大學文科數學

之

線性代數與概率統計北京師范大學珠海分校國際特許經營學院與不動產學院2004-2005學年第二學期歐陽順湘2005.5.11

在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實際應用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質，只要知道它的某些數字特征就夠了.

因此，在對隨機變量的研究中，確定某些數字特征是重要的.在這些數字特征中，最常用的是期望和方差Whenalargecollectionofnumbersisassembled,asinacensus,weareusuallyinterestednotintheindividualnumbers,butratherincertaindescriptivequantitiessuchastheaverageorthemedian.Ingeneral,thesameistruefortheprobabilitydistributionofanumerically-valuedrandomvariable.Inthisandinthenextsection,weshalldiscusstwosuchdescriptivequantities:theexpectedvalueandthevariance.隨機變量的期望(均值)ExpectedValueorExpectationorMeanorAverageNumber要點期望的定義離散型隨機變量的期望連續型隨機變量的期望期望的意義期望的應用ExpectedValue

ofDiscreteRandomVariables離散型隨機變量的分布列完全描述了這個隨機變量的取值規律,但在許多實際問題中,我們并不需要這樣的“全面描述”,而是希望能有一個數來描述這個隨機變量的“平均取值”.例如,同一品種的小麥,每畝地的產量不會完全相同,人們關心的是平均產量.同是7歲的男孩，體重并不一致，為了考察兒童的發育狀況,人們更關心他們的平均體重.隨機變量的取值在事前無法預知,取各個值的概率一般也不盡相同.那么,怎樣的一個數能夠“代表”這個隨機變量取值的平均水平呢?我們先來看看下面常見的求平均值的問題問題

設有12個西瓜,其中有4個重5公斤,3個重6公斤,5個重7公斤,求西瓜的平均重量.西瓜的平均重量應為12個瓜的總重量除以瓜的總個數,即

注意到上式的計算也可寫成如下形式:其中4/12,

3/12

5/12分別為重量是5、6、7公斤的西瓜數在總西瓜數中所占的比重.加權平均西瓜的平均重量可以寫成各重量與相應重量的瓜數在所有瓜數中的比重的乘積和現在從這12個西瓜中隨機取一個.則取得的西瓜的重量X(單位:公斤)是一個隨機變量,可能取值為5,6,7.X的分布列為定義1設X是離散型隨機變量，它的概率函數是:P(X=Xk)=pk

,k=1,2,…也就是說,離散型隨機變量的數學期望是一個絕對收斂的級數的和.如果有限,定義X的數學期望Example2

Letanexperimentconsistoftossingafaircointhreetimes.HHH３HHT２HTH２THH２TTH１THT１HTT１TTT０TTT

０TTH,THT,HTT

１HHT,HTH,THH２HHH

３1/83/83/81/8Example1

Letanexperimentconsistoftossingafaircointhreetimes.HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTTLetXdenotethenumberofheadswhichappear.

ThenthepossiblevaluesofXare0,1,2and3.

Thecorrespondingprobabilitiesare1/8,3/8,3/8,and1/8.Thus,theexpectedvalueofXequals二項分布的期望設Ｘ～Ｂ(n,p)E(X)=npProof:例如，對上面的例子，Ｘ～B(3,1/2)E(X)=3/2Exercise２InLasVegas,aroulettewheelhas38slotsnumbered0,00,1,2,...,36.The0and00slotsaregreen,andhalfoftheremaining36slotsareredandhalfareblack.Acroupierspinsthewheelandthrowsanivoryball.Ifyoubet1dollaronred,youwin1dollariftheballstopsinaredslot,andotherwiseyouloseadollar.Wewishtocalculatetheexpectedvalueofyourwinnings,ifyoubet1dollaronred.LetXbetherandomvariablewhichdenotesyourwinningsina1dollarbetonredinLasVegasroulette.ThenthedistributionofXisgivenby期望的解釋投擲一枚均勻的骰子,只可能出現1點,2點,…

,6點,怎樣解釋這個均值7/2呢?觀察一個隨機變量X,你能期望它取得均值EX嗎?投擲一枚骰子100次后所得點數和近似于100×7/2=350例3某人的一串鑰匙上有n把鑰匙，其中只有一把能打開自己的家門，他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門.若每把鑰匙試開一次后除去，求打開門時試開次數的數學期望.解:設試開次數為X,P(X=k)=1/n,k=1,2,…,nE(X)于是二、連續型隨機變量的數學期望設X是連續型隨機變量，其密度函數為f(x),在數軸上取很密的分點x0<x1<x2<…,則X落在小區間[xi,xi+1)的概率是小區間[xi,xi+1)陰影面積近似為小區間[Xi,Xi+1)由于xi與xi+1很接近,所以區間[xi,xi+1)中的值可以用xi來近似代替.這正是的漸近和式.陰影面積近似為近似,因此X與以概率取值xi的離散型r.v

該離散型r.v

的數學期望是由此啟發我們引進如下定義.定義2設X是連續型隨機變量，其密度函數為f(x),如果有限,定義X的數學期望為也就是說,連續型隨機變量的數學期望是一個絕對收斂的積分.

