A，B之間的距離是，如果|AB|＝2，那么x＝．②當|x+1|+|x﹣2|取最小值時，令T＝|x2﹣3|﹣2，則T的最大值＝；當|x+1|﹣|x﹣2|取最大值時，x的取值范圍為；當|x+1|+|x﹣2|＝5時，x的值為．③求代數式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|的最小值．13．（2022·四川·渠縣第三中學七年級期中）認真閱讀下面的材料，完成有關問題：材料：在學習絕對值時，老師教過我們絕對值的幾何含義，如|5-3|表示5、3在數軸上對應的兩點之間的距離，|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5、-3在數軸上對應的兩點之間的距離，|5|=|5-0|，所以|5|表示5在數軸上對應的點到原點的距離，一般地，點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，那么A、B之間的距離可表示為|a-b|．（1）點A、B、C在數軸上分別表示有理數x、-2、1，那么A到B的距高與A到C的距離之和可表示為________．（用含絕對值的式子表示）（2）利用數軸探究：①找出滿足|x-3|+|x+1|=6的x的所有值是_______．②設|x-3|+|x+1|=p，當x的値取在不小-1且不大于3的范圍時，P的值是不變的，而且是p的最小，這個最小值是_______，當x的值取在_______的范圍時，|x|+|x-2|取得最小值，這個最小值是_______（3）求|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值為______，此時x的值為_______．（4）求|x-1|+|x-2|+|x-3|+．．．．．．+|x-2019|的最小值，并求此時x的取值范國（要求寫解答過程）14．（2022·福建·晉江市七年級期中）數軸上表示數的點與原點的距離叫做數的絕對值，記作．數軸上表示數的點與表示數的點距離記作，如表示數軸上表示數3的點與表示數5的點的距離，表示數軸上表示數3的點與表示數的點的距離，表示數軸上表示數的點與表示數3的點的距離．根據以上材料回答一列問題：(1)若，則______．若，則_____．(2)若，則能取到的最小值是______，最大值是______．(3)當，求的最大值和最小值．15．（2022·北京平谷·七年級期末）閱讀完成問題：數軸上，已知點A、B、C．其中，C為線段AB的中點：(1)如圖，點A表示的數為-1，點B表示的數為3，則線段AB的長為，C點表示的數為;（2）若點A表示的數為-1，C點表示的數為2，則點B表示的數為;（3）若點A表示的數為t，點B表示的為t+2，則線段AB的長為,若C點表示的數為2，則t=;（4）點A表示的數為，點B表示的為，C點位置在-2至3之間（包括邊界點），若C點表示的數為，則++的最小值為,++的最大值為.專題2.絕對值化簡問題絕對值化簡分為已知范圍的絕對值化簡與無范圍的絕對值化簡兩類，屬于重點題型，考卷中會經常出現它的身影，且易錯，屬于必掌握類型。希望通過本專題讓大家熟練掌握這兩類壓軸題。題型1.已知范圍的絕對值化簡【解題技巧】已知范圍的絕對值化簡步驟：①判斷絕對值符號里式子的正負；兩數相減：大的數-小的數＞0，轉化到數軸上：右-左＞0；小的數-大的數＜0，轉化到數軸上：左-右＜0.兩數相加：正數＋正數＞0，轉化到數軸上：原點右側兩數相加＞0；負數＋負數＜，轉化到數軸上：原點左側兩數相加＜0；正數＋負數：取絕對值較大數的符號，轉化到數軸上：原點兩側兩數相加，取離原點遠的符號.②將絕對值符號改為小括號：若正數，絕對值前的正負號不變（即本身）；若負數，絕對值前的正負號改變（即相反數）.③去括號：括號前是“＋”，去括號，括號內不變；括號前是“－”，去括號，括號內各項要變號.④化簡.例1.（2022·湖南長沙·七年級期末）有理數a、b、c在數軸上位置如圖，則的值為（

）．A． B． C．0 D．變式2.（2022·河南周口·七年級期末）有理數，在數軸上對應的位置如圖所示，那么代數式的值是(

)A．-1 B．1 C．3 D．-3例2.（2021·長郡集團郡維學校初一月考）如果++=-1，那么+++的值為（）A． B． C．0 D．不確定變式2．（2022·內蒙古赤峰·七年級期中）、、是有理數且，則的值是（

