2024-2025學年高中數(shù)學第三章導數(shù)及其應用3.2導數(shù)的計算3.2.2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則教案文新人教A版選修1-1學校授課教師課時授課班級授課地點教具教學內(nèi)容本節(jié)課選自2024-2025學年高中數(shù)學新人教A版選修1-1第三章導數(shù)及其應用3.2節(jié)導數(shù)的計算部分，主要圍繞3.2.2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則展開。教學內(nèi)容包括：

1.掌握常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式；

2.理解和掌握導數(shù)的四則運算法則，包括和、差、積、商的導數(shù)計算；

3.通過實例分析，讓學生能夠靈活運用導數(shù)公式及運算法則求解實際問題。核心素養(yǎng)目標分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標主要圍繞數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模和數(shù)學運算等方面進行培養(yǎng)。通過學習基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則，旨在提高學生以下能力：

1.數(shù)學抽象：使學生能夠理解導數(shù)的概念，從具體函數(shù)中抽象出導數(shù)公式，形成對導數(shù)運算的深刻理解。

2.邏輯推理：培養(yǎng)學生運用導數(shù)公式和運算法則進行推理、證明和解決問題的能力。

3.數(shù)學建模：讓學生在實際問題中運用導數(shù)知識建立數(shù)學模型，提高解決實際問題的能力。

4.數(shù)學運算：訓練學生熟練運用導數(shù)公式和法則進行四則運算，提高計算速度和準確性。教學難點與重點1.教學重點

-本節(jié)課的核心內(nèi)容是基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及其四則運算法則。重點包括：

-常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式；

-導數(shù)的四則運算法則，特別是乘積法則和商法則的應用；

-利用導數(shù)公式和法則解決實際問題，如求解極值、最值等。

舉例：講解冪函數(shù)的導數(shù)公式時，強調(diào)當冪指數(shù)為正整數(shù)時的計算方法，以及如何應用于實際問題中。

2.教學難點

-本節(jié)課的難點在于：

-對導數(shù)公式的理解與記憶，尤其是對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式；

-導數(shù)的四則運算法則的運用，特別是復合函數(shù)求導時的鏈式法則；

-學生在應用導數(shù)知識解決實際問題時，往往難以準確識別問題類型和選擇合適的求解方法。

舉例：在講解對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式時，解釋其對數(shù)函數(shù)的自然底數(shù)e的特殊性，以及如何通過鏈式法則求解復合函數(shù)的導數(shù)。同時，指導學生在面對實際問題時，如何將問題抽象為數(shù)學模型，并運用導數(shù)知識進行求解。教學資源-軟硬件資源：多媒體教學設(shè)備、投影儀、黑板、教具（如幾何模型）、計算器。

-課程平臺：學校內(nèi)部學習管理系統(tǒng)（LMS）、數(shù)字化教材。

-信息化資源：電子教案、教學PPT、數(shù)學軟件（如Geogebra、Mathematica）、在線數(shù)學題庫。

-教學手段：課堂講授、小組討論、案例教學、互動提問、實時反饋系統(tǒng)、課后在線輔導。教學實施過程1.課前自主探索

-教師活動：

發(fā)布預習任務：通過學校內(nèi)部學習管理系統(tǒng)，發(fā)布包含導數(shù)基本概念和初步公式的預習資料，明確預習目標和要求。

設(shè)計預習問題：圍繞基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，設(shè)計問題，如“冪函數(shù)的導數(shù)與原函數(shù)有何關(guān)系？”引導學生自主思考。

監(jiān)控預習進度：通過學習管理系統(tǒng)，跟蹤學生的預習情況，確保預習效果。

-學生活動：

自主閱讀預習資料：學生按照要求，閱讀預習資料，嘗試理解導數(shù)公式。

思考預習問題：學生針對問題進行獨立思考，記錄自己的理解，如冪函數(shù)導數(shù)的推導過程。

提交預習成果：將預習筆記、問題等提交至學習管理系統(tǒng)。

-教學方法/手段/資源：

自主學習法：培養(yǎng)學生獨立思考能力。

信息技術(shù)手段：利用學習管理系統(tǒng)，實現(xiàn)資源共享和進度監(jiān)控。

-作用與目的：

讓學生提前接觸導數(shù)公式，為課堂學習打下基礎(chǔ)。

培養(yǎng)學生的自主學習能力和預習習慣。

2.課中強化技能

-教師活動：

導入新課：通過實際生活中的優(yōu)化問題，如最短路徑，引出導數(shù)的應用，激發(fā)興趣。

講解知識點：詳細講解冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式，結(jié)合具體函數(shù)圖像加深理解。

