專題06勾股定理易錯題集訓及?？家呻y問題突破（解析版）類型一教材易錯易混題集訓易錯點1誤認為三角形為直角三角形1．已知△ABC的三邊長a，b，c均為整數，且a和b滿足a?2+b2﹣6b+9＝0，試求c【思路引領】已知等式左邊后三項利用完全平方公式變形，利用非負數的性質求出a與b的值，利用三角形三邊關系求出第三邊的范圍，確定出c的值即可．【解答】解：∵a?2+b2﹣6b∴a?2+（b﹣3）2∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，即a＝2，b＝3，∴3﹣2＜c＜3+2，即1＜c＜5，則c＝2，3，4．【總結提升】此題考查了配方法的應用，三角形三邊關系，以及非負數的性質，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．易錯點2誤認為c為直角三角形的斜邊2．在△ABC中，已知∠B＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，且a＝6，b＝8，求c的長．【思路引領】直接根據勾股定理即可得出結論；【解答】解：∵在△ABC中，已知∠B＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，且a＝6，b＝8，∴c=82?【總結提升】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，若a2+b2≠c2，則這個三角形是不是直角三角形？請說明理由．【思路引領】當c為最長邊時，△ABC不是直角三角形；當c不為最長邊時，若a2+c2＝b2或b2+c2＝a2，則△ABC是直角三角形，即可得出結論．【解答】解：若a2+b2≠c2，則這個三角形不一定是直角三角形，理由如下：當c為最長邊時，∵a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形；當c不為最長邊時，若a2+c2＝b2或b2+c2＝a2，則△ABC是直角三角形；∴若a2+b2≠c2，則這個三角形不一定是直角三角形．【總結提升】本題考查了勾股定理的逆定理、分類討論等知識，熟練掌握勾股定理的逆定理并進行分類討論是解題的關鍵．易錯點3忽視分類討論4．（2022春?關嶺縣期中）若一直角三角形兩邊長分別為12和5，則第三邊長為（）A．13或119 B．13或19 C．13或15 D．15【思路引領】本題已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長邊12既可以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長必須分類討論，即12是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解．【解答】解：當12是斜邊時，第三邊是122當12是直角邊時，第三邊是122故選：A．【總結提升】本題主要考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解答本題的關鍵．5．（2022秋?冠縣期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一個銳角為60°，BC＝6，若點P在直線AC上（不與點A、C重合），且∠ABP＝30°，則CP的長為（）A．6或23 B．6或43 C．23或43 【思路引領】根據點P在直線AC上的不同位置，∠ABP＝30°，利用特殊角的三角函數進行求解．【解答】解：如圖1：當∠C＝60°時，∠ABC＝30°，與∠ABP＝30°矛盾；如圖2：當∠C＝60°時，∠ABC＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠CBP＝60°，∴△PBC是等邊三角形，∴CP＝BC＝6；如圖3：當∠ABC＝60°時，∠C＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠PBC＝60°﹣30°＝30°，∴PC＝PB，∵BC＝6，∴AB＝3，∴PC=PB=如圖4：當∠ABC＝60°時，∠C＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠PBC＝60°+30°＝90°，∴PC=BC故選：D．【總結提升】本題考查利用特殊角的三角函數值求線段的長，解題的關鍵是確定點P在直線AC上的不同位置．6．（2023春?青云譜區(qū)月考）已知CD是△ABC的邊AB上的高，若CD=3，AD＝1，AB＝2AC，求BC【思路引領】分兩種情況：①當△ABC是銳角或直角三角形，如圖1，②當△ABC是鈍角三角形，如圖2，分別根據勾股定理計算AC和BC即可．【解答】解：分兩種情況：①當△ABC是銳角或直角三角形，如圖1，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∵CD=3，AD∴AC＝2，∵AB＝2AC，∴AB＝4，∴BD＝4﹣1＝3，∴BC=CD2②當△ABC是鈍角三角形，如圖2，同理得：AC＝2，AB＝4，∴BC=CD2綜上所述，BC的長為23或27．【總結提升】本題考查了三角形的高、勾股定理的應用，在直角三角形中常利用勾股定理計算線段的長，要熟練掌握．7．（2022秋?禪城區(qū)月考）某園藝公司對一塊直角三角形的花圃進行改造，測得兩直角邊長為6m、8m．現要將其擴建成等腰三角形，且擴充部分是以8m長的邊為直角邊的直角三角形．（如圖所示：假設Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6m，AC＝8m）（1）求原花圃周長．（2）請設計出擴建后為等腰三角形花圃的所有合適的方案．（畫出草圖，并注意指出哪兩條是腰）（3）求擴建后的等腰三角形花圃的周長．【思路引領】（1）利用勾股定理計算出斜邊的長，即可求解；（2）利用等腰三角形的性質分別畫出符合題意的圖形求出即可；（3）根據所畫出的圖形，利用三角形的周長公式以及勾股定理計算即可得出答案．