）A． B．3或 C．1 D．或1題型2.未知范圍的絕對值化簡【解題技巧】絕對值的性質：①正數的絕對值是它本身，即；②0的絕對值是0，即；③負數的絕對值是它的相反數，即；④絕對值具有非負性，即。例1.（2022?新都區校級月考）已知x為有理數，且|x﹣3|＝2x+3，則x的值為．變式1．（2022·河北·七年級期中）若a、b、c是有理數，|a|＝3，|b|＝10，|c|＝5，且a，b異號，b，c同號，求a﹣b﹣（﹣c）的值．變式2．（2021·江蘇·九年級）已知，求．例2.（2022·福建福州·七年級期末）閱讀材料：我們把絕對值符號內含有未知數的方程叫做“含有絕對值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有絕對值的方程．怎樣求含有絕對值的方程的解呢？基本思路是：含有絕對值的方程→不含有絕對值的方程．我們知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我們只要把2x﹣1看成一個整體就可以根據絕對值的意義進一步解決問題．解：根據絕對值的意義，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．解這兩個一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．根據以上材料解決下列問題：(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．變式3．（2022·湖北咸寧·七年級期末）閱讀下列材料，回答問題：“數形結合”的思想是數學中一種重要的思想．例如：在我們學習數軸的時候，數軸上任意兩點，A表示的數為a，B表示的數為b，則A，B兩點的距離可用式子（表示，例如：5和的距離可用或表示．(1)【知識應用】我們解方程時，可用把看作一個點x到5的距離，則該方程可看作在數軸上找一點P（P表示的數為x）與5的距離為2，所以該方程的解為或所以，方程的解為___（直接寫答案，不離過程）．(2)【知識拓展】我們在解方，可以設A表示數5，B表示數，P表示數x，該方程可以看作在數軸上找一點P使得，因為，所以由可知，P在線段AB上都可，所以該方程有無數解，x的取值范圍是．類似的，方程的___（填“唯一”或“不唯一”），x的取值是___，（“唯一”填x的值，“不唯一”填x的取值范圍）；(3)【拓展應用】解方程課后專項訓練：1．（2021·成都市泡桐樹中學七年級期中）點A，B在數軸上分別表示有理數a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A、B兩點之間的距離，若x是一個有理數，且，則__________．2．（2022·四川廣元·七年級期末）已知有理數a、b在數軸上表示的點如圖所示，化簡|b﹣a|﹣|a+2b|+|﹣a﹣b|＝（）A．a B．﹣a﹣4b C．3a+2b D．a﹣2b3．（2021·湖北黃岡·七年級期中）有理數a、b、c在數軸上的位置如圖所示，則|c﹣a|+|a+b|+|b﹣c|＝（）A．2a B．﹣2b C．2c D．2b4．（2022·廣東河源·七年級期末）有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示，若m＝|a＋b|﹣|b﹣1|﹣|a﹣c|，則m＝____．5．（2021·河南安陽·七年級期中）已知：是最小的正整數，且、滿足，請回答問題：(1)請直接寫出、、的值：__________，__________，__________；(2)點為一動點，其對應的數為，點在0到2之間運動時（即時），請化簡式子：（請寫出化簡過程）．6．（2021·廣東·深圳市高級中學七年級期末）如圖，已知a、b、c在數軸上的位置．（1）a+b0，abc0，0．填（“＞”或“＜”）（2）如果a、c互為相反數，求＝．（3）化簡：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．7．（2021·廣東·廣州市真光中學七年級期中）如圖，點A和B表示的數分別為a和b，若c是絕對值最小的數，d是最大的負整數．（1）在數軸上表示c＝，d＝．（2）若|x+3|＝2，則x的值是多少？（3）若﹣1＜x＜0，化簡：|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|．8．（2022·四川成都·七年級期末）有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示，則|a+c|-|a-b|+|b+c|=__________．9．（2021·河北省衡水中學初一期中）有理數a，b在數軸上對應的位置如圖所示，那么代數式的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．210．（2022·上海楊浦·期中）若a，b各表示一個有理數，且，則算式的可能值有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．（2022·山東日照·七年級期末）有理數a，b，c在數軸上對應的點的位置如圖所示，其中，則下列各式：①；②；③；④，正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個12．（2022·全國·七年級）如圖，點A、B、C在數軸上表示的數分別為a、b、c，且OA+OB＝OC，則下列結論中，①abc＜0；②a（b+c）＞0；③a﹣c＝b；④．其中正確的是___.（填序號）13．（2021·四川成都·七年級期中）a，b，c在數軸上的位置如圖所示：(1)求_______(2)、、c在數軸上的位置如圖所示，則：化簡：；(3)求的最大值，并求出此時x的范圍．14．（2022·全國·七年級）請利用絕對值的性質，解決下面問題：(1)已知a，b是有理數，當a＞0時，則＝_______；當b＜0時，則＝_______．(2)已知a，b，c是有理數，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．(3)已知a，b，c是有理數，當abc≠0時，求的值．15.（2021·安徽安慶市·七年級期末）“分類討論”是一種重要數學思想方法，下面是運用分類討論的數學思想解決問題的過程，請仔細閱讀，并解答題目后提出的四個問題．例：三個有理數，，滿足，求的值．解：由題意得，，，三個有理數都為正數或其中一個為正數，另兩個為負數．①當，，都是正數，即，，時，則：，②當，，有一個為正數，另兩個為負數時，設，，，則：．綜上，的值為3或-1．請根據上面的解題思路解答下面的問題：（1）已知，，且，求的值；（2）已知，是有理數，當時，求的值．（3）已知，，是有理數，，，求．16．（2021·長郡集團郡維學校初一月考）如果++=-1，那么+++的值為（）A． B． C．0 D．不確定17．（2021·山西晉中·七年級期中）閱讀材料：數軸是學習有理數的一種重要工具，任何有理數都可以用數軸上的點表示，這樣能夠運用數形結合的思想解決一些問題例如：數軸上表示5的點與表示2的點之間的距離為|5﹣2|＝3，數軸上表示5的點與表示﹣2的點之間的距離為|5﹣（﹣2）|＝7[理解]（1）如圖，在數軸上，點A表示的數是，點B表示的數是，A，B兩點之間的距離．（2）|﹣8﹣（﹣6）|＝2，它在數軸上的意義為表示的點與表示的點之間的距離為2[歸納]（3）在數軸上，點A表示有理數a，點B表示有理數b，則A，B兩點之間的距離可表示為．[應用]（4）若|x﹣2|＋|x＋4|＝10，則滿足條件的x的值為．18．（2021·河南·開封市祥符區集慧初級中學七年級期中）當|a|＝5，|b|＝7，且|a＋b|＝﹣（a＋b），則a＋b的值為（