若X~U(a,b),即X服從(a,b)上的均勻分布,則由隨機變量數學期望的定義，不難計算得：若X服從特別,如果X服從N(0,1)則,E(X)=0

這意味著，若從該地區抽查很多個成年男子，分別測量他們的身高，那么，這些身高的平均值近似是1.68.已知某地區成年男子身高X~練習ThetimebetweenarrivalsisanexponentiallydistributedrandomvariableXwithdensityfunctionFindtheexpectedvalueofthetimebetweenarrivals.三、數學期望的性質

1.設C是常數，則E(C)=C;4.設X、Y獨立，則E(XY)=E(X)E(Y);

2.若k是常數，則E(kX)=kE(X);

3.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);（諸Xi獨立時）注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨立例6某射擊隊共有9名隊員,技術不相上下,每人射擊中靶的概率均為0.8.進行射擊時，各自打中靶為止為止，但限制每人最多只打3次，問大約要為他們準備多少發子彈?設

i為第i名隊員所需子彈數，

為9名隊員所需子彈數目=1+2+3+…9E=E(1+2+3+…+9)

=E1+E2+E3+…+E9=9E1S:success射中F:Failure

不射中P(=1)=P(S)=0.8P(=2)=P(FS)=0.2

0.8P(=3)=P(FFS+FFF)=P(FFS)+P(FFF)

=0.2

0.2

0.8+0.2

0.2

0.2=0.2

0.2例Acoinistossedtwice.Xi=1ifthe

ithtossisheadsand0otherwise.WeknowthatX1andX2areindependent.Theyeachhaveexpectedvalue1/2.ThusE(X1·X2)=E(X1)E(X2)=(1/2)(1/2)=1/4.隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性是概率論中的一個重要概念兩事件A,B獨立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨立.設X,Y是兩個r.v，若對任意的x,y,有則稱X,Y相互獨立.兩隨機變量獨立的定義是：例 WeflipacoinandletXhavethevalue1ifthecoincomesupheadsand0ifthecoincomesuptails.Then,werolladieandletYdenotethefacethatcomesup.ItreasonabletoassumethatXandYareindependent.WhatdoesX+Ymean,andwhatisitsdistribution?Thisquestioniseasilyansweredinthiscase,byconsideringthejointrandomvariableZ=(X,Y),whoseoutcomesareorderedpairsoftheform(x,y)用分布函數表示,即設X,Y是兩個r.v，若對任意的x,y,有則稱X,Y相互獨立.

它表明，兩個r.v相互獨立時，它們的聯合分布函數等于兩個邊緣分布函數的乘積.其中是X,Y的聯合密度，幾乎處處成立，則稱X,Y相互獨立.對任意的x,y,

有若(X,Y)是連續型r.v，則上述獨立性的定義等價于：這里“幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去面積為0的集合外，處處成立.分別是X的邊緣密度和Y

的邊緣密度.若(X,Y)是離散型r.v，則上述獨立性的定義等價于：則稱X和Y相互獨立.對(X,Y)的所有可能取值(xi,

yj),有四、數學期望性質的應用例1求二項分布的數學期望若X~B(n,p)，則X表示n重貝努里試驗中的“成功”次數.現在我們來求X的數學期望.可見，服從參數為n和p的二項分布的隨機變量X的數學期望是np.

X~B(n,p),若設則X=X1+X2+…+Xn=

npi=1,2，…，n因為P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以E(X)=則X表示n重貝努里試驗中的“成功”次數.E(Xi)==p例保險問題例

設某保險公司有10000人參加人身意外保險.該公司規定:每人每年付公司120元,如果遇到意外死亡,公司將賠償10000元.如果每人每年意外死亡率為0.006,試討論該公司是否會虧本(不考慮公司的其他賠償費用、開支和收入).如果用X表示這10000人中意外死亡的人數,那么X服從參數為n=10000;p=0.006的二項分布,即死亡X人時,公司要賠償X萬元,它的利潤是(120-X)萬設某保險公司有10000人參加人身意外保險.該公司規定:每人每年付公司120元,如果遇到意外死亡,公司將賠償10000元.如果每人每年意外死亡率為0.006,求該保險公司的年平均利潤.用X表示投保的10000人中意外死亡的人數,則X~B(10000;0.006),則每年的死亡人數平均為EX=10000*0.006=60.因此,年平均損失為60萬元.這樣,該公司的年平均利潤為120-60＝60萬元.隨機變量函數的數學期望

1.問題的提出：設已知隨機變量X的分布，我們需要計算的不是X的期望，而是X的某個函數的期望，比如說g(X)的期望.那么應該如何計算呢？如何計算隨機變量函數的數學期望?一種方法是，因為g(X)也是隨機變量，故應有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來.一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計算出來.

使用這種方法必須先求出隨機變量函數g(X)的分布，一般是比較復雜的.那么是否可以不