PAGE17-陜西省西安市高陵區第一中學、田家炳中學2024-2025學年高一數學上學期第一次月考試題理（含解析）一?選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由集合的表示可得，再由集合的交集運算即可得解.【詳解】因為，所以，所以.故選：A.【點睛】本題考查了集合的交集運算，考查了運算求解實力，屬于基礎題.2.已知冪函數的圖象過點，則的值為（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用待定系數法求出冪函數的解析式，再代入自變量的值即可求出函數值．【詳解】設冪函數，冪函數的圖象過點，，解得，冪函數，（9）故選：．【點睛】本題主要考查了冪函數的定義，以及待定系數法求函數解析式，是基礎題．3.曲線y=x2+3x在點A(1，4)處的切線的斜率k是（）A.4 B.5 C.6 D.【答案】B【解析】【分析】干脆利用切線的斜率就是曲線在該點處的導數值求解即可.【詳解】函數的導數為，因為切線的斜率就是曲線在該點處的導數值，所以函數在處的切線斜率（1）．故選：．【點睛】本題考查了導數的幾何意義．導數的幾何意義是指函數在點處的導數是曲線在點，處的切線的斜率．它把函數的導數與曲線的切線聯系在一起，使導數成為函數學問與解析幾何學問交匯的一個重要載體．4.下列函數中為偶函數的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】依據偶函數的定義，A選項為奇函數;B選項為偶函數；C選項定義域為不具有奇偶性；D選項既不是奇函數，也不是偶函數.故選：B.5.函數的零點肯定位于區間（）A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：，故零點位于.考點：零點與二分法．6.已知函數，則f(x)是（）A.非奇非偶函數，且在(0，+∞)上單調遞增 B.奇函數，且在R上單調遞增C.非奇非偶函數，且在(0，+∞)上單調遞減 D.偶函數，且在R上單調遞減【答案】A【解析】【分析】本題考查函數的奇偶性和和單調性的概念及簡潔復合函數單調性的判定.【詳解】要使函數有意義，需使即解得所以函數的為定義域不關于原點對稱，所以函數是非奇非偶函數；因為是增函數，所以是增函數，又是增函數，所以函數在定義域上單調遞增.故選：A【點睛】本題考查對數型復合函數的奇偶性和單調性，屬于中檔題.7.設是定義域為的偶函數，且在單調遞減，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】比較、、三個數的大小關系，再由函數在區間上的單調性并結合偶函數的性質可得出、、的大小關系.【詳解】，，即，同理可得，且，，由于函數在區間上單調遞減，所以，，由于函數為偶函數，則.故選：D.【點睛】本題考查利用函數的單調性比較函數值的大小關系，同時也考查了利用中間值法比較指數式和對數式的大小關系，考查推理實力，屬于中等題.8.已知函數的值域為R，則實數a的取值范圍是（）A.(-1，2) B. C. D.{-1}【答案】B【解析】【分析】由題可知在時的值域中包含全部負數，列出即可解出.【詳解】當時,所以要使的的值域為,需滿意在時的值域中包含全部負數，所以,解得.故選：B.【點睛】本題考查已知分段函數的值域求參數，屬于基礎題.9.已知是定義域為的奇函數，滿意.若，則=（）A. B.0 C.50 D.2【答案】D【解析】分析】首先求出函數的周期，并求一個周期內的的值，依據周期性求的值.【詳解】因為函數是奇函數，，又因為，所以，即，所以，即函數的周期為4，，，，，，，那么.故選：D【點睛】本題考查抽象函數的周期，重點考查轉化與變形，計算實力，屬于中檔題型.10.如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB＝，動點P從點A動身，由A→D→C→B沿邊運動，點P在AB上的射影為Q.設點P運動的路程為x，△APQ的面積為y，則y＝f(x)的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結合P點的運動軌跡以及二次函數，三角形的面積公式推斷即可．【詳解】解：P點在AD上時，△APQ是等腰直角三角形，此時f（x）＝?x?x＝x2，（0＜x＜2）是二次函數，解除A，B，P在DC上時，PQ不變，AQ增加，是遞增的一次函數，解除C，故選D．【點睛】本題考查了數形結合思想，考查二次函數以及三角形的面積問題，是一道基礎題．11.