）A．﹣12 B．﹣2或﹣12 C．2或﹣12 D．﹣2專題02絕對值壓軸題（最值與化簡）專項講練專題1.最值問題最值問題一直都是初中數學中的最難點，但也是高分的必須突破點，需要牢記絕對值中的最值情況規律，解題時能達到事半功倍的效果。題型1.兩個絕對值的和的最值【解題技巧】目的是在數軸上找一點x，使x到a和b的距離和的最小值：分類情況（的取值范圍）圖示取值情況當時無法確定當時的值為定值，即為當無法確定結論：式子在時，取得最小值為。例1.（2021·珠海市初三二模）閱讀下面材料：數軸是數形結合思想的產物．有了數軸以后，可以用數軸上的點直觀地表示實數，這樣就建立起了“數”與“形”之間的聯系．在數軸上，若點，分別表示數，，則，兩點之間的距離為．反之，可以理解式子的幾何意義是數軸上表示實數與實數3兩點之間的距離．則當有最小值時，的取值范圍是（）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】根據題意將可以理解為數軸上表示實數x與實數-2的距離，實數x與實數5的距離，兩者的和，分三種情況分別化簡，根據解答即可得到答案.【解析】方法一：代數法（借助零點分類討論）當x<-2時，=（-2-x）+（5-x）=3-2x；當時，=（x+2）+（5-x）=7；當x>5時，=（x+2）+（x-5）=2x-3；∴有最小值，最小值為7，此時，故選：D.方法二：幾何法（根據絕對值的幾何意義）可以理解為數軸上表示實數x與實數-2的距離，實數x與實數5的距離，兩者的和，通過數軸分析反現當時，有最小值，最小值為7。【點睛】此題考查依據絕對值的性質化簡絕對值，正確理解題意，得到表示的意義，再利用分類思想解答問題.變式1．（2022·江蘇蘇州·七年級階段練習）同學們都知道，|5－（－2）|表示5與－2之差的絕對值，實際上也可理解為5與－2兩數在數軸上所對的兩點之間的距離．試探索：（1）求|5－（－2）|＝_______．（2）找出所有符合條件的整數x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7這樣的負整數是_____________．（3）由以上探索猜想對于任何有理數x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有寫出最小值，如果沒有說明理由．【答案】（1）7；（2）﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（3）最小值是3【分析】（1）根據題目中的式子和絕對值可以解答本題；（2）分別討論當x＞2時，當﹣5≤x≤2時，當x＜﹣5時去絕對值進行求解即可；（3）同（2）利用分類討論的思想進行求解即可．【詳解】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7．故答案為：7；（2）當x＞2時，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得：x＝2與x＞2矛盾，故此種情況不存在；當﹣5≤x≤2時，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，故﹣5≤x≤2時，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，故使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整數是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；當x＜﹣5時，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x+3＝7，得x＝﹣5與x＜﹣5矛盾，故此種情況不存在．故答案為：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（3）|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．理由如下：當x＞6時，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3；當3≤x≤6時，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3；當x＜3時，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3．故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．【點睛】本題考查了數軸、絕對值，解答本題的關鍵是明確數軸的特點和絕對值，利用數軸和分類討論的數學思想解答．例2.（2022·河南·鄭州外國語中學七年級期末）數軸是一個非常重要的數學工具，它使數和數軸上的點建立起對應關系，揭示了數與點之間的內在聯系，它是“數形結合”的基礎．例如：從“形”的角度看：可以理解為數軸上表示3和1的兩點之間的距離；可以理解為數軸上表示3與﹣1的兩點之間的距離．從“數”的角度看：數軸上表示4和﹣3的兩點之間的距離可用代數式表示為：4-（-3）．根據以上閱讀材料探索下列問題：(1)數軸上表示3和9的兩點之間的距離是；數軸上表示2和﹣5的兩點之間的距離是；（直接寫出最終結果）(2)①若數軸上表示的數x和﹣2的兩點之間的距離是4，則x的值為；②若x為數軸上某動點表示的數，則式子的最小值為．【答案】(1)6，7；(2)①－6或2；②4【分析】（1）直接根據數軸上兩點之間的距離求解即可；（2）①根據數軸上兩點之間的距離公式列絕對值方程，然后解方程即可；②由于所給式子表示x到－1和3的距離之和，當x在－1和3之間時和最小，故只需求出－1和3的距離即可．(1)解：數軸上表示3和9的兩點之間的距離是｜9－3｜=6，數軸上表示2和﹣5的兩點之間的距離是｜2－（－5）｜=7，故答案為：6，7；(2)解：①根據題意，得：｜x－(－2)｜=4，∴｜x+2｜=4，∴x+2=－4或x+2=4，解得：x=－6或x=2，故答案為：－6或2；②∵表示x到－1和3的距離之和，∴當x在－1和3之間時距離和最小，最小值為｜－1－3｜=4，故答案為：4．【點睛】本題考查數軸上兩點之間距離，會靈活運用數軸上兩點之間的距離解決問題是解答的關鍵．變式2.（2022?思明區校級期末）同學們都知道|5﹣（﹣2）|表示5與（﹣2）之差的絕對值，也可理解為5與﹣2兩數在數軸上所對的兩點之間的距離，試探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝．（2）找出所有符合條件的整數x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整數是．（3）由以上探索猜想，對于任何有理數x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．【分析】（1）直接去括號，再按照去絕對值的方法去絕對值就可以了．（2）要x的整數值可以進行分段計算，令x+5＝0或x﹣2＝0時，分為3段進行計算，最后確定x的值．（3）根據（2）方法去絕對值，分為3種情況去絕對值符號，計算三種不同情況的值，最后討論得出最小值．【解答】解：（1）原式＝|5+2|＝7故答案為：7；（2）令x+5＝0或x﹣2＝0時，則x＝﹣5或x＝2當x＜﹣5時，∴﹣（x+5）﹣（x﹣2）＝7，﹣x﹣5﹣x+2＝7，x＝5（范圍內不成立）當﹣5＜x＜2時，∴（x+5）﹣（x﹣2）＝7，x+5﹣x+2＝7，7＝7，∴x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1當x＞2時，∴（x+5）+（x﹣2）＝7，x+5+x﹣2＝7，2x＝4，x＝2，x＝2（范圍內不成立）∴綜上所述，符合條件的整數x有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；故答案為：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（3）由（2）的探索猜想，對于任何有理數x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值為3．【點評】本題主要考查了去絕對值和數軸相聯系的綜合試題以及去絕對值的方法和去絕對值在數軸上的運用，難度較大，去絕對值的關鍵是確定絕對值里面的數的正負性．題型2.兩個絕對值的差的最值【解題技巧】目的是在數軸上找一點x，使x到a和b的距離差的最大值和最小值：分類情況（的取值范圍）圖示取值情況當時的值為定值，即為—當時當的值為定值，即為結論：式子在時，取得最小值為；在時，取得最大值。例1.（2022·浙江·溫州七年級開學考試）代數式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值為a，最小值為b，下列說法正確的是（）A．a＝3，b＝0B．a＝0，b＝﹣3C．a＝3，b＝﹣3D．a＝3，b不存在【答案】C【分析】分三種情況：當x≥1時；當-2＜x＜1時；當x≤-2時；進行討論可求代數式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a與b的值．【詳解】解：當x≥1時，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；當﹣2＜x＜1時，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；當x≤﹣2時，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3．∵代數式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值為a，最小值為b，∴a＝3，b＝﹣3．故選：C．【點睛】考查了絕對值，如果用字母a表示有理數，則數a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當a是正有理數時，a的絕對值是它本身a；②當a是負有理數時，a的絕對值是它的相反數-a；③當a是零時，a的絕對值是零．注意分類思想的運用．變式1．（2022·上海七年級期中）代數式，當時，可化簡為______；若代數式的最大值為與最小值為，則的值______．【答案】

