河南周口中英文學校2025屆高一上數學期末檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數的單調遞減區間是（）A.（） B.（）C.（） D.（）2．已知，則A.-2 B.-1C. D.23．函數的圖象的一個對稱中心是（）A B.C. D.4．設，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則5．若直線與直線互相垂直,則等于(

)A.1 B.-1C.±1 D.-26．過點且與原點距離最大的直線方程是（）A. B.C. D.7．關于的不等式對任意恒成立，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.8．設集合U=R，，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x≤1} D.{x|x≤0}9．已知集合，且，則的值可能為（）A B.C.0 D.110．下列命題中是真命題的個數為（）①函數的對稱軸方程是；②函數的一個對稱軸方程是；③函數的圖象關于點對稱；④函數的值域為A1 B.2C.3 D.4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若函數是定義在上的偶函數，當時，．則當時，______，若，則實數的取值范圍是_______.12．已知冪函數f（x）=xa的圖象經過點（8，2），則f（27）的值為____________13．已知正實數x，y滿足，則的最小值為______14．若函數（，且）在上是減函數，則實數的取值范圍是__________.15．《三十六計》是中國古代兵法策略，是中國文化的瑰寶.“分離參數法”就是《三十六計》中的“調虎離山”之計在數學上的應用，例如，已知含參數的方程有解的問題，我們可分離出參數（調），將方程化為，根據的值域，求出的范圍，繼而求出的取值范圍，已知，若關于x的方程有解，則實數的取值范圍為___________.16．數據的第50百分位數是__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數，（且．）（1）求的定義域，并判斷函數的奇偶性；（2）設，對于，恒成立，求實數m的取值范圍18．已知函數是R上的奇函數.（1）求a的值，并判斷的單調性；（2）若存在，使不等式成立，求實數b的取值范圍.19．如圖，公路圍成的是一塊頂角為的角形耕地，其中，在該塊土地中處有一小型建筑，經測量，它到公路的距離分別為，現要過點修建一條直線公路，將三條公路圍成的區域建成一個工業園.（1）以為坐標原點建立適當的平面直角坐標系，并求出點的坐標；（2）三條公路圍成的工業園區的面積恰為，求公路所在直線方程.20．已知二次函數滿足，且的最小值是求的解析式；若關于x的方程在區間上有唯一實數根，求實數m的取值范圍；函數，對任意，都有恒成立，求實數t的取值范圍21．近年來，我國大部分地區遭遇霧霾天氣，給人們的健康、交通安全等帶來了嚴重影響.經研究發現工業廢氣等污染物排放是霧霾形成和持續的重要因素，污染治理刻不容緩.為此，某工廠新購置并安裝了先進的廢氣處理設備，使產生的廢氣經過過濾后排放，以降低對空氣的污染.已知過濾過程中廢氣的污染物數量（單位：mg/L）與過濾時間（單位：h）間的關系為（，均為非零常數，e為自然對數的底數），其中為時的污染物數量.若經過5h過濾后還剩余90%的污染物.（1）求常數的值；（2）試計算污染物減少到40%至少需要多長時間.（精確到1h，參考數據：，，，，）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】根據余弦函數單調性，解得到答案.【詳解】解：，令，，解得，，故函數的單調遞減區間為；故選：A.2、B【解析】，，則，故選B.3、B【解析】利用正弦函數的對稱性質可知，，從而可得函數的圖象的對稱中心為，再賦值即可得答案【詳解】令，，解得：，.所以函數的圖象的對稱中心為，.當時，就是函數的圖象的一個對稱中心，故選：B.4、B【解析】利用可能平行判斷，利用線面平行的性質判斷，利用或與異面判斷，與可能平行、相交、異面，判斷.【詳解】，，則可能平行，錯；，，由線面平行的性質可得，正確；，，則，與異面；錯，，，與可能平行、相交、異面，錯，.故選B.【點睛】本題主要考查線面平行的判定與性質、線面面垂直的性質，屬于中檔題.空間直線、平面平行或垂直等位置關系命題的真假判斷，除了利用定理、公理、推理判斷外，還常采用畫圖（尤其是畫長方體）、現實實物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價.5、C【解析】分類討論：兩條直線的斜率存在與不存在兩種情況，再利用相互垂直的直線斜率之間的關系即可【詳解】解：①當時，利用直線方程分別化為：，，此時兩條直線相互垂直②如果，兩條直線的方程分別為與，不垂直，故；③，當時，此兩條直線的斜率分別為，兩條直線相互垂直，，化為，綜上可知：故選【點睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系、分類討論思想方法，屬于基礎題6、A【解析】首先根據題意得到過點且與垂直的直線為所求直線，再求直線方程即可.【詳解】由題知：過點且與原點距離最大的直線為過點且與垂直的直線.因為，故所求直線為，即.故選：A【點睛】本題主要考查直線方程的求解，數形結合為解題的關鍵，屬于簡單題.7、B【解析】當時可知；當時，采用分離變量法可得，結合基本不等式可求得；綜合兩種情況可得結果.