第57講直線的方程知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：直線的傾斜角和斜率1、直線的傾斜角若直線與軸相交，則以軸正方向?yàn)槭歼叄@交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為（2）傾斜角的取值范圍2、直線的斜率設(shè)直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為（1）當(dāng)時(shí)，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率（3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應(yīng)用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯(lián)系）（4）越大，直線越陡峭（5）傾斜角與斜率的關(guān)系當(dāng)時(shí)，直線平行于軸或與軸重合；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而減小；3、過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式已知直線上任意兩點(diǎn)，，則（1）直線的斜率是確定的，與所取的點(diǎn)無(wú)關(guān)．（2）若，則直線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90°4、三點(diǎn)共線．兩直線的斜率相等→三點(diǎn)共線；反過(guò)來(lái)，三點(diǎn)共線，則直線的斜率相等（斜率存在時(shí)）或斜率都不存在．知識(shí)點(diǎn)二：直線的方程1、直線的截距若直線與坐標(biāo)軸分別交于，則稱分別為直線的橫截距，縱截距（1）截距：可視為直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的簡(jiǎn)記形式，其取值可正，可負(fù)，可為0（不要顧名思義誤認(rèn)為與“距離”相關(guān)）（2）橫縱截距均為0的直線為過(guò)原點(diǎn)的非水平非豎直直線2、直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式不含垂直于軸的直線斜截式不含垂直于軸的直線兩點(diǎn)式不含直線和直線截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用3、求曲線（或直線）方程的方法：在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個(gè)點(diǎn)，或者一點(diǎn)一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致）4、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為且線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，此公式為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．5、兩直線的夾角公式若直線與直線的夾角為，則.必考題型全歸納題型一：傾斜角與斜率的計(jì)算例1．（2024·四川眉山·仁壽一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知是直線的傾斜角，則的值為（

）A． B． C． D．例2．（2024·重慶·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．例3．（2024·江蘇宿遷·高二泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．變式1．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，若直線的斜率分別為，則（

）

A． B．C． D．變式2．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．變式3．（2024·全國(guó)·高二課堂例題）過(guò)兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是135°，則y等于（

）A．1 B．5 C． D．變式4．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）直線l經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，那么直線l的斜率的取值范圍為（

）．A． B． C． D．變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖像上有一動(dòng)點(diǎn)，則在此動(dòng)點(diǎn)處切線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【解題方法總結(jié)】正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式，根據(jù)該公式求出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，傾斜角為，求斜率可用，其中為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互關(guān)聯(lián)，不可分割．牢記“斜率變化分兩段，是其分界，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”．這可通過(guò)畫正切函數(shù)在上的圖像來(lái)認(rèn)識(shí)．題型二：三點(diǎn)共線問(wèn)題例4．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知三點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．4 C．8 D．12例5．（2024·遼寧營(yíng)口·高二校考階段練習(xí)）若三點(diǎn)，，共線，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．6 B． C． D．2例6．（2024·重慶渝中·高二重慶復(fù)旦中學(xué)校考階段練習(xí)）若三點(diǎn)（2，2），（，0），（0，），（）共線，則的值為（）A．1 B． C． D．變式6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若平面內(nèi)三點(diǎn)A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a＝（

）A．1±或0 B．或0C． D．或0【解題方法總結(jié)】斜率是反映直線相對(duì)于軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點(diǎn)所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點(diǎn)所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點(diǎn)共線的原因．題型三：過(guò)定點(diǎn)的直線與線段相交問(wèn)題例7．（2024·吉林·高三校考期末）已知點(diǎn).若直線與線段相交,則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．例8．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)和，直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．例9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，若直線與線段有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，若直線與線段沒有交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線和以為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或或變式9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．變式10．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知點(diǎn)，若直線與的延長(zhǎng)線（有方向）相交，則的取值范圍為．變式11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知,，點(diǎn)是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是.變式12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在線段上運(yùn)動(dòng)，已知，則的取值范圍是.【解題方法總結(jié)】一般地，若已知，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線，過(guò)點(diǎn)的任一直線的斜率為，則當(dāng)與線段不相交時(shí)，夾在與之間；當(dāng)與線段相交時(shí)，在與的兩邊．題型四：直線的方程例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為（

）A． B．C． D．例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或例12．（2024·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)方程表示的圖形，下列敘述中正確的是（

）A．斜率為2的一條直線B．斜率為的一條直線C．斜率為2的一條直線，且除去點(diǎn)（,6）D．斜率為的一條直線，且除去點(diǎn)（,6）變式13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程是（

）A． B．C． D．變式14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）方程表示的直線可能是（

）A． B．C． D．變式15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知過(guò)定點(diǎn)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（