3

-9【分析】當時，可得x-1＜0，x+2＜0，利用絕對值的性質即可化簡，分別化簡當時以及當x＞1時，根據當時，，求出a，b即可．【詳解】解：當時，x-1＜0，x+2＜0，∴，當時，，當x＞1時，∵當時，，∴代數式的最大值為3，最小值為-3，∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案為：3，-9．【點睛】本題主要考查了絕對值的化簡，解題的關鍵是對x進行分類討論，再化簡代數式．例2.（2022·湖北十堰·七年級期中）設﹣1≤x≤3，則|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值與最小值之和為__．【答案】8.5．【分析】先根據-1≤x≤3，確定x-3與x+2的符號，再對x的符號進行討論即可．【詳解】∵﹣1≤x≤3，當﹣1≤x≤0時，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x+x+x+2＝+5，最大值為5，最小值為4.5；當0≤x≤3時，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x﹣x+x+2＝﹣+5，最大值為5，最小值為3.5，∴最大值與最小值之和為8.5；故答案為：8.5．【點睛】本題考查絕對值的化簡，掌握求絕對值的法則以及分類討論的思想方法，是解題的關鍵．變式2．（2022·湖北武漢·七年級期中）我們知道，的幾何意義是數軸上表示數a的點與原點的距離，一般地，點A，B在數軸上分別表示數a，b，那么A，B之間的距離可表示為|a-b|，請根據絕對值的幾何意義并結合數軸解答下列問題：（1）數軸上的數x與1所對應的點的距離為__，數x與-1所對應的點的距離為__；（2）求的最大值；（3）直接寫出的最大值為______．【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20【分析】（1）根據題意即可列式解答；（2）由x的取值范圍分三種情況：①當x≤-1時，②當-1≤x≤1時，③當x≥1時，分別化簡絕對值，再計算整式的值即可得到答案；（3）根據（2）得到規律，依次進行計算即可．【詳解】（1）由題意得到：數軸上的數x與1所對應的點的距離為，數x與-1所對應的點的距離為，故答案為：，；（2）表示x到1之間的距離，表示x到-1之間的距離，①當x≤-1時，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2；②當-1≤x≤1時，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2；③當x≥1時，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值為2（3）由（2）知：的最大值為2，由此可得：的最大值為4，的最大值是6，的最大值是8，∴的最大值是2+4+6+8=20【點睛】此題考查有理數的計算，絕對值的性質，數軸上兩點間的距離公式．題型3.多個絕對值的和的最值【解題技巧】最小值規律：①當有兩個絕對值相加：若已知，的最小值為，且數的點在數，的點的中間；②當有三個絕對值相加：若已知，的最小值為，且數的點與數的點重合；③當有（奇數）個絕對值相加：，且，則取中間數，即當時，取得最小值為；④當有（偶數）個絕對值相加：，且，則取中間段，即當時，取得最小值為。例1.（2022·天津初一月考）若是有理數，則的最小值是________．【答案】509040【分析】首先判斷出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|就是求數軸上某點到2、4、6、…、2018的距離和的最小值；然后根據某點在a、b兩點之間時，該點到a、b的距離和最小，當點x在2與2018之間時，到2和2018距離和最小；當點在4與2016之間時，到4和2016距離和最小；…，所以當x=1010之間時，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，據此求出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|最小值是多少即可．【解析】根據絕對值得幾何意義分析，知當x=1010時，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，最小值是：（2018﹣2）+（2016﹣4）+（2014﹣6）+…+（1010-1010）＝2016+2012+2008+…+0＝（2016+0）×505÷2＝2016×505÷2＝509040∴|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|的最小值是509040．【點睛】此題主要考查了絕對值的幾何意義：|x|表示數軸上表示x的點到原點之間的距離，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：|x-a|表示數軸上表示x的點到表示a的點之間的距離．變式1．（2022?武侯區校級月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值為，此時x的取值為．解：原式可轉化為在數軸上找一個點到1，2，3，…，2014對應的點的距離和最小，故當1007≤x≤1008時，距離和最小，可取x＝1007，則此時距離和為：1006+1005+1004+…+0+1+2+…+1006+1007＝2×（1+2+3+…+1006）+1007＝1014049，即原式的最小值為1014049；當x＝1008時，最小值也為1014049，故1007≤x≤1008．例2.（2022·北京市第四十四中學七年級期中）閱讀下面一段文字：在數軸上點A，B分別表示數a，b．A，B兩點間的距離可以用符號表示，利用有理數減法和絕對值可以計算A，B兩點之間的距離．例如：當a＝2，b＝5時，＝5－2＝3；當a＝2，b＝－5時，＝＝7；當a＝－2，b＝－5時，＝＝3，綜合上述過程，發現點A、B之間的距離＝（也可以表示為）．請你根據上述材料，探究回答下列問題：（1）表示數a和－2的兩點間距離是6，則a＝；（2）如果數軸上表示數a的點位于－4和3之間，則＝（3）代數式的最小值是．（4）如圖，若點A，B，C，D在數軸上表示的有理數分別為a，b，c，d，則式子的最小值為（用含有a，b，c，d的式子表示結果）【答案】（1）4和-8；（2）7；（3）2；（4）【分析】（1）根據題意可得：，解出即可求解；（2）根據題意可得：，從而得到，進而得到＝a＋4，＝3－a，即可求解；（3）根據題意可得：當a＝2時，代數式存在最小值，化簡即可求解；（4）根據題意可得：原式表示對應點到對應的點的距離之和，從而得到當時，有最小值，即可求解．【詳解】解：（1）根據題意得：，∴或，解得：或-8；（2）∵表示數a的點位于－4和3之間，∴，∴，∴＝a＋4，＝3－a，∴＝a＋4＋3－a＝7；（3）當a＝2時，代數式存在最小值，∴＝1＋0＋1＝2.所以，最小值是2；（4）根據題意得：，∴原式表示對應點到對應的點的距離之和，如圖所示，∴當時，有最小值，∴原式．【點睛】本題主要考查了絕對值得幾何意義，數軸上兩點間的距離，利用數形結合思想解答是解題的關鍵．變式2.（2022?龍泉驛區期中）我們知道，在數軸上，|a|表示數a到原點的距離．進一步地，點A，B在數軸上分別表示有理數a，b，那么A，B兩點之間的距離就表示為|a﹣b|；反過來，|a﹣b|也就表示A，B兩點之間的距離．下面，我們將利用這兩種語言的互化，再輔助以圖形語言解決問題．例，若|x+5|＝2，那么x為：①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．文字語言：數軸上什么數到﹣5的距離等于2．②圖形語言：③答案：x為﹣7和﹣3．請你模仿上題的①②③，完成下列各題：（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；①文字語言：②圖形語言：③答案：（2）|x﹣3|﹣|x|＝2時，求x的值：①文字語言：②圖形語言：③答案：（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范圍：①文字語言：②圖形語言：③答案：（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．①文字語言：②圖形語言：③答案：【分析】運用數形結合思想：圖一圖二圖三圖四【解答】解：（1）文字語言：數軸上什么數到﹣4的距離等于到2的距離．圖形語言：答案：x＝﹣1．（2）文字語言：數軸上什么數到3的距離比到原點（0）的距離大2．圖形語言：答案：x=12（3）文字語言：數軸上什么數到1的距離和它到3的距離大于4．圖形語言：答案：x＞4，x＜0．（4）文字語言：數軸上什么數到1，2，3，4，5距離之和最小值．圖形語言：答案：6．【點評】本題主要考查了絕對值的性質以及利用數形結合求解問題．課后專項訓練：1．（2021·湖北武漢·七年級階段練習）式子|x﹣3|+|x+4|有最小值，其最小值是___．【答案】7【分析】|x﹣3|+|x+4|表示在數軸上表示數x的點到表示數3與表示數﹣4的距離之和，因此當x在3與﹣4之間時，這個距離之和最小，最小值為3與﹣4之間的距離7．【詳解】解：|x﹣3|+|x+4|表示在數軸上表示數x的點到表示數3的點與表示數﹣4的點的距離之和，因此當﹣4≤x≤3時，這兩個距離之和就是表示數3的點與表示數﹣4的點之間的距離，為7，即：|x﹣3|+|x+4|＝7，當x＜﹣4或x＞3時，這兩個距離之和都會大于表示數3的點與表示數﹣4的點的距離，即：|x﹣3|+|x+4|＞7，∴當﹣4≤x≤3時，|x﹣3|+|x+4|有最小值，最小值是7．故答案為：7．【點睛】本題考查了絕對值的幾何意義．解題的關鍵是明確數軸表示數的意義和方法，理解數軸上兩點距離的計算方法是正確計算的前提．1．（2021·安徽蕪湖·七年級期中）觀察下列每對數在數軸上的對應點間的距離,3與5,4與﹣2,﹣4與3,﹣1與﹣5.并回答下列各題:(1)數軸上表示4和﹣2兩點間的距離是;表示﹣1和﹣5兩點間的距離是.(2)若數軸上的點A表示的數為x,點B表示的數為﹣3.①數軸上A、B兩點間的距離可以表示為(用含x的代數式表示);②如果數軸上A、B兩點間的距離為|AB|=1,求x的值.(3)直接寫出代數式的最小值為.【答案】（1）6

