第五講指數與指數函數第二章函數、導數及其應用

1.根式2.有理數指數冪

3.指數函數的概念

一般地，函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R，a是底數.[注意]形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函數叫做指數型函數，不是指數函數.底數a>10<a<1圖象性質定義域為R，值域為(0，＋∞)圖象過定點(0，1)4.指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象與性質底數a>10<a<1性質當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>1在定義域R上為增函數在定義域R上為減函數(續表)

【名師點睛】(1)指數函數的圖象與底數大小的比較 如圖2-5-1是指數函數①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，底數a，b，c，d與1之間的大小關系為c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我們可得到以下規律：在第一象限內，指數函數的圖象越高，底數越大.圖2-5-1

(2)指數函數y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象和性質跟a的取值有關，要特別注意應分a＞1與0＜a＜1來研究.考點一指數冪的運算答案：B2.對下列式子化簡求值.【題后反思】(1)指數冪的運算首先將根式化為分數指數冪，以便利用法則計算，還應注意：①必須同底數冪相乘，指數才能相加；②運算的先后順序.(2)當底數是負數時，先確定符號，再把底數化為正數.(3)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母，又含有負指數.

考點二指數函數的圖象[例1](1)(多選題)若函數y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的圖象經過第一、三、四象限，則下列選項中正確的有()A.a>1C.b>0

B.0<a<1D.b<0

解析：因為函數y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的圖象經過第一、三、四象限，所以其大致圖象如圖2-5-2所示.由圖象可知函數為增函數，所以a>1，當x＝0時，y＝1＋b－1＝b<0.故選AD.圖2-5-2答案：AD(2)若函數y＝|2x－1|的圖象與直線y＝b有兩個公共點，則b的取值范圍為________.解析：作出曲線y＝|2x－1|的圖象與直線y＝b，如圖2-5-3所示.由圖象可得b的取值范圍是(0，1).圖2-5-3答案：(0，1)【題后反思】

(1)對于指數型函數的圖象問題，一般從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到指數型函數的圖象.特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應分類討論. (2)有關指數方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數型函數圖象，數形結合進行求解.【變式訓練】1.(多選題)(2023年淄博市校級期末)已知函數f(x)＝|2x－1|，實)數a，b滿足f(a)＝f(b)(a＜b)，則( A.2a＋2b＞2 B.?a，b∈R，使得0＜a＋b＜1 C.2a＋2b＝2 D.a＋b＜0解析：畫出函數f(x)＝|2x－1|的圖象，如圖D4所示，

圖D4由圖知1－2a＝2b－1，則2a＋2b＝2，故A錯誤，C正確；所以2a＋b＜1，則a＋b＜0，故B錯誤，D正確.故選CD.答案：CD

2.函數y＝ax－b(a＞0，且a≠1)的圖象經過第二、三、四象限，則ab的取值范圍是________.答案：(0，1)考點三指數函數的性質及應用考向1利用指數函數的單調性比較大小

通性通法：比較指數式的大小時，能化成同底數的，先化成同底數冪，再利用單調性比較大小；不能化成同底數的，一般引入“1”等中間量比較大小.A.b<a<cC.b<c<a

B.a<b<cD.c<a<b(0，＋∞)上單調遞增，得a<c.由y＝2x

在R上單調遞增，得b<a，故b<a<c.故選A.答案：A)f(b)，f(c)的大小關系為( A.f(b)<f(a)<f(c) C.f(c)<f(a)<f(b)

B.f(c)<f(b)<f(a)D.f(b)<f(c)<f(a)答案：B考向2與指數函數有關的復合函數的單調性

通性通法：求解與指數函數有關的復合函數的問題時，首先要熟知指數函數的定義域、值域、單調性等相關性質，其次要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質進行分析判斷.[例3](1)已知函數f(x)＝2|2x－m|(m為常數).若f(x)在區間[2，＋∞)上單調遞增，則m的取值范圍是________.答案：(－∞，4](2)函數f(x)＝4x－2x+1的單調增區間是________.

解析：f(x)＝(2x)2－2·2x＝(2x－1)2－1，設t＝2x，其在R上單調遞增，y＝(t－1)2－1在[1，＋∞)上單調遞增，∴2x≥1，∴x≥0.答案：[0，＋∞)考向3函數的最值問題通性通法：對可化為a2x＋b·ax＋c＝0形式的方程或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的不等式，常借助換元法解題，但應注意換元后“新元”的取值范圍.

[例4]設函數y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在區間[－1，1]上的最大值是14，則a的值為________.【考法全練】1.(考向1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，則(

)A.a＞b＞cC.c＞a＞b

B.a＞c＞bD.b＞c＞a

解析：由0.2＜0.6，0.4＜1，并結合指數函數y＝0.4x

在R上單調遞減，可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因為a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b，所以a＞b＞c.故選A.

答案：AA.(－∞，4)B.(0，＋∞)C.(0，4]D.[4，＋∞)答案：C⊙指數運算的實際應用

[例5]實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系.為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，“鵲橋”沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行.L2

點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設地球質量為M1，月球質量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據牛頓運動定答案：D

【反思感悟】高考題只是把物理競賽題中個別背景與條件進行變更，難度相似.與傳統的解方程問題相比，本題以學生熟悉的“嫦娥四號”為背景，看起來是物理問題，實則考查數學中的解方程、求近似值的內容.讓學生感悟數學來源于生活，數學和物理不分家，考查了轉化與化歸能力，空間想象能力，以及運算求解能力，很好地考查了邏輯推理、直觀想象、數學運算的核心素養.

【高分訓練】

(2023年佛山市期末)在某個時期，某湖泊中的藍藻每天以6.25%的增長率呈指數增長，已知經過30天以后，該湖泊的藍藻數大約為原來的6倍，那么經過60天后該湖泊的藍藻數大約為原來的()A.18倍B.24倍C.36倍D.48倍

解析：某湖泊中的藍藻每天以6.25%的增