組織課堂活動：設(shè)計小組討論，探討商法則和乘積法則的應用。

解答疑問：及時解答學生在討論中產(chǎn)生的疑問。

-學生活動：

聽講并思考：認真聽講，思考導數(shù)公式的邏輯推導。

參與課堂活動：在小組討論中積極發(fā)表觀點，共同解決實際問題。

提問與討論：針對不理解的地方提出問題，參與全班討論。

-教學方法/手段/資源：

講授法：通過邏輯清晰的講解，幫助學生理解導數(shù)公式。

實踐活動法：通過小組討論，加深對導數(shù)運算法則的理解。

合作學習法：培養(yǎng)團隊合作和溝通能力。

-作用與目的：

加深對導數(shù)公式和運算法則的理解。

通過實際應用，培養(yǎng)學生的解決問題能力。

通過合作學習，增強學生的團隊協(xié)作能力。

3.課后拓展應用

-教師活動：

布置作業(yè)：根據(jù)課堂內(nèi)容，布置具有挑戰(zhàn)性的作業(yè)，如復合函數(shù)的導數(shù)計算。

提供拓展資源：推薦相關(guān)數(shù)學書籍、學術(shù)文章等，供學生深入探究。

反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，給出個性化的反饋和指導。

-學生活動：

完成作業(yè)：認真完成作業(yè)，鞏固課堂所學。

拓展學習：閱讀拓展資源，拓寬知識視野。

反思總結(jié)：對自己的學習過程進行反思，制定改進策略。

-教學方法/手段/資源：

自主學習法：鼓勵學生自主完成作業(yè)和拓展學習。

反思總結(jié)法：引導學生自我評價，促進自我提升。

-作用與目的：

鞏固導數(shù)計算方法和應用技巧。

通過拓展學習，提高學生的學術(shù)研究能力。

通過反思總結(jié)，培養(yǎng)學生的自我調(diào)節(jié)和自我完善能力。知識點梳理1.導數(shù)的概念

-導數(shù)的定義：函數(shù)在某點的導數(shù)表示函數(shù)圖像在該點切線的斜率。

-導數(shù)的幾何意義：切線的斜率，表示函數(shù)圖像的局部變化率。

2.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

-常數(shù)函數(shù)的導數(shù)：任何常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為0。

-冪函數(shù)的導數(shù)：對于冪函數(shù)f(x)=x^n，其導數(shù)為f'(x)=nx^(n-1)。

-指數(shù)函數(shù)的導數(shù)：對于指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x（a為常數(shù)），其導數(shù)為f'(x)=a^x*ln(a)。

-對數(shù)函數(shù)的導數(shù)：對于對數(shù)函數(shù)f(x)=log_a(x)（a為底數(shù)），其導數(shù)為f'(x)=1/(x*ln(a))。

3.導數(shù)的運算法則

-和差法則：若函數(shù)u(x)和v(x)可導，則它們的和差f(x)=u(x)±v(x)的導數(shù)為f'(x)=u'(x)±v'(x)。

-積法則：若函數(shù)u(x)和v(x)可導，則它們的積f(x)=u(x)*v(x)的導數(shù)為f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。

-商法則：若函數(shù)u(x)和v(x)可導，且v(x)≠0，則它們的商f(x)=u(x)/v(x)的導數(shù)為f'(x)=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/v^2(x)。

-鏈式法則：復合函數(shù)f(g(x))的導數(shù)為f'(g(x))*g'(x)。

4.導數(shù)在實際問題中的應用

-求解極值：通過導數(shù)的符號變化判斷函數(shù)的增減性，進而確定極值點。

-求解最值：在確定極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合端點值求解最值問題。

-確定函數(shù)圖像：利用導數(shù)分析函數(shù)的增減性和凹凸性，繪制大致圖像。

5.典型例題解析

-求解函數(shù)的導數(shù)：如f(x)=x^3-2x^2+3x-4的導數(shù)。

-求解復合函數(shù)的導數(shù)：如f(x)=e^(2x)和f(x)=ln(x^2)的導數(shù)。

-導數(shù)的應用：如求解函數(shù)的極值、最值問題，分析函數(shù)圖像等。作業(yè)布置與反饋1.作業(yè)布置

（1）基礎(chǔ)題：

-計算以下函數(shù)的導數(shù)：

a.f(x)=x^4-2x^3+3x^2-4x+5

b.g(x)=ln(x^2)

c.h(x)=e^(3x)

-利用導數(shù)運算法則，求解以下復合函數(shù)的導數(shù)：

a.F(x)=(x^2+1)^3

b.G(x)=ln(x^3-2x)

-根據(jù)導數(shù)的定義，求出函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導數(shù)。

（2）提高題：

-已知函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求函數(shù)的極值和最值。

-設(shè)函數(shù)g(x)=x^2/(x^2+1)，分析函數(shù)的增減性和凹凸性，并繪制大致圖像。

（3）拓展題：

-研究函數(shù)f(x)=a^x(a>0且a≠1)的導數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，并嘗試證明。