4

（2）①丨x+3丨

②-2或者-4

（3）5【分析】距離一定是個非負數．【詳解】（1）數軸上表示4和﹣2兩點間的距離是6；表示﹣1和﹣5兩點間的距離是4.（2）距離是個非負數，故值一定要加絕對值．令丨x-(-3)丨=1，解得：x=-2或者-4（3）當時，代數式的最小值為當時，代數式的最小值為5當時，代數式的最小值綜合以上，可知代數式的最小值為5.【點睛】本題考察數軸的相關知識和絕對值的運用．3．（2022·山東·濟南市七賢中學七年級階段練習）閱讀下列材料并解決有關問題：我們知道|x|＝，現在我們可以用這個結論來化簡含有絕對值的代數式，如化簡代數式|x+1|+|x﹣2|時，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1，x＝2（稱﹣1，2分別叫做|x+1|與|x﹣2|的零點值．）在有理數范圍內，零點值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數分成不重復且不遺漏的如下3種情況：（1）當x＜﹣1時，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；（2）當﹣1≤x≤2時，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；（3）當x＞2時，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．綜上所述，原式＝．通過以上閱讀，請你解決以下問題：（1）分別求出|x+2|和|x﹣4|的零點值；（2）化簡代數式|x+2|+|x﹣4|；（3）求方程：|x+2|+|x﹣4|＝6的整數解；（4）|x+2|+|x﹣4|是否有最小值？如果有，請直接寫出最小值；如果沒有，請說明理由．【答案】（1）﹣2，4分別為|x+2|和|x﹣4|的零點值；（2）當x＜﹣2時，﹣2x+2；當﹣2≤x＜4時，6；當x≥4時，2x﹣2；（3）整數解為：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4；（4）有，|x+2|+|x﹣4|的最小值是6．【分析】（1）根據題中所給材料，求出零點值；（2）將全體實數分成不重復且不遺漏的三種情況解答；（3）由|x+2|+|x-4|=6，得到-2≤x≤4，于是得到結果；（4）|x+2|+|x-4|有最小值，通過x的取值范圍即可得到結果．【詳解】（1）∵|x+2|和|x﹣4|的零點值，可令x+2＝0和x﹣4＝0，解得x＝﹣2和x＝4，∴﹣2，4分別為|x+2|和|x﹣4|的零點值．（2）當x＜﹣2時，|x+2|+|x﹣4|＝﹣2x+2；當﹣2≤x＜4時，|x+2|+|x﹣4|＝6；當x≥4時，|x+2|+|x﹣4|＝2x﹣2；（3）∵|x+2|+|x﹣4|＝6，∴﹣2≤x≤4，∴整數解為：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．（4）|x+2|+|x﹣4|有最小值，∵當x＝﹣2時，|x+2|+|x﹣4|＝6，當x＝4時，|x+2|+|x﹣4|＝6，∴|x+2|+|x﹣4|的最小值是6．【點睛】本題考查了絕對值，解題的關鍵是能根據材料所給信息，找到合適的方法解答．4．（2022·四川·九年級專題練習）我國著名數學家華羅庚說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微”；數形結合是解決數學問題的重要思想方法．例如，代數式的幾何意義是數軸上所對應的點與2所對應的點之間的距離；因為，所以的幾何意義就是數軸上所對應的點與所對應的點之間的距離．發現問題：代數式的最小值是多少？探究問題：如圖，點分別表示的是，2，，．∵的幾何意義是線段與的長度之和，∴當點在線段上時，；當點在點的左側或點的右側時，∴的最小值是3．解決問題：(1)的最小值是；(2)利用上述思想方法解不等式：(3)當為何值時，代數式的最小值是2．【答案】(1)6(2)或(3)或【分析】(1)根據絕對值的幾何意義，可知當x所對應的點在4和-2之間時有最小值，再結合數軸可求解．(2)根據絕對值的幾何意義，可知當x所對應的點在-3左邊或1右邊時成立，再結合數軸可求解．(3)設A表示-a，B表示3，P表示x，根據絕對值的幾何意義可知當P點在AB之間時有最小值，即AB的長，可先求出a的值，再結合數軸求出x的值．(1)設A表示的數為4，B表示的數為-2，P表示的數為x，∴表示數軸上的點P到4的距離，用線段PA表示，表示數軸上的點P到-2的距離，用線段PB表示，∴的幾何意義表示為PA+PB，當P在線段AB上時取得最小值為AB，且線段AB的長度為6，∴的最小值為6．故答案為：6．(2)設A表示-3，B表示1，P表示x，∴線段AB的長度為4，則，的幾何意義表示為PA+PB，∴不等式的幾何意義是PA+PB＞AB，∴P不能在線段AB上，應該在A的左側或者B的右側，即不等式的解集為或．故答案為：或．(3)設A表示-a，B表示3，P表示x，則線段AB的長度為，的幾何意義表示為PA+PB，當P在線段AB上時PA+PB取得最小值，∴∴或，即或；故答案為：或．【點睛】本題屬于一個閱讀型題目，主要考查了絕對值的幾何意義，結合數軸利用數形結合的方法解題是解題的關鍵．5．（2022·河北唐山·七年級期末）閱讀下面的材料：我們知道，在數軸上，表示有理數a對應的點到原點的距離，同樣的道理，表示有理數a對應的點到有理數2對應的點的距離，例如，，表示數軸上有理數5對應的點到有理數2對應的點的距離是3．請根據上面的材料解答下列問題：(1)數軸上有理數對應的點到有理數3對應的點的距離是_______；(2)表示有理數a對應的點與有理數_______對應的點的距離；如果，那么有理數a的值是_______；(3)如果，那么有理數a的值是_______．(4)代數式的最小值是_________，此時有理數a可取的整數值有______個．【答案】(1)12；(2)5，3或7；(3)0或7；(4)5，6．【分析】（1）根據題意可知，數軸上有理數對應的點到有理數3對應的點的距離是，計算即可；（2）根據題意進行解題即可；（3）式子代表的a對應的點到1的距離與到6的距離的和為7，找到對應的點即可；（4）代數式的最小值在數軸上1與6之間，最小值為5，符合條件的值有6個．(1)解：由題意得，=12，故答案為：12．(2)表示有理數a對應的點與有理數5對應的點的距離；，表示到5所對應的點距離為2的點，即為：3或7．故答案為：5；3或7．(3)表示：a對應的點到1的距離與到6的距離的和為7，從數軸上觀察得出a的值為：0或7，故答案為：0或7．(4)代數式表示的是a對應的點到1的距離與到6的距離的和，最小值為1到6的距離，最小值為5，符合條件的整數值在1到6之間，共6個．故答案為：5，6．【點睛】本題主要考查的數材料閱讀理解能力，考查知識點為絕對值的幾何意義，靈活運用其幾何意義是解題的關鍵．6．（2022·四川·石室初中七年級階段練習）閱讀下面材料：點、在數軸上分別表示實數、，、兩點之間的距離表示為，當、兩點中有一點在原點時，不妨設在原點，如圖1，，當、兩點都不在原點時，①如圖2，點、都在原點的右邊；②如圖3，點、都在原點的左邊，③如圖4，點、在原點的兩邊，；綜上，數軸上、兩點之間的距離．