PAGEPAGE1專題31不等式的性質一．學習目標【學習目標】1．了解現實世界和日常生活中的不等關系．2．了解不等式(組)的實際背景．3．駕馭不等式的性質及應用．二．學問點【學問要點】1．不等式的定義用不等號“>，≥，＜，≤，≠”將兩個數學表達式連接起來，所得的式子叫做不等式．2．實數大小依次與運算性質之間的關系a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a<b．3．不等式的性質(1)對稱性：a>b?b<a；(2)傳遞性：a>b，b>c?a>c；(3)可加性：a>b?a+c>b+c；a>b，c>d?a+c>b+d；(4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；a>b>0，c>d>0?ac>bd；(5)倒數法則：a>b，ab>0?；(6)乘方性質：a>b>0?(n≥2，n∈N*)；(7)開方性質：a>b>0?(n≥2，n∈N*)；(8)有關分數的性質：若a>b>0，m>0，則①真分數的性質：eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)；②假分數的性質：eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．4．基本不等式(1)a2＋b2≥2ab；變式：eq\f(a2＋b2,2)≥ab；當且僅當a＝b時等號成立；(2)假如a≥0，b≥0，則eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)；變式：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，當且僅當a＝b時，等號成立，其中eq\f(a＋b,2)叫做正數a，b的算術平均數，eq\r(ab)叫做正數a，b的幾何平均數．5．(1)若a>0，b>0，且a＋b＝P(定值)，則由ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(P2,4)可知，當a＝b時，ab有最大值eq\f(P2,4)；(2)若a>0，b>0且ab＝S(定值)，則由a＋b≥2eq\r(ab)＝2eq\r(S)可知，當a＝b時，a＋b有最小值2eq\r(S).三．命題類型1.不等式的性質應用2.不等式與函數綜合3.比較大小4.用不等式性質證明不等式5.不等式中的含參數問題四．命題類型及陷阱解讀1.不等式的性質應用例1.設，，，則，的大小關系是(

)A.B.C.D.不確定【答案】C練習1．假如，且，那么的大小關系為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵，∴，且．又，∴．選B．2．設a>0,b>0,則以下不等式中不恒成立的是()A.(a+b)≥4B.a3+b3≥2ab2C.a2+b2+2≥2a+2bD.【答案】B【解析】∵a>0,b>0,∴(a+b)()=2++≥4恒成立.又a2+b2+2-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)2≥0,∴a2+b2+2≥2a+2b恒成立.當a≥b時,()2=a-b.而()2=a+b-2=a-b+2b-2=(a-b)+2().∵a≥b>0,∴≤0.∴(a-b)+2()≤a-b,即≥.當a<b時,>0.而<0,∴≥成立.答案:B3．設a、b∈R+,,,則A、B的大小關系是()A.A≥BB.A≤BC.A>BD.A<B【答案】C【解析】∵a、b∈R+,∴A2=a+b+2>a+b=B2,∴A2>B2.∴A>B.答案:C4．設a=dx，b=dx，c=dx，則下列關系式成立的是()A.<<B.<<C.<<D.<<【答案】C2.不等式與函數綜合例2.．已知函數，（），若對隨意的（），恒有，那么的取值集合是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】當時，，畫出圖象如下圖所示，由圖可知，時不符合題意，故選.【點睛】本題主要考查含有肯定值的不等式的解法，考查選擇題的解題策略中的特別值法.