1.2橢圓的簡單性質課時目標1.掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質.2.明確標準方程中a，b以及c，e的幾何意義，a、b、c、e之間的相互關系.3.能利用橢圓的幾何性質解決橢圓的簡單問題．橢圓的簡單幾何性質焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程范圍頂點軸長短軸長＝____，長軸長＝____焦點焦距對稱性對稱軸是________，對稱中心是________離心率一、選擇題1．橢圓25x2＋9y2＝225的長軸長、短軸長、離心率依次是()A．5,3，eq\f(4,5)B．10,6，eq\f(4,5)C．5,3，eq\f(3,5)D．10,6，eq\f(3,5)2．焦點在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為4eq\r(5)，則橢圓的方程為()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,36)＝1C.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,4)＝13．若焦點在x軸上的橢圓eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,m)＝1的離心率為eq\f(1,2)，則m等于()A.eq\r(3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(8,3)D.eq\f(2,3)4．如圖所示，A、B、C分別為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的頂點與焦點，若∠ABC＝90°，則該橢圓的離心率為()A.eq\f(－1＋\r(5),2)B．1－eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)－1D.eq\f(\r(2),2)5．若直線mx＋ny＝4與圓O：x2＋y2＝4沒有交點，則過點P(m，n)的直線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交點個數為()A．至多一個B．2C．1D．06．已知F1、F2是橢圓的兩個焦點．滿足eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是()A．(0,1)B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))題號123456答案二、填空題7．已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為eq\f(\r(5),5)，且過點P(－5,4)，則橢圓的方程為______________．8．直線x＋2y－2＝0經過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的離心率等于_____________________________________________．9．若直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有公共點，則過點(m，n)的直線與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的交點個數為________．三、解答題10.如圖，已知P是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上且位于第一象限的一點，F是橢圓的右焦點，O是橢圓中心，B是橢圓的上頂點，H是直線x＝－eq\f(a2,c)(c是橢圓的半焦距)與x軸的交點，若PF⊥OF，HB∥OP，試求橢圓的離心率e.11．已知F1、F2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，A是橢圓上位于第一象限內的一點，若eq\o(AF2,\s\up6(→))·eq\o(F1F2,\s\up6(→))＝0，橢圓的離心率等于eq\f(\r(2),2)，△AOF2的面積為2eq\r(2)，求橢圓的方程．能力提升12．若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數列，則該橢圓的離心率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,3)13．已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F1(－eq\r(3)，0)，且右頂點為D(2,0)．設點A的坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))).(1)求該橢圓的標準方程；(2)若P是橢圓上的動點，求線段PA的中點M的軌跡方程．1．橢圓的范圍實質就是橢圓上點的橫坐標和縱坐標的取值范圍，在求解一些存在性和判斷性問題中有著重要的應用．2．橢圓既是一個軸對稱圖形，又是一個中心對稱圖形．橢圓的對稱性在解決直線與橢圓的位置關系以及一些有關面積的計算問題時，往往能起到化繁為簡的作用．3．橢圓的離心率是反映橢圓的扁平程度的一個量，通過解方程或不等式可以求得離心率的值或范圍．1．2橢圓的簡單性質知識梳理焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a頂點(±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a)軸長短軸長＝2b，長軸長＝2a焦點(±c,0)(0，±c)焦距2c＝2eq\r(a2－b2)對稱性對稱軸是坐標軸，對稱中心是原點離心率e＝eq\f(c,a)，0<e<1作業設計1．B[先將橢圓方程化為標準形式：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1，其中b＝3，a＝5，c＝4.]2．A3.B4．A[由(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2，∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0，∵e＝eq\f(c,a)，∴e2＋e－1＝0，∴e＝eq\f(－1＋\r(5),2).]5．B[∵eq\f(4,\r(m2＋n2))>2，∴eq\r(m2＋n2)<2.∴點P(m，n)在橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的內部，∴過點P(m，n)的直線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有兩個交點．]6．C[∵eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，∴M點軌跡方程為x2＋y2＝c2，其中F1F2為直徑，由題意知橢圓上的點在圓x2＋y2＝c2外部，設點P為橢圓上任意一點，則|OP|>c恒成立，由橢圓性質知|OP|≥b，其中b為橢圓短半軸長，∴b>c，∴c2<b2＝a2－c2，∴a2>2c2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2<eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2).又∵0<e<1，∴0<e<eq\f(\r(2),2).]7.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1解析設橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，將點(－5,4)代入得eq\f(25,a2)＋eq\f(16,b2)＝1，又離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，即e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,5)，解之得a2＝45，b2＝36，故橢圓的方程為eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1.8.eq\f(2\r(5),5)解析由題意知橢圓的焦點在x軸上，又直線x＋2y－2＝0與x軸、y軸的交點分別為(2,0)、(0,1)，它們分別是橢圓的焦點與頂點，所以b＝1，c＝2，從而a＝eq\r(5)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(5),5).9．2解析由題意可知，圓心O到直線mx＋ny＝4的距離大于半徑，即得m2＋n2<4，所以點M(m，n)在圓O內，而圓O是以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓，故點(m，n)在橢圓內，因此過點(m，n)的直線與橢圓必有2個交點．10．解依題意知Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,c)，0))，F(c,0)，B(0，b)．設P(xP，yP)，且xP＝c，代入到橢圓的方程，得yP＝eq\f(b2,a).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a))).∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即eq\f(b－0,0＋\f(a2,c))＝eq\f(\f(b2,a),c).∴ab＝c2.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(b,c)，∴e2＝eq\f(a2－c2,c2)＝e－2－1.∴e4＋e2－1＝0.∵0<e<1，∴e＝eq\r(\f(\r(5)－1,2)).11．解∵eq\o(AF2,\s\up6(→))·eq\o(F1F2,\s\up6(→))＝0，∴AF2⊥F1F2，因為橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，則b2＝eq\f(1,2)a2，設A(x，y)(x>0，y>0)，由AF2⊥F1F2知x＝c，∴A(c，y)，代入橢圓方程得eq\f(c2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，∴y＝eq\f(b2,a)，∵△AOF2的面積為2eq\r(2)，∴S△AOF2＝eq\f(1,2)x×y＝2eq\r(2)，即eq\f(1,2)c·eq\f(b2,a)＝2eq\r(2)，∵eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴b2＝8，∴a2＝2b2＝16，故橢圓的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.12．B[由題意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝eq\f(3,5)或e＝－1(舍去)．]13．解(1)∵a＝2，c＝eq\r(3)，∴b＝eq\r(a2－c2)＝1.∴橢圓的標準方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)設P(x0，y0)，M(x，y)，由中點坐