回答下列問題：（1）數軸上表示和的兩點之間的距離是_____，數軸上表示和的兩點和之間的距離是______，如果，那么為______．（2）若表示一個有理數，則當在什么范圍內時，有最小值？請寫出的范圍及的最小值．（3）若表示一個有理數，則當在什么范圍內時，有最小值？請寫出的范圍及的最小值．圖1圖2圖3圖4【答案】（1）；；或；（2）；；（3）；．【分析】（1）根據數軸上兩點間的距離=兩個數之差的絕對值，算出即可；（2）|x+1|+|x-3|的最小值，意思是x到-1的距離與到3的距離之和最小，那么x應在-1和2之間的線段上．（3）參考閱讀材料，寫出代數式表示的意義即可.【詳解】（1）數軸上表示和兩點之間的距離為數軸上表示和的兩點和之間的距離為，，故或，或．（2）代數式表示數軸上一點到，兩點的距離的和，可知有最小值為．（3）代數式表示到，兩點的距離，可知取值范圍，有最小值為．【點睛】本題主要考查了數軸和絕對值，掌握數軸上兩點間的距離=兩個數之差的絕對值．7．（2022·吉林省第二實驗學校七年級階段練習）數軸上表示數的點與原點的距離叫做數的絕對值，記作．數軸上表示數的點與表示數的點的距離記作．如表示數軸表示數3的點與表示數5的點的距離，表示數軸上表示數3的點與表示數的點的距離，表示數軸上表示數的點與表示數的點的距離，表示數軸上表示數的點與表示數3的點的距離．根據以上材料回答下列問題：（將結果直接填寫在答題卡相應位置，不寫過程）（1）若，則______，若，則______；（2）若，則能取到的最小值是______，最大值是______；（3）若，則能取到的最大值是______；（4）關于的式子的取值范圍是______．【答案】（1）0；；（2）；2；（3）；（4）．【分析】（1）根據絕對值的幾何意義和中點公式即可分別得出結論；（2）根據絕對值的幾何意義可得原等式表示數軸上表示的點到2和兩點距離和為3，再根據2到-1的距離恰為3即可得出結論；（3）根據絕對值的幾何意義分類討論，分別畫出數軸即可得出結論；（4）根據絕對值的幾何意義分類討論，分別畫出數軸即可得出結論．【詳解】解：（1）表示數軸上表示的點到表示1和的距離相等，∴．表示數軸上表示的點到表示2和距離相等∴故答案為：0；；（2）表示的意義是數軸上表示的點到2和兩點距離和為3．由2到-1的距離恰為3，可得，因此最大值為2，最小值為，故答案為：；2；（3）．表示意義是數軸上表示的點與表示2的點的距離比表示的點與表示的距離多3，當時，由數軸可得，此時符合題意，的最大值為；當-1＜x≤2時，由數軸可得，此時不符合題意；當x＞2時，由數軸可得，此時不符合題意；故答案為：；（4）表示的意義是數軸上表示的點到2和兩點距離和當時，由數軸可得，＞2－（-1）=3；當-1≤x≤2時，由數軸可得，=2－（-1）=3；當x＞2時，由數軸可得，＞2－（-1）=3；；綜上：當時，最小值為3．故答案為：．【點睛】此題考查的是絕對值與數軸，掌握絕對值的幾何意義是解決此題的關鍵．8．（2022·四川·雅安中學七年級期中）閱讀下面材料并解決有關問題：我們知道：|x|＝，現在我們可以用這一結論來化簡含有絕對值的代數式，如化簡代數式|x+1|+|x﹣2|時，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1，x＝2（稱﹣1，2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點值）．在實數范圍內，零點值x＝﹣1和x＝2可將全體實數分成不重復且不遺漏的如下3種情況：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．從而化簡代數式|x+1|+|x﹣2|可分以下3種情況：①當x＜﹣1時，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②當﹣1≤x＜2時，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③當x≥2時，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1；綜上討論，原式＝通過以上閱讀，請你解決以下問題：（1）當x＜2時，|x﹣2|＝；（2）根據材料中的方法化簡代數式|x+2|+|x﹣4|；（寫出解答過程）（3）直接寫出|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．【答案】（1）2-x；（2）；（3）2【分析】（1）根據題中材料，直接化簡即可得解；（2）根據題中所給材料，求出0點值，將全體實數分成不重復且不遺漏的三種情況解答．（3）分、、分別化簡，結合x的取值范圍確定代數式值的范圍，從而求出代數式的最大值.【詳解】（1）根據題意，得當x＜2時，|x﹣2|＝-（x﹣2）=2-x；（2）令求得當時，原式=；當時，原式=；當時，原式=；綜上討論，原式=（3）當時，原式=，當時，原式=，，當時，原式=，則|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值為2.【點睛】本題是一道材料分析題，要求同學們能根據材料所給信息，找到合適的方法解答．9．（2022·重慶梁平·七年級期末）結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：(1)數軸上表示6和2的兩點之間的距離為______；表示－1和2兩點之間的距離為______；一般地，數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于，如果表示數a和－1的兩點之間的距離是3，那么a＝______．(2)若數軸上表示數a的點位于－5與3之間，求的值；(3)當x＝______時，的值最小，最小值為______．【答案】(1)4，3，2或?4；(2)8；(3)0，9【分析】（1）根據絕對值的性質列式計算即可；（2）去絕對值即可求出答案；（3）根據絕對值的幾何意義分析得出x的值，進而計算即可．(1)解：數軸上表示6和2的兩點之間的距離為4；表示－1和2兩點之間的距離為3；∵表示數a和?1的兩點之間的距離是3，∴|a?（?1）|＝3，解得a＝2或?4，故答案為：4，3，2或?4；(2)∵表示數a的點位于－5與3之間，∴；(3)由絕對值的幾何意義可知：的值就是數軸上表示數x的點到0的距離與到－4的距離和到5的距離之和，∴當x＝0時，的值最小，最小值為9．【點睛】本題考查了絕對值的性質和絕對值的幾何意義，正確理解數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于是解題的關鍵．10．（2022·浙江杭州·七年級期末）點A、B在數軸上分別表示實數a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A、B兩點之間的距離．利用數軸，根據數形結合思想，回答下列問題：（1）數軸上表示2和6兩點之間的距離是_______，數軸上表示1和-2的兩點之間的距離為______；（2）數軸上表示x和1兩點之間的距離為________，數軸上表示x和-3兩點之同的距離為____．（3）的最小值為_______．的最小值為_____．（4）的最大值為_______．【答案】（1）4，3；（2）|x-1|,