-探討在實際問題中，如何利用導數(shù)求解最短路徑、最大面積等問題。

2.作業(yè)反饋

（1）基礎(chǔ)題：

-批改作業(yè)時，關(guān)注學生對導數(shù)公式的掌握和應用，指出計算錯誤和概念混淆。

-對于復合函數(shù)求導，注意檢查學生是否正確運用鏈式法則。

-對于導數(shù)的定義題，關(guān)注學生是否理解導數(shù)的幾何意義。

（2）提高題：

-在分析函數(shù)極值和最值時，注意學生是否正確識別導數(shù)的符號變化。

-對于函數(shù)圖像的繪制，關(guān)注學生是否正確分析導數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系。

（3）拓展題：

-鼓勵學生進行深入研究，對有創(chuàng)意的解題方法給予表揚。

-對于研究性題目，給出具體的改進建議，引導學生如何更好地進行數(shù)學探究。教學反思與總結(jié)-在本節(jié)課的教學過程中，我采用了講授、討論和實踐相結(jié)合的方法，力求讓學生在理解導數(shù)概念的基礎(chǔ)上，掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和運算法則。通過設(shè)計小組討論和案例教學，我試圖讓學生在實踐中掌握導數(shù)的應用技巧。此外，我還利用多媒體教學設(shè)備和在線平臺，實現(xiàn)了教學資源的共享和監(jiān)控，提高了教學效果。

-在教學過程中，我也發(fā)現(xiàn)了一些問題。例如，部分學生對導數(shù)公式的記憶不夠牢固，導致在應用時出現(xiàn)錯誤。此外，部分學生在解決實際問題時，難以將問題抽象為數(shù)學模型，需要進一步加強引導和訓練。

2.教學總結(jié)：

-從學生的作業(yè)和課堂表現(xiàn)來看，大部分學生對導數(shù)的概念和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式有了較好的理解和掌握。他們能夠熟練運用導數(shù)公式和運算法則解決實際問題，如求解極值、最值等。此外，學生在小組討論和實踐中，表現(xiàn)出了較強的團隊合作意識和溝通能力。

-然而，在教學過程中，我也發(fā)現(xiàn)了一些不足之處。例如，部分學生對導數(shù)公式的記憶不夠牢固，導致在應用時出現(xiàn)錯誤。此外，部分學生在解決實際問題時，難以將問題抽象為數(shù)學模型，需要進一步加強引導和訓練。為了提高教學效果，我計劃在今后的教學中，加強對學生的個別輔導，特別是對學習有困難的學生。同時，我還將嘗試采用更多的教學手段，如翻轉(zhuǎn)課堂、在線討論等，以激發(fā)學生的學習興趣和主動性。此外，我還將加強對學生的作業(yè)反饋，及時指出他們在學習中存在的問題，并給出具體的改進建議，以促進他們的學習進步。重點題型整理1.求函數(shù)的導數(shù)

-題型：求函數(shù)f(x)=x^3-2x^2+3x-4的導數(shù)。

-解答：f'(x)=3x^2-4x+3。

2.求復合函數(shù)的導數(shù)

-題型：求函數(shù)F(x)=(x^2+1)^3的導數(shù)。

-解答：F'(x)=3(x^2+1)^2*2x=6x(x^2+1)^2。

3.利用導數(shù)求解極值

-題型：已知函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求函數(shù)的極值。

-解答：f'(x)=3x^2-12x+9。令f'(x)=0，得x=1或x=3。f(1)=7，f(3)=7。所以極值為7。

4.利用導數(shù)求解最值

-題型：已知函數(shù)g(x)=x^2/(x^2+1)，求函數(shù)的最值。

-解答：g'(x)=(2x(x^2+1)-x^2*2x)/(x^2+1)^2=2x^2/(x^2+1)^2。當x=0時，g(x)=0，為最小值。

5.利用導數(shù)確定函數(shù)圖像

-題型：已知函數(shù)h(x)=x^3-6x^2+9x+1，利用導數(shù)分析函數(shù)的增減性和凹凸性，并繪制大致圖像。

-解答：h'(x)=3x^2-12x+9。令h'(x)=0，得x=1或x=3。h''(x)=6x-12。當x=1時，h''(1)<0，函數(shù)在x=1處凹；當x=3時，h''(3)>0，函數(shù)在x=3處凸。結(jié)合極值點，可以繪制大致圖像。內(nèi)容邏輯關(guān)系-導數(shù)的定義：函數(shù)在某點的導數(shù)表示函數(shù)圖像在該點切線的斜率。

-導數(shù)的幾何意義：切線的斜率，表示函數(shù)圖像的局部變化率。

2.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

-常數(shù)函數(shù)的導數(shù)：任何常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為0。

-冪函數(shù)的導數(shù)：對于冪函數(shù)f(x)=x^n，其導數(shù)為f'(x)=nx^(n-1)。

-指數(shù)函數(shù)的導數(shù)：對于指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x（a為常數(shù)），其導數(shù)為f'(x)=a^x*ln(a)。

-對數(shù)函數(shù)的導數(shù)：對于對數(shù)函數(shù)f(x)=log_a(x)（a為底數(shù)），其導數(shù)為f'(x)=1/(x*ln(a))。

3.導數(shù)的運算法則

-和差法則：若函數(shù)u(x