PAGEPAGE10北京市海淀區2024-2025學年高二數學下學期期中試題2024.4本試卷共4頁，100分.考試時長90分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知等差數列中，，公差，則（）A.9B.10C.11D.122.已知等比數列的公比為，前項和為若，則（）A.8B.12C.14D.163.函數的導函數（）A.B.C.D.4.已知函數的圖象如圖所示，則的微小值點的集合為（）A.B.C.D.5.已知函數若對于隨意都有，則實數的范圍是（）A.B.C.D.6.科學家經過長期監測，發覺在某一段時間內，某物種的種群數量可以近似看作時間的函數，記作，其瞬時改變率和的關系為，其中為常數.在下列選項所給函數中，可能是（）A.B.C.D.7.若函數有唯一零點，則實數的取值范圍為（）A.B.C.D.或8.一個小球作簡諧振動，其運動方程為，其中(單位：是小球相對于平衡點的位移，(單位：)為運動時間，則小球的瞬時速度首次達到最大時，（）A.1B.C.D.9.已知等比數列滿意，記，則數列（）A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項C.無最大項，有最小項D.無最大項，無最小項10.已知等比數列滿意若，則（）A.B.C.D.二?填空題：共5小題，每小題4分，共20分.11.函數在處的切線方程為__________.12.已知函數，則__________.13.已知等比數列的前項和，則__________，__________.14.已知等比數列滿意能說明“若，則為假命題的數列的通項公式__________.(寫出一個即可)15.物體的溫度在恒定溫度環境中的改變模型為：，其中表示物體所處環境的溫度，是物體的初始溫度，是經過小時后物體的溫度，且現將與室溫相同的食材放進冰箱的冷凍室，假如用以上模型來估算放入冰箱食材的溫度改變狀況，則食材的溫度在單位時間下降的幅度__________(填寫正確選項的序號).①越來越大②越來越小③恒定不變三?解答題：共4小題，每小題10分，共40分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.16.已知等差數列的前項和為，且（1）求的通項公式；（2）求數列的前20項和；（3）在數列中是否存在不同的兩項，使得它們的等比中項中至少有一個仍是該數列中的項？若存在，請寫出這兩項的值(寫出一組即可)；若不存在，請說明理由.17.已知函數（1）當時，求函數的單調區間；（2）若恒成立，求的取值范圍.18.易拉罐用料最省問題的探討.小明同學最近留意到一條新聞，易拉罐(如圖所示)作為飲品的容器，每年的用量可達數萬億個.這讓他想到一個用料最優化的問題，即在易拉罐的體積肯定的狀況下，如何確定易拉罐的高和半徑才能使得用料最省？他探討發覺易拉罐的上蓋?下底和側壁的厚度是不同的，進而結合數學建模學問進行了深化探討.以下是小明的探討過程，請你補全缺失的部分.以下是小明的探討過程，請你補全缺失的部分.（I）模型假設：①易拉罐近似看成圓柱體；②上蓋?下底?側壁的厚度到處勻稱；③上蓋?下底?側壁所用金屬相同；④易拉罐接口處的所用材料忽視不計.（II）建立模型記圓柱體積為，高為，底面半徑為，上蓋?下底和側壁的厚度分別為，金屬用料總量為C.由幾何學問得到如下數量關系：①②由①得，代入②整理得：.因為都是常數，不妨設，則用料總量的函數簡化為.請寫出表格中代入整理這一步的目的是：___________________________.（III）求解模型：所以，在___________(用表示)時，取得最小值，即在此種狀況下用料最省.(Ⅳ)檢驗模型：小明上網查閱到目前330毫升可樂易拉罐的數據，得知，代入（III）的模型結果，經計算得閱歷算，確認計算無誤，但是這與實際罐體半徑差異較大.事實上，在經濟利益驅動之下，目前的罐體成本應當已經達最優.(Ⅴ)模型評價與改進：模型計算結果與現實數據存在較大差異的緣由可能為：_________________________________________________________________________________________________.相應改進措施為：_________________________________________________________________________________________________________________________________.19.集合，集合，若集合中元素個數為，且全部元素從小到大排列后是等差數列，則稱集合為“好集合”.（1）推斷集合是否為“好集合”；（2）若集合是“好集合”，求的值；（3）“好集合”的元素個數是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.海淀區高二年級其次學期期中練習參考答案數學2024.4本試卷共4頁，100分.考試時長90分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項12345678910CCABBADDAA二?填空題共5小題，每小題4分，共20分.11.12.13.(每空2分)14.(答案不唯一)15.②三?解答題共4小題，每小題10分，共40分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.16.【解析】（1）設等差數列的公差為，由題意得，解得，所以.（2）由可得，由可得，所以，所以.（3）存在答案不唯一)17.【解析】（1）當時，，定義域為，當時，；當時，，所以的單調遞增區間是；當時，，所以的單調遞減區間是；綜上，的單調遞增區間是，單調遞減區間是.（2）定義域為，所以恒成立，等價于恒成立，設，則，當時，；當時，的單調遞增區間是；當時，的單調遞減區間是所以，的極大值，此時也是最大值，為.所以的取值范圍是.18.【解析】（2）表格中代入整理這一步的目的是：消元，消去變量，使②中的表達式只含有一個自變量.（3）解：由可得，當時，；當時，，所以的單調遞增區間是.當時，，所以的單調遞減區間是.所以，在時，取得最小值，即在此種狀況下用料最省.（Ⅴ）說明：本小題的答案不唯一，下面兩種是常見的兩個考慮維度，答出任何一條即可，但是學生指出的緣由和改進措施必需相匹配，只填出一空不給分.模型計算結果與現實數據存在較大差異的緣由可能為：①模型假設過于簡潔，把易拉罐近似看成圓柱體，但事實上易拉罐的上部為近似圓臺體，尤其是底部有凹進去的部分相應改進措施：更精細描述易拉罐，例如將易拉罐體看作是圓臺和圓柱的組合體.②模型主要考慮了如何設計使得用料最省，但事實上還須要考慮生產與運輸中的其它限制條件，還有消費者的喜好等其它因素.相應改進措施：了解在現實中，商家認為的最優內涵要素，重新界定問題.19.【解析】（1），相應的符合題意，所以是“好集合”；，因為，所以不符合題意，所以不是“好集合”；（2），相應的，又因為，所以元素由小到大排列后為：或因為這個序列是等差數列，所以公差.所以或，所以或經檢驗，當時，，符合題意；時，不符合題意.所以（3）“好集合”的元素個數存在最大值.由（2）可知即為“好集合”.以下證明都不是“好集合"，共分為兩步：先證明“好集合”的元素個數，再證明也不符合題意.不妨設，記，中的全部元素從小到大排列為，構成的等差數列公差為明顯，所以.第一步，證明“好集合”的元素個數.(反證法)假設，以下分與兩種狀況進行探討：（1）若，又因為且公差，可得，所以，所以，因為余下的兩項之和中，最小，所以，所以，因為，在余下的項中，是和是較小的，因為，所以，所以，則所以這與“中元素個數為”沖突!（2）若，則，在余下的項中，是和是較小的，①若，那么，所以，，而與“中元素個數為”沖突