第61講圓中的范圍與最值知識(shí)梳理1、涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．一般地：（1）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題．（2）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題．（3）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)（a，b）的距離平方的最值問題.2、解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：（1）數(shù)形結(jié)合（2）多與圓心聯(lián)系（3）參數(shù)方程（4）代數(shù)角度轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域問題必考題型全歸納題型一：斜率型例1．（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B． C． D．例2．（多選題）（2024·浙江嘉興·高二校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的最大值為，最小值為B．的最大值為，最小值為；C．的最大值為，最小值為；D．的最大值為，最小值為；例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為圓：上任意一點(diǎn)，則的最大值為.變式1．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）已知為圓C：上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)．（1）求的最大值和最小值．（2）求的最大值和最小值．（3）求的最大值和最小值．題型二：直線型例4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是.例5．（2024·江西吉安·寧岡中學(xué)校考一模）已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C．6 D．5例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是圓：上的一動(dòng)點(diǎn)，若圓經(jīng)過點(diǎn)，則的最大值與最小值之和為（

）A．4 B． C． D．題型三：距離型例7．（2024·黑龍江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn),的距離之比為（，且），那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn),間的距離為，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為例8．（2024·江蘇宿遷·高二校考階段練習(xí)）已知為圓上任意一點(diǎn)，且．(1)求的最大值和最小值；(2)若，求的最大值和最小值；(3)若，求的最大值和最小值．例9．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，求的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．變式2．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．變式3．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知為圓上任意一點(diǎn)．則的最大值為變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，，滿足，，，則的最小值為（

）A．1 B． C．3 D．變式5．（2024·廣東東莞·高一東莞高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A．22 B．26 C．30 D．32題型四：周長(zhǎng)面積型例10．（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）已知兩點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則面積的最大值為，最小值為.例11．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓，點(diǎn)M為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形周長(zhǎng)的最小值為（

）A．8 B． C． D．例12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線：與圓：相交于不同兩點(diǎn)，，位于直線異側(cè)兩點(diǎn)，都在圓上運(yùn)動(dòng)，則四邊形面積的最大值為（

）A． B． C． D．變式6．（2024·甘肅慶陽(yáng)·高二校考期末）已知圓的方程為，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線、，、為切點(diǎn)，則四邊形的面積的最小值為變式7．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則面積的最大值為（

）A．5 B． C． D．題型五：數(shù)量積型例13．（2024·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，是圓上兩點(diǎn)，且，則的最大值是.例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線與圓相切于點(diǎn)，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．例15．（2024·江蘇南京·高一校考期中）已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為.變式8．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為4的正方形中，動(dòng)圓Q的半徑為1、圓心在線段（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P是圓Q上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．變式9．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考階段練習(xí)）在邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF中，動(dòng)圓的半徑為1、圓心在線段CD（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P是圓Q上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．. B． C． D．變式10．（2024·山東聊城·高一山東聊城一中校考期中）已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，MN為圓O的直徑，則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．題型六：坐標(biāo)與角度型例16．（2024·浙江麗水·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)P在圓M：上，點(diǎn)，，則最小和最大時(shí)分別為（

）A．0°和60° B．15°和75° C．30°和90° D．45°和135°例17．（2024·高二單元測(cè)試）已知圓C：(x﹣1)2+y2=1，點(diǎn)P(x0，y0)在直線x﹣y+1=0上運(yùn)動(dòng).若C上存在點(diǎn)Q，使∠CPQ=30°，則x0的取值范圍是.例18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．變式11．（2024·浙江嘉興·高二校考階段練習(xí)）若圓）與圓交于A、B兩點(diǎn)，則tan∠ANB的最大值為（

）A． B． C． D．變式12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）動(dòng)圓M經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且半徑為1，則圓心M的橫縱坐標(biāo)之和的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．變式13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓，圓是以圓上任意一點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓．圓與圓交于，兩點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．題型七：長(zhǎng)度型例19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓及點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別是直線和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.例20．（2024·湖北·高二沙市中學(xué)校聯(lián)考期中）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，且，則的最大值為.例21．（2024·上海普陀·高二上海市晉元高級(jí)中學(xué)校考期末）已知為圓上的兩點(diǎn)，且，設(shè)為弦的中點(diǎn)，則的最大值為.變式14．（2024·上海靜安·高二校考期末）已知實(shí)數(shù)滿足，，則的最大值為.變式15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個(gè)著名的幾何問題：在平面上給定兩點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿足（其中是正常數(shù)，且），則P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．現(xiàn)已知兩定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為變式16．（2024·全國(guó)·高二期中）已知圓是以點(diǎn)和點(diǎn)為直徑的圓，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．變式17．（2024·四川成都·高二成都七中校考開學(xué)考試）已知，是曲線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，，則的最大值與最小值的比值是（

）A． B． C． D．變式18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，，點(diǎn)在內(nèi)部，，則的最小值為．變式19．（2024·河南許昌·高二禹州市高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9題型八：方程中的參數(shù)例22．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，點(diǎn)M在以為直徑的半圓上，且滿足，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．例23．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．例24．（2024·河南開封·高三通許縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）