|x+3|;（3）7,

10;（4）2【分析】（1）直接代入公式即可;（2）根據數軸上兩點間的距離公式計算即可；（3）可知x對應點在對應-3和4的點之間時|x+3|+|x-4|的值最小;當-2≤x≤1時，|x-1|+|x+2|+|x-3|+|x+4|值最小;（4）分3種情況討論，|x-1|-|x-3|的值最大.【詳解】解：（1）6﹣2=4,

1-(-2)=3所以,數軸上表示2和6兩點之間的距離是4,數軸上表示1和-2的兩點之間的距離為3；答案為:4,3;（2）根據兩點間距離公式可知:數軸上表示x和1兩點之間的距離為|x-1|,數軸上表示x和-3兩點之間的距離為|x+3|故答案為:|x-1|,|x+3|;(3)x+3=0,x-4=0,解得x=-3,x=4；當x＜-3時，|x+3|+|x-4|=-x-3-x+4=-2x+1＞7當-3≤x≤4時，|x+3|+|x-4|=x+3+4-x=7當x＞4時，|x+3|+|x-4|=x+3+x-4=2x-1＞7x對應點在點-4和3之間時的任意一點,|x-3|+|x+4|的最小值為7；同理,分5種情況說明：當x＜-4時，原式=-4x-2＞14當-4≤x＜-2時，原式=-2x+6,10≤原式≤14當-2≤x≤1時，原式=10,當1＜x≤3時，原式=2x+8,