【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6m，AC＝8m，∴AB=6∴原花圃周長為6+8+10＝24（m）；（2）如圖①所示，AB＝AD＝10（m）；如圖②所示，BD＝AB＝10（m）；如圖③所示，BD＝AD；（3）如圖①，擴建后的等腰三角形花圃的周長為2×（6+10）＝32（m）；如圖②，AD=4∴擴建后的等腰三角形花圃的周長為2×10+45如圖③所示：在Rt△ACD中，AC2+DC2＝AD2，即82+x2＝（x+6）2，解得：x=73，∴擴建后的等腰三角形花圃的周長為2×25故擴建后的等腰三角形花圃的周長為32m或(20+45)m或【總結提升】此題主要考查了應用設計與作圖、勾股定理以及等腰三角形的性質等知識點的理解和掌握，能通過分類求出等腰三角形的所有情況是解此題的關鍵．易錯點4忽視使用勾股定理的條件8．（2022春?米東區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，已知AB＝5，AD＝3，則BC的長為（）A．4 B．6 C．8 D．10【思路引領】利用等腰三角形的三線合一性質可得BC＝2BD，AD⊥BC，從而可得∠ADB＝90°，然后在Rt△ADB中，利用勾股定理求出BD的長，最后進行計算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，∴BC＝2BD，AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AB＝5，AD＝3，∴BD=A∴BC＝2BD＝8，故選：C．【總結提升】本題考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．9．（2023秋?崇安區(qū)期末）△ABC中，AB＝10，BC＝16，BC邊上的中線AD＝6，則AC＝10．【思路引領】首先根據中線的定義得BD＝8，則有BD2+AD2＝AB2．根據勾股定理的逆定理得AD⊥BC，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，得AC＝AB＝10．【解答】解：由題可知，在△ABD中，AB＝10，BD=12BC＝8，因為AD2+BD2＝AB2，所以△ABD為直角三角形，即AD⊥BC，又因為BD＝DC，根據線段垂直平分線的性質，所以AC＝AB＝10．【總結提升】能夠運用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形．熟悉線段垂直平分線的性質．易錯點5忽視勾股數中“正整數”的條件10．下列各組數中，是勾股數的是（）A．9，40，41 B．2，22 C．5，4，41 D．3k，4k，5k（k為整數）【思路引領】利用勾股數定義進行分析即可．【解答】解：A、92+402＝412，且為整數，因此是勾股數，符合題意思；B、2不是整數，因此不是勾股數，不符合題意思；C、41不是整數，因此不是勾股數，不符合題意思；D、當k＝0時，3k＝4k＝5k＝0，（3k）2+（4k）2≠（5k）2，因此不是勾股數，不符合題意思；故選：A．【總結提升】此題主要考查了勾股數，關鍵是掌握滿足a2+b2＝c2的三個正整數，稱為勾股數．11．下列幾組數中是勾股數的有（）①9，40，41；②13，14，15；③3k，4k，5k（k為正整數）；④23，2，7A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【思路引領】根據勾股數的定義：滿足a2+b2＝c2的三個正整數，稱為勾股數解答即可．【解答】解：①92+402＝412，且9，40，41都是正整數，是勾股數，符合題意；②132+142≠152，不是勾股數，不符合題意；③（3k）2+（4k）2＝（5k）2，且3k，4k，5k（k為正整數）都是正整數，是勾股數，符合題意；④23，2，7綜上所述，有2組符合題意．故選：B．【總結提升】本題考查了勾股數的定義，注意：一組勾股數必須同時滿足兩個條件：①三個數都是正整數；②兩個較小數的平方和等于最大數的平方．類型二?？家呻y問題突破疑難點1規(guī)律探究問題12．（2023春?呂梁期中）細心觀察圖形，認真分析下列各式，然后解答問題．OA22=（1）2+1＝2，SOA32=12+（2）2＝3，SOA42=12+（3）2＝4，（1）請用含有n（n是正整數）的等式表示上述變規(guī)律：OAn2=n，Sn＝（2）求出OA10的長．（3）若一個三角形的面積是5，計算說明它是第幾個三角形？【思路引領】（1）根據題意計算求出OAn2和S（2）根據（1）中的規(guī)律計算即可；（3）根據（1）的結論列出方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）根據上述變規(guī)律筷子，OAn2=12+（(n?1)）2Sn=n故答案為：n；n2（2）OA10=10（3）設它是第m個三角形，由題意得，m2解得，m＝20答：一個三角形的面積是5，它是第20個三角形．【總結提升】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．13．（2021春?蓬江區(qū)期中）陳老師在一次“探究性學習”課中，設計了如下數表：n2345…a22﹣132﹣152﹣1…b46810…c22+132+152+1…（1）補充完整表格：（2）請你分別觀察a，b，c與n之間的關系，并用含自然數n（n＞1）的代數式表示；（3）猜想：以a，b，c為邊長的三角形是否為直角三角形，并證明你的猜想．【思路引領】（1）按表中數字規(guī)律填寫即可．（2）用n表示出變化規(guī)律．（3）利用勾股定理的逆定理判斷即可．【解答】解：（1）由表得，當n＝4時，a＝42﹣1，c＝42+1，故答案為：42﹣1，42+1．