主要的須要滿意的是，依據不等式的解法，大于在中間，小于在兩邊，可化簡為，左右兩邊為二次函數，中間可以由對數函數圖象平移得到，由此畫出圖象驗證是否符合題意.練習1．已知，若恒成立，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由，得作出可行域如圖，令z=x﹣y，則使目標函數取得最大值的最優解為B（3，﹣7），此時z的最大值為10．∴x﹣y＜λ恒成立的λ的取值范圍是[10，+∞）．故答案為：C。2．若不等式對隨意的恒成立，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】當時，原不等式化為，不恒成立，解除，故選.3．若x≠－2且y≠1，則M＝x2＋y2＋4x－2y的值與－5的大小關系是()A.M>－5B.M<－5C.M≥－5D.M≤－5【答案】A3.比較大小例3.設，，，則的大小關系是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，即，選.練習1．設，則的大小關系是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因為，所以,選B.2．已知實數，，，則的大小關系是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵，∴；又∴，∴，即．選B．【方法總結】：比較大小的常用方法。（1）構造函數，推斷出函數的單調性，讓所要比較大小的數在同一單調區間內，然后利用單調性進行比較．（2）作差與零比較，即．（3）作商與1比較，即．3．若，，則，，中最大的數為（）A.B.C.D.無法確定【答案】C【解析】∵，，∴,即,；又，（）∴最大的數為故選：C4．設=對于隨意的若當時,恒有意義,則實數的取值范圍是A.B.C.D.【答案】D【解析】令,因為對于隨意的當時,恒有意義,5．已知函數的定義域為若對于隨意的都有則稱為上的凹函數.由此可得下列函數中的凹函數為A.B.C.D.【答案】A【解析】對于函數==,因為,所以,則,所以是凹函數.故選A.4.用不等式性質證明不等式例4.（1）已知，求各自的取值范圍.（2）若關于的不等式的解集為，求不等式的解集.【答案】（1），，；（2）.【解析】試題分析：（1）因為，得到，，，進而可求解各自的取值范圍.（2）由題意可知方程的兩根為，由韋達定理得得到不等式，即可求解不等式的解集.試題解析：（2）由題意可知方程的兩根為，所以，解得，不等式，即為，其解集為.練習1．已知，求證：【答案】證明見解析【解析】試題分析：由題意利用不等式的性質可得，，然后結合不等式的結論即可證得題中的結論.試題解析：證明：2．已知為隨意實數．（1）求證：；（2）求函數的最小值．【答案】（1）見解析；（2）1．【解析】試題分析：(1)利用不等式的性質兩邊做差即可證得結論；(2)利用題意結合不等式的性質可得.試題解析：（1），因為，所以.（2）.即.【方法總結】：本題難以想到利用肯定值三角不等式進行放縮是失分的主要緣由；對于需求最值的狀況，可利用肯定值三角不等式性質定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通過適當的添、拆項來放縮求解．3．已知數列滿意：.（1）求證：；（2）求證：.【答案】(1)見解析;(2)見解析.【解析】試題分析：（1）依據，證明右邊，再依據基本不等式，證明不等式的左邊；（2）利用反證法，設存在，利用條件和（1）逐步推得沖突.于是，…….累加可得（*）由（1）可得，而當時，明顯有，因此有，這明顯與（*）沖突，所以.4．已知函數與的圖象在點處有相同的切線．（Ⅰ）若函數與的圖象有兩個交點，求實數的取值范圍；（Ⅱ）若函數有兩個極值點，，且，證明：．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）證明過程見解析；【解析】（Ⅰ）首先依據兩函數在某點處有相同的切線，建立關于兩函數解析式中參數的方程，求得兩函數的解析式，再由題意構造新函數，將問題轉化為新函數的單調性與最值問題進行求解；（Ⅱ）由題意，可將問題轉化為其導數的兩個根，再依據其函數的單調性，從而證明不等式立.