10＜原式≤14當x＞3時，原式=4x+2＞14由此可得，當-2≤x≤1時原式值最小，最小值是10，∴當-2≤x≤1時，|x-1|+|x+2|十|x-3|+|x+4|的最小值為10,故答案為:7,10;(4)∵x-1=0,x-3=0∴x=1,或x=3∴當x≤1時，|x-1|-|x-3|=1-x-(3-x)=-2，當x≥3時，|x-1|-|x-3|=x-1-(x-3)=2當1＜x＜3時，|x-1|-|x-3|=x-1-(3-x)=2x-4,-2＜2x-4＜2∴當x≥3時，|x-1|-|x-3|最大，最大值是2故答案為:2【點睛】此題主要考查了絕對值、數軸等知識，用幾何方法借助數軸來求解，非常直觀，,體現了數形結合的優點.11．（2022·全國·七年級課時練習）的最小值是（

）A．1 B．1010 C．1021110 D．2020【答案】C【分析】x為數軸上的一點，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|表示：點x到數軸上的2021個點（1、2、3、…2021）的距離之和，進而分析得出最小值為：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|求出即可．【詳解】解：在數軸上，要使點x到兩定點的距離和最小，則x在兩點之間，最小值為兩定點為端點的線段長度（否則距離和大于該線段）；所以：當1≤x≤2021時，|x-1|+|x-2021|有最小值2020；當2≤x≤2020時，|x-2|+|x-2020|有最小值2018；…當x=1011時，|x-1011|有最小值0．綜上，當x=1011時，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能夠取到最小值，最小值為：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|=1010+1009+…+0+1+2+…+1010=1011×1010=1021110．故選：C．【點睛】本題考查了絕對值的性質以及利用數形結合求最值問題，利用已知得出x=1011時，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能夠取到最小值是解題關鍵．12．（2022·四川·成都七中萬達學校七年級階段練習）（1）閱讀下面材料：點A、B在數軸上分別表示實數a，b，A、B兩點之間的距離表示為|AB|，當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖甲，|AB|﹣|OB|＝|b|＝|a﹣b|；當A、B兩點都不在原點時，①如圖乙，點A、B都在原點的右邊，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如圖丙，點A、B都在原點的左邊，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如圖丁，點A、B在原點的兩邊，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．綜上，數軸上A、B兩點之間的距離|AB|＝|a﹣b|．（2）回答下列問題：①數軸上表示2和﹣5的兩點之間的距離是，數軸上表示x和﹣1的兩點分別是點A和B，則A，B之間的距離是，如果|AB|＝2，那么x＝．②當|x+1|+|x﹣2|取最小值時，令T＝|x2﹣3|﹣2，則T的最大值＝；當|x+1|﹣|x﹣2|取最大值時，x的取值范圍為；當|x+1|+|x﹣2|＝5時，x的值為．③求代數式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|的最小值．【答案】①7，|x+1|，﹣3或1；②﹣1，x2，﹣2或3；③90【分析】①根據兩點間的距離公式可求數軸上表示2和-5的兩點之間的距離，同理也求數軸上表示x和-1的兩點之間的距離，再根據兩點間的距離公式列出方程可求x；②求|x+1|+|x﹣2|的取最小值時，意思是x到-1的距離與到2的距離之和最小，那么x應在-1和2之間的線段上，x取0，因此T最大為1，當|x+1|+|x﹣2|取最大值以及|x+1|+|x﹣2|＝5時，可分x<-1，-1≤x≤2，x>2三類情況列式進行討論；③根據材料當x到1的距離等于x到19的距離時，代數式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|取最小值，代入計算即可得出結果．【詳解】解：①數軸上表示2和﹣5的兩點之間的距離是|2﹣（﹣5）|＝7，數軸上表示x和﹣1的兩點分別是點A和B，則A，B之間的距離是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x+1＝±2，x＝﹣3或1．②當|x+1|+|x﹣2|取最小值時，x的取值范圍是﹣1≤x≤2，T＝|x2﹣3|﹣2，當T要取最大值時，|x2﹣3|取最大值，，，|x2﹣3|最大值為3，因此T的最大值是1．當|x+1|﹣|x﹣2|取最大值時，可分x＜﹣1，﹣1≤x≤2，x＞2三類情況進行討論，當x＜﹣1時，原式＝﹣x﹣1+x﹣2＝﹣3．當﹣1≤x≤2時，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．當x＞2時，原式＝x+1﹣x+2＝3．∴當|x+1|﹣|x﹣2|取最大值時，x的取值范圍為x2．當|x+1|+|x﹣2|＝5時，可分x＜﹣1，﹣1≤x≤2，x＞2三類情況進行討論，當x＜﹣1時，方程可化為﹣x﹣1﹣x+2＝5，解得x＝﹣2．當﹣1≤x≤2時，方程可化為x+1+2﹣x＝3．當x＞2時，方程可化為x+1+x﹣2＝5，解得x＝3．綜上x的值為﹣2或3．③根據材料當x到1的距離等于x到19的距離時，可知x＝10時，代數式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|取最小值，最小值為9+8+7+．．．+1+0+1+2+3+．．．+9，＝（1+2+3+．．．+9）×2，＝×2，＝90．故答案為：①7，|x+1|，﹣3或1；②﹣1，x2，﹣2或3；③90．【點睛】本題考查了數軸、絕對值等，比較綜合，涉及的核心知識點為：數軸上兩點間的距離＝兩個數之差的絕對值．13．（2022·四川·渠縣第三中學七年級期中）認真閱讀下面的材料，完成有關問題：材料：在學習絕對值時，老師教過我們絕對值的幾何含義，如|5-3|表示5、3在數