）A． B． C． D．變式16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線l的方程中，，，則此直線必不經(jīng)過(guò)（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限變式17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線的傾斜角為，且在軸上的截距為，則直線的方程為（）A． B．C． D．【解題方法總結(jié)】要重點(diǎn)掌握直線方程的特征值（主要指斜率、截距）等問(wèn)題；熟練地掌握和應(yīng)用直線方程的幾種形式，尤其是點(diǎn)斜式、斜截式和一般式．題型五：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問(wèn)題例13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，則此直線的方程為．例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l過(guò)點(diǎn)M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，直線l的方程為.例15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)；(2)過(guò)點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．變式18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線l過(guò)點(diǎn)，且分別與軸正半軸交于、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn).(1)當(dāng)面積最小時(shí)，求直線l的方程；(2)求的最小值及此時(shí)直線l的方程.變式19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線過(guò)定點(diǎn)，且與軸的正半軸交于點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn).（1）當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線的方程；（2）求面積的最小值.變式20．（2024·北京懷柔·高二北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)校考期中）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若直線過(guò)點(diǎn)，求直線的方程，并求直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；(2)如果直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為，求直線的方程．變式21．（2024·高二單元測(cè)試）已知直線l過(guò)點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)A?與y軸正半軸交于點(diǎn)B.（1）求面積最小時(shí)直線l的方程（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（2）求的最小值及取得最小值時(shí)l的直線方程.變式22．（2024·江西吉安·高二吉安一中校考階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn).（Ⅰ）求(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積最小值，并求取得最小值時(shí)直線的方程.（Ⅱ）設(shè)是的面積取得最小值時(shí)的內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍.變式23．（2024·河南洛陽(yáng)·高二洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線：．（1）求經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)．①的面積為，求的最小值和此時(shí)直線的方程；②當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程．變式24．（2024·河南鄭州·高二宜陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P．(1)證明：無(wú)論k取何值，直線l始終過(guò)第二象限；(2)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，當(dāng)取最小值時(shí)，求直線l的方程．變式25．（2024·江蘇宿遷·高二泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線過(guò)定點(diǎn)，且交軸負(fù)半軸于點(diǎn)?交軸正半軸于點(diǎn)．點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若的面積為4，求直線的方程；（2）求的最小值，并求此時(shí)直線的方程；（3）求的最小值，并求此時(shí)直線的方程．【解題方法總結(jié)】（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關(guān)）及直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積（與截距有關(guān)），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說(shuō)．（2）在求直線方程時(shí)，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以根據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問(wèn)題的解決．例如：已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過(guò)這點(diǎn)的直線方程，通常選用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點(diǎn)，選擇截距式或兩點(diǎn)式．在求直線方程的過(guò)程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對(duì)特殊情況的討論，以免遺漏．題型六：兩直線的夾角問(wèn)題例16．（2024·上海浦東新·高三上海市川沙中學(xué)校考期末）直線與直線所成夾角的余弦值等于例17．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）直線與直線相交，則這兩條直線的夾角大小為.例18．（2024·上海寶山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線，則與的夾角大小是.變式26．（2024·重慶·高考真題）曲線與在交點(diǎn)處切線的夾角是．（用弧度數(shù)作答）變式27．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點(diǎn)在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為．變式28．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）兩條直線，的夾角平分線所在直線的方程是．【解題方法總結(jié)】若直線與直線的夾角為，則.題型七：直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題例19．（2024·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線過(guò)定點(diǎn)A，直線過(guò)定點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則．例20．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，則直線過(guò)定點(diǎn).例21．（2024·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考二模）直線恒過(guò)定點(diǎn)A，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為．變式29．（2024·遼寧營(yíng)口·高二校考階段練習(xí)）直的方程為，則該直線過(guò)定點(diǎn)．變式30．（2024·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若實(shí)數(shù)、、成等差數(shù)列，則直線必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為.【解題方法總結(jié)】合并參數(shù)題型八：軌跡方程例22．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程．例23．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是原點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).(1)求所在直線的一般式方程；(2)當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.例24．（2024·湖北咸寧·高二鄂南高中校考階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，連接，在線段上取點(diǎn)使得.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)已知點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.變式31．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，動(dòng)點(diǎn)M與A，B兩點(diǎn)連線的斜率分別為、，若，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程變式32．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）在中，，求的平分線所在直線的方程.變式33．（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)的距離相等，求點(diǎn)C的軌跡方程．變式34．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，.若點(diǎn)滿足，其中，且，求點(diǎn)的軌跡方程.【解題方法總結(jié)】（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