若函數在區間(0，4)上不單調，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出的導數，先求出在區間(0，4)上單調的的范圍，即或在恒成立，即可得出不單調的a的取值范圍.【詳解】可知，若函數在區間(0，4)上單調，則或在恒成立，或，解得或，函數在區間(0，4)上不單調，.故選：C.【點睛】本題考查導數與函數單調性的關系，屬于基礎題.12.設定義域為的函數的導函數為，且滿意，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據條件構造函數，求導可證在上為增函數，，化為，即，利用單調性，即可求解.【詳解】設，在在上為增函數，兩邊同除以，得，即，，所以不等式的解集為.故答案為:B.【點睛】本題考查構造函數，利用函數的單調性解不等式，解題的關鍵要依據已知條件或所求的不等式的結構特征構造函數，屬于中檔題.二?填空題13.函數的零點個數為________.【答案】1【解析】【分析】函數的零點知，由此可轉化為函數與的交點個數問題，結合函數圖象，即可得到零點個數【詳解】令，得即在同一坐標系中畫出函數與的圖象，如圖所示可知兩函數圖象有1個交點，故的零點只有一個故答案為：1【點睛】本題考查了函數的零點，依據原函數的零點轉化為兩個函數的交點問題，進而結合函數圖象即可確定函數的零點個數14.已知函數滿意，且在區間(-2，2]上，，則的值為___________.【答案】1【解析】【分析】由分段函數的解析式，依據函數的周期性，進行轉化求解即可．【詳解】由得函數是周期為4的周期函數，則（1），，即．故答案為：1．【點睛】本題主要考查函數值計算，依據函數的周期性結合分段函數的表達式利用轉化法是解決本題的關鍵．15.函數在定義域上的值域為，則實數m的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】先推斷出值域的端點對應的值，然后依據函數圖象并結合值域推斷出的取值范圍.【詳解】因為，所以當時有，所以，又因為當時，或，再結合圖象可知：.故答案為：.【點睛】本題考查依據二次函數的值域求解參數范圍，難度一般.求解和二次函數有關的值域、定義域問題，有時候作圖分析能起到事半功倍的效果.16.函數的定義域為A，若且時總有，則稱為單函數.例如：函數是單函數.給出下列命題：①函數是單函數；②對數函數是單函數；③若為單函數，且，則；④在定義域上具有單調性函數肯定是單函數，其中的真命題是___________.(寫出全部真命題的序號)【答案】②③④【解析】【分析】依據單函數的定義分別進行推斷即可．【詳解】①若函數是單函數，則由得，即或，∴不滿意單函數的定義，故①錯誤．②若對數函數是單函數，則由得，即，∴滿意單函數的定義，故②正確．③若為單函數，且，則，則依據逆否命題的等價性可知，成立，故③正確．④在定義域上具有單調性的函數肯定，滿意當時總有，∴是單函數，成立，故④正確．故答案為：②③④.【點睛】本題主要考查與函數有關的命題的真假推斷，利用單函數的定義是解決本題的關鍵．三?解答題17.設命題：實數滿意，其中；命題：實數滿意.（1）若，且為真，求實數的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）若為真，則命題和命題均為真命題，分別解兩個不等式求交集即可；（2）是的充分不必要條件等價于是的必要不充分條件，列出滿意題意的不等式求解即可.【詳解】（1）對于：由，得：，又，所以，當時，，對于：等價于，解得：，若為真，則真且真，所以實數的取值范圍是：；（2）因為是的充分不必要條件，所以，且，即，，，則?，即，且，所以實數的取值范圍是.【點睛】本題主要考查命題及其關系，考查理解實力和轉化思想，屬于?？碱}.18.已知函數是定義在上的奇函數，且當時，.（1）當時，求的解析式；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）設，則，再依據奇函數性質即可得時，求的解析式；（2）分和兩類分別解不等式即可得答案.【詳解】解：（1）當時，，又是奇函數，∴，∴，即當時，（2）當時，由，得，解得或(舍去)，∴；當時，由，得，解得或(舍去)，∴.綜上，或【點睛】本題考查依據奇偶性求函數解析式，解指數型方程，考查運算實力，是中檔題.19.已知函數g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在區間上有最大值9和最小值1，設函數.（1）求a?b的值；（2）若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求實數k的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據對稱軸與定義區間位置關系確定函數單調性，再依據單調性確定最值取法，列方程組解得的值；