（2）當n＝2時，a＝22﹣1，b＝4，c＝22+1，當n＝3時，a＝32﹣1，b＝6，c＝32+1，當n＝4時，a＝42﹣1，b＝8，c＝42+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．（3）是直角三角形．a2＝（n2﹣1）2＝n4﹣2n2+1，b2＝（2n）2＝4n2，c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1，∵a2+b2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，∴a2+b2＝c2，∴以a，b，c為邊長的三角形是否為直角三角形．【總結提升】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．疑難點2數學建模問題14．設計師要用四條線段CA，AB，BD，DC首尾相接組成如圖所示的兩個直角三角形圖案，∠C與∠D為直角，已知其中三條線段的長度分別為1cm，9cm，5cm，第四條長為xcm，試求出所有符合條件的x的值．【思路引領】顯然AB是四條線段中最長的線段，分AB＝x或AB＝9兩種情況來討論．【解答】解：顯然AB是四條線段中最長的線段，分AB＝x或AB＝9兩種情況來討論．把AB平移至ED（如圖所示）．①若AB＝x，當CD＝9時，則x=9當CD＝5時，則x=5當CD＝1時，則x=1②若AB＝9，當CD＝5時，由（x+1）2+52＝92，得x=214當CD＝1時，由（x+5）2+12＝92，得x=45當CD＝x時，由x2+（1+5）2＝92，得x=35（以上每種情況2分）…（12分）【總結提升】本題考查勾股定理的知識，解題關鍵是分AB＝x或AB＝9兩種情況進行討論，注意不要漏解．15．（2021?黔東南州模擬）黔東南州某校楊老師組織數學興趣小組開展探究代數式x2+1+(4?x)2+4（x≥0）的最小值，王老師巧妙的運用了“數形結合”的思想，具體做法是：如圖，C為線段BD上一動點，分別過B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB＝1，DE＝2，BD＝4．設BC＝x，則AC=x2【探究發(fā)現】（1）我們知道當A、C、E在同一直線上時，AC+CE的值最小，于是可求得x2+1+(4?x)2+4（x≥0）的最小值等于5（2）請你利用上述方法和結論，試構圖求出代數式x2+4+【拓展遷移】（3）請你用構圖的方法試求(4+x)2+4【思路引領】（1）如圖1中，C為線段BD上一動點，分別過B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB＝1，DE＝2，BD＝4．設BC＝x，則AC=x2+1，CE=(4?x)（2）模仿（1）解決問題即可．（3）如圖3，取線段BD＝4，在線段BD所在直線的同側分別過B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB＝1，DE＝2，連接EA，并延長EA交DB的延長線于點C，則線段AE的長為：(x+4)2+4?【解答】解：（1）如圖1中，C為線段BD上一動點，分別過B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB＝1，DE＝2，BD＝4．設BC＝x，則AC=x2+1，CE=(4?x)過點A作AF⊥ED交ED的延長線于F．則四邊形ABDF是矩形，∴AF＝BD＝4，AB＝DF＝1，∵DE＝2，∴EF＝3，∴AE=A∵AC+EC≥AE，∴AC+EC≥5，∴AC+CE的最小值為5，此時4?x4=23∴x2+1+（2）如圖2，取線段BD＝12，分別過B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB＝2，DE＝3，連接AE，則AE為x2+4+過點A作AF⊥ED交ED的延長線于F．則四邊形ABDF是矩形，∴AF＝BD＝12，AB＝DF＝2，∵DE＝3，∴EF＝5，∴AE=A（3）如圖3，取線段BD＝4，在線段BD所在直線的同側分別過B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB＝1，DE＝2，連接EA，并延長EA交DB的延長線于點C，則線段AE的長為：(x+4)2+4?x2【總結提升】本題屬于三角形綜合題，考查了勾股定理，最值問題等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題，中用轉化的思想解決問題，屬于中考壓軸題．疑難點3最短路徑問題16．（2020秋?嶧城區(qū)期中）已知長方體的長2cm、寬為1cm、高為4cm，一只螞蟻如果沿長方體的表面從A點爬到B′點，那么沿哪條路最近，最短的路程是（）A．29cm B．5cm C．37cm D．4.5cm【思路引領】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將正方體展開，然后利用兩點之間線段最短解答．【解答】解：根據題意，如圖所示，最短路徑有以下三種情況：（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪開，得圖1：AB′2＝AB2+BB′2＝（2+1）2+42＝25；（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪開，得圖2：AB′2＝AC2+B′C2＝22+（4+1）2＝4+25＝29；（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪開，得圖3：AB′2＝AD2+B′D2＝12+（4+2）2＝1+36＝37；綜上所述，最短路徑應為（1）所示，所以AB′2＝25，即AB′＝5cm，故選：B．【總結提升】此題考查了平面展開﹣最短路徑問題，將長方體從不同角度展開，是解決此類問題的關鍵，注意不要漏解．17．（2022秋?