（Ⅱ）由題意，函數，其定義域為，，令，得，其判別式，函數有兩個極值點，，等價于方程在內有兩不等實根，又，故．所以，且，，，令，，則，由于，∴，故在上單調遞減．故．所以，所以．【方法總結】：此題主要考查函數導數的幾何意義，以及函數單調性、最值在不等式證明中的綜合應用實力等有關方面的學問，屬于高檔題型，也是高頻考點.在問題（Ⅰ）中依據導數幾何意義建立方程組，求出函數解析式，再由題意構造函數，將問題轉化為求函數的零點個數，利用導數求出函數的最值、單調區間，從而求出實數的取值范圍；在問題（Ⅱ）中，由（Ⅰ）可求出函數的解析式，依據導數與極值點的關系求出參數的范圍，并求出參數與極值點的關系式，依據問題構造新的函數，再用函數的單調性證明不等式成立.5．已知函數，（Ⅰ）若，求的定義域；（Ⅱ）若在（，5］內有意義，求的取值范圍；【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】試題分析：（1）依據對數的真數大于0，求解即可；（2）轉化為在(－1,5］上，分別參數即可求解.試題解析：（Ⅰ）6．已知函數的定義域為，其中為常數；（1）若，且是奇函數，求的值；（2）若，，函數的最小值是，求的最大值；（3）若，在上存在個點，滿意，，，使得，求實數的取值范圍；【答案】(1)(2)(3)【解析】試題分析：（1）因為函數為奇函數，依據奇函數定義可得可得對隨意恒成立，變形可得對隨意恒成立，可求；(2)將函數的解析式探討去掉肯定值號，。兩段函數的對稱軸都為，因為。探討與-1的大小，可得兩段二次函數在區間上的單調性，求得最小值。得最小值，求兩段的取值范圍，取較大的為最大值。（3）由（2）可知在上單調遞增，在上單調遞減，所以，由肯定值不等式可得，所以，整理得，解得為所求.試題解析：解：(1)∵是奇函數，∴對隨意恒成立，∴，即對隨意恒成立，∴；(2)，∵，∴，∴，①當時，，在上遞減，在遞增，②當時，，在上單調遞增，綜上所述，，若，則；若，則∴當時，(3)∵，且在上單調遞增，在上單調遞減，∴而要使滿意條件的點存在，必需且只需，即，解得為所求.【方法總結】1、函數為奇函數，求解析式中字母的值：方法一，奇函數定義；方法二，定義域中特別的自變量，；方法三，如定義域中含有0，則。2、解析式含肯定值的函數，求最值時，應探討去掉肯定值號，轉化為分段函數求最值。3、二次函數求最值，當對稱軸不確定時，應探討與定義域端點的大小，推斷函數的單調性求最值。5.不等式中的含參數問題例5.若不等式對隨意，恒成立，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B練習1．已知，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵a，b∈R+，∴，可得≥．∵，∴（a+b）=5≥（a+b），化為：（a+b）2﹣5（a+b）+4≤0，解得1≤a+b≤4，則a+b的取值范圍是[1，4]．故選：A．【方法總結】：本題主要考查基本不等式，其難點主要在于利用三角形的一邊及這條邊上的高表示內接正方形的邊長.在用基本不等式求最值時，應具備三個條件：一正二定三相等.①一正：關系式中，各項均為正數；②二定：關系式中，含變量的各項的和或積必需有一個為定值；③三相等：含變量的各項均相等，取得最值.2．設，函數，則恒成立是成立的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由“恒成立”可得，所以成立；反之，當成立時，則無法得到成立．所以“恒成立”是“成立”的充分不必要條件．選A．3．對于函數，在使成立的全部常數中，我們把的最大值叫做的下確界，則對于，且不全為0，的下確界是（）A.B.2C.D.4【答案】A【解析】∵a2+b2≥2ab，∴對于正數a，b，∴函數的下確界是故選A【方法總結】：本題考查函數的值域和基本不等式的應用，解題的關鍵是求出函數的值域，本題是一個新定義問題，留意理解所給的新定義．4．已知函數（為常數，且），對于定義域內的隨意兩個實數、，恒有成立，則正整數可以取的值有（）個A.4B.5C.6D.7【答案】B【方法總結】：本題主要考查了函數最大值與最小值，以及換元法求函數最值，涉及三角函數的化簡求值，屬于難題.本題在解決時，由定義域內隨意兩個實數、，恒有成立，轉化為，是問題關鍵