【詳解】當時，不等式為恒成立，；當時，不等式可化為：，，（當且僅當，即時取等號），；綜上所述：實數的取值范圍為.故選：B.8、D【解析】先求出集合A，B，再由圖可知陰影部分表示，從而可求得答案【詳解】因為等價于，解得，所以，所以或，要使得函數有意義，只需，解得，所以則由韋恩圖可知陰影部分表示.故選：D.9、C【解析】化簡集合得范圍，結合判斷四個選項即可.【詳解】集合，四個選項中，只有，故選：C【點睛】本題考查元素與集合的關系，屬于基礎題10、B【解析】根據二次函數的性質、三角函數的性質以及圖象，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對①：函數的對稱軸方程是，故①是假命題；對②：函數的對稱軸方程是：，當時，其一條對稱軸是，故②正確；對函數，其函數圖象如下所示：對③：數形結合可知，該函數的圖象不關于對稱，故③是假命題；對④：數形結合可知，該函數值域為，故④為真命題.綜上所述，是真命題的有2個.故選：.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①.②.【解析】根據給定條件利用偶函數的定義即可求出時解析式；再借助函數在單調性即可求解作答.【詳解】因函數是定義在上的偶函數，且當時，，則當時，，，所以當時，；依題意，在上單調遞增，則，解得，所以實數的取值范圍是.故答案為：；12、3【解析】根據冪函數f（x）=xa的圖象經過點（8，2）求出a的值，再求f（27）的值.【詳解】冪函數f（x）=xa的圖象經過點（8，2），則8α=2，∴α=，∴f（x）=，∴f（27）==3．故答案為3【點睛】本題主要考查冪函數的概念和解析式的求法，考查冪函數的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.13、【解析】令，轉化條件為方程有解，運算可得【詳解】令，則，化簡得，所以，解得或（舍去），當時，，符合題意，所以得最小值為.故答案為：.14、【解析】根據分段函數的單調性，列出式子，進行求解即可.【詳解】由題可知：函數在上是減函數所以，即故答案為：15、【解析】參變分離可得，令，構造函數，利用導數求解函數單調性，分析可得的值域為，即得解【詳解】由題意，，故又，，令故，令，故在單調遞增由于時故的值域為故，即實數的取值范圍為故答案為：16、16【解析】第50百分位數為數據的中位數,即得.【詳解】數據的第50百分位數，即為數據的中位數為.故答案為：16.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）定義域為；為奇函數；（2）【解析】（1）由函數的定義域滿足，可得其定義域，由可判斷其奇偶性.(2)先由對數型函數的定義域可得，當時，由對數函數的單調性可得在上恒成立，即在上恒成立，即可得出答案.【詳解】（1）由題意，函數，由，可得或，即定義域為；由，即有，可得為奇函數；（2）對于，恒成立，由，則，又，則由，即在上恒成立.由,即在上恒成立.由，可得時，y取得最小值8，則，因此可得，時，的取值范圍是：【點睛】關鍵點睛：本題考查對數型函數的定義域和奇偶性的判斷，不等式恒成立求參數問題，解答本題的關鍵是由對數型函數的定義域則滿足，可得，然后將問題化為由,即在上恒成立，屬于中檔題.18、（1），為上的增函數；（2）.【解析】（1）由奇函數的定義即可求解的值，因為，所以由復合函數單調性的判斷法則即可判斷的單調性；（2）由題意，原問題等價于，令，則，利用二次函數的性質可求得的最小值，從而即可得答案.【小問1詳解】解：∵函數是R上的奇函數，∴，即對任意恒成立，∴，∵，又在上單調遞增且，且在單調遞增，所以為上的增函數；【小問2詳解】解：由已知在內有解，即在有解，令，則，因為在上單調遞減，所以，所以，所以實數b的取值范圍為.19、(1)；(2).【解析】(1)以為坐標原點,所在直線為軸，過點且垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標系.根據條件求出直線的方程，設出點坐標，代點到直線的距離公式即可求出所求；(2)由(1)及題意設出直線的方程后，即可求得點的橫坐標，與點的縱坐標，由求得后，即可求解.【詳解】(1)以為坐標原點,所在直線為軸，過點且垂直于的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系由題意可設點，且直線的斜率為，并經過點，故直線的方程為：，又因點到的距離為，所以，解得或(舍去)所以點坐標為.(2)由題意可知直線的斜率一定存在，故設其直線方程為：，與直線的方程：，聯立后解得:，對直線方程：，令，得，所以，解得，所以直線方程為：，即:.【點睛】本題以直線方程的相關知識為背景，旨在考查學生分析和解決問題的能力，屬于中檔題.20、（1）(2)（3）【解析】（1）因，故對稱軸為，故可設，再由得.（2）有唯一實數根可以轉化為與有唯一的交點去考慮.（3），任意都有不等式成立等價于，分、、和四種情形討論即可.解析：（1）因，對稱軸為，設，由得，所以.（2）由方程得，即直線與函數的圖象有且只有一個交點，作出函數在的圖象.易得當或時函數圖象與直線只有一個交點，所以的取值范圍是.（3）由題意知.假設存在實數滿足條件，對任意都有成立，即，故有，由.當時，在上為增函數，，所以；當時，，.即，解得，所以.當時，即解得.所以.當時，，即，所以，綜上所述，，所以當時，使得對任意都有成立.點睛：（1）求二次函數