（2）化簡不等式，并分別變量得為2x+-2≥k·2x，即化為，設,再依據二次函數性質求最值即得結果.【詳解】（1）g(x)=a(x-1)2+1+b-a，因為a>0，所以g(x)在區間[2，4]上是增函數，故，解得.（2）由已知可得f(x)=x+-2，所以f(2x)-k·2x≥0可化為2x+-2≥k·2x，化為令，則k≤t2-2t+1，因為x∈[-1，1]，故t∈[，2]，記h(t)=t2-2t+1，因為t∈[，2]，故h(t)min=0，所以k的取值范圍是.【點睛】對于求不等式成立時的參數范圍問題，在可能的狀況下把參數分別出來，使不等式一端是含有參數的不等式，另一端是一個區間上詳細的函數，這樣就把問題轉化為一端是函數，另一端是參數的不等式，便于問題的解決.但要留意分別參數法不是萬能的，假如分別參數后，得出的函數解析式較為困難，性質很難探討，就不要運用分別參數法.屬于中檔題.20.商場銷售某種商品的閱歷表明，該商品每日的銷售量(單位：千克)與銷售價格(單位：元/千克)滿意關系式，其中，為常數，已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．(1)求的值；(2)若商品的成品為3元/千克,試確定銷售價格的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大【答案】(1)因為時，所以；(2)由(1)知該商品每日的銷售量，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤：；，令得函數在(3,4)上遞增，在(4,6)上遞減，所以當時函數取得最大值答：當銷售價格時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為42.【解析】(1)利用銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．把x=5,y=11代入,解關于a的方程即可求a..(2)在（1）的基礎上，列出利潤關于x的函數關系式，利潤=銷售量（銷售單價－成品單價），然后利用導數求其最值即可.21.設函數.（1）當曲線在點(1,f(1))處的切線與直線y=x垂直時，求a的值；（2）若函數有兩個零點，求實數a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出的導數，由求出；（2）本題等價于恰有兩個不相等正實根，構造函數，利用導數探討的改變狀況，即可求出的范圍.【詳解】（1）由題意知，函數的定義域為，，∴，解得.（2）若函數有兩個零點，則方程恰有兩個不相等的正實根，即方程恰有兩個不相等的正實根.設函數，∴.當時，恒成立，則函數在上是增函數，∴函數最多一個零點，不合題意，舍去；當時，令，解得，令，解得，則函數在內單調遞減，在上單調遞增.易知時，>0恒成立，要使函數有2個正零點，則的最小值，即，即，∵，∴，解得，即實數的取值范圍為.【點睛】本題考查導數的幾何意義，考查利用導數探討函數的零點，屬于較難題.22.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（a為參數），在以原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為.（1）求C的一般方程和l的傾斜角；（2）設點，l和C交于A，B兩點，求.【答案】(1)..(2).【解析】【分析】（1）干脆利用參數方程和極坐標方程公式得到一般方程，再計算傾斜角.（2）推斷點在直線l上，建立直線參數方程，代入橢圓方程，利用韋達定理得到答案.【詳解】（1）消去參數α得，即C的一般方程為.由，得，（*）將，代入（*），化簡得，所以直線l的傾斜角為.（2）由（1），知點在直線l上，可設直線l參數方程為（t為參數），即（t為參數），代入并化簡，得，，設A，B兩點對應的參數分別為，，則，，所以，，所以.【點睛】本題考查了參數方程，極坐標方程，傾斜角，利用直線的參數方程可以簡化運算.23.已知函數（1）求不等式的解集（2）設，證明：.【答案】(1)或；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）先依據肯定值定義將不等式化為三個不等式組，分別求交集，最終求并集（2）利用分析法證明，先依據肯定值三角不等式將不等式轉化為證明，