2024年全國高中數學聯賽（四川預賽）試題（考試時間：2024年5月19日9:00~11:00）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分．1.設函數的零點都在區間內，則的最小值為______．【答案】4【解析】【分析】求出在的導數，得到的單調區間，結合函數的奇偶性求出所有零點所在的區間，進而求出，的值，求出答案即可．【詳解】，當時，，，∴fx在而，，時，在存在唯一零點，是偶函數，∴fx在遞減，而，，時，在存在唯一零點，∴fx零點都在故當時，取最小值，且最小值為4故答案為：42.已知，若，則的最大值為______．【答案】##【解析】【分析】由可求得，代入中變形后利用基本不等式可求得結果.【詳解】因為，所以，所以，，解得或，因為，所以，所以，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為.故答案為：3.已知函數，若f(x)在定義域內為增函數，則實數的最小值為___________【答案】1【解析】【分析】先求出導函數，要使在定義域(0,+∞)內為單調遞增函數，只需在(0,+∞)上恒成立，即在(0,+∞)上恒成立，再利用基本不等式求出，所以，從而實數的最小值為1，【詳解】解：∵函數，，.要使f(x)只需在上恒成立即可，即在上恒成立，即在上恒成立.∵，當且僅當，即時等號成立，∴，即實數的最小值為1.故答案為：1.4.用表示點與曲線上任意一點距離的最小值．已知及，設為上的動點，則的最大值為______．【答案】3【解析】【分析】由圓心距與半徑的關系可得到兩圓相離，再由題意與圓的知識即可求解．【詳解】如圖所示，得到圓心；得到圓心；由于，所以兩圓相離，因為為上的動點，，所以要使取得最大值，只需最大即可，因為，則的最大值為.故答案為：3.5.設中，，，則面積的最大值為______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理和三角形面積得，再設，利用導數求出其最值即可.【詳解】由正弦定理和已知條件得，則，所以，因為，即，則，即，結合，解得，設，則,有,令，解得，當，，此時在單調遞增；當，，此時在單調遞減；所以，所以面積的最大值為.故答案為：.6.將邊長為1正方體的上底面繞著其中心旋轉得到一個十面體（如圖），則該十面體的體積為______．【答案】【解析】【分析】補全正方體，該十面體的體積等于棱長為1的正方體的體積去掉四個三棱錐體積再加上四個四棱錐的體積，利用錐體的體積公式即可求解.【詳解】如圖作出原正方體，與，的交點分別為，，與的交點為，上底面非重疊部分是8個全等的等腰直角三角形，設每個等腰直角三角形的邊長為，則，所以，所以，設該十面體的體積為，.故答案：.7.若，則的末尾數字0的個數為______.【答案】3【解析】【分析】根據等比數列求和公式可得，然后利用二項式定理即可求解.【詳解】由于，故，由于，由于，末尾有3個0，且大小遠遠超過1000，因此的末尾數字0的個數為3，故答案為：38.記，，集合的子集，滿足，則符合條件的集合的個數為______．（用具體數字作答）【答案】【解析】【分析】分類討論并使用捆綁法求解.【詳解】不妨設，對，如果，就在這兩個數之間畫一條紅線；如果，就在這兩個數之間畫一條藍線.顯然，一個數不能同時引出兩條線①如果總共有兩條線，線在不考慮顏色的情況下的組合方式有3種，每種線都對應如下問題：在中取三個數，任意兩個數之差大于6（如果兩線均為紅，；如果一紅一藍，；如果都是藍，）這又等價于在中任取三個數，有種所以此時有種；②如果總共有一條線，線在不考慮顏色的情況下有4種可能，每種線都對應如下問題：在中取四個數，任意兩個數之差大于6（如果是紅線，；如果是藍線，）這又等價于在中任取四個數，有種取法所以此時有種③如果沒有線，那么就是在中取五個數，任意兩個數之差大于6，這不可能.所以總共有種.故答案：717.二、解答題：本大題共3小題，滿分56分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．9.已知為正實數，若曲線與橢圓交于兩個不同的點，求證：直線的斜率．【答案】證明見解析【解析】【分析】設交點，由對數不等式得，根據和相加、相減得、，最后根據得求解即可.【詳解】設，其中．由對數不等式：若，，則．取，，得．．．①將和相減，得，．②再將和相加，得．③注意到：時，由知，結合①、②、③，知，，即，解得．【點睛】關鍵點點睛：本題考查曲線與橢圓相交的斜率問題，解題關鍵是根據對數不等式、重要不等式以及兩點的斜率公式得不等式關系.10.設復數滿足：．求的最小值．【答案】【解析】【分析】取為實數，利用柯西不等式求出最小值，再就復數，利用反證法，結合空間向量推理論證最小值為.【詳解】一方面，當均為實數時，，即，當且僅當時取等號，則當或時，；另一方面，下證：，由于旋轉同一個角度，已知和結論不變，因此，不妨設為實數，設，，，其中，則條件變為：，且，①待證式變為：，即，因此，只需證明：，②（反證法）假設結論不成立，即，從而，在空間直角坐標系中，設O0,0,0，，，，則，，由，得，記在面上的投影為，則，因此，這里為向量與的夾角，類似得，，于是，這與，矛盾，則假設不成立，即有成立，所以的最小值為.11.給定正整數，數組稱為“好數組”是指：均不為，且對任意的，均有．求“好數組”的組數．【答案】組數為【解析】【分析】先利用數學歸納法證明引理1，引理2，即可得，即可化簡求解.【詳解】引理1：對任意正整數，若時，則，且和同奇偶；若時，則，且和不同奇偶．引理1的證明：對進行歸納．當時，由知結論成立；當時，注意到或者，從而結論也成立．假設結論對時成立，下面考慮：情形1：若．由歸納假設知，，且和同奇偶，于是和不同奇偶．由或者，知，且和同奇偶；或者，且和不同奇偶．情形2：若．由歸納假設知，，且和不同奇偶，于是和同奇偶．由或者，知，且和不同奇偶；或者，且和同奇偶．因此，結論對也成立．由歸納原理知，對任意的正整數，結論均成立．引理1得證．記為中的數組的個數，注意．約定，由題可知．（注意由引理1可知是偶數時是奇數時，所以上式對成立．）引理2：對任意正整數，有，①這里，且，②這里，注意這里的．補充定義．注意①蘊含著，這和題意一致．引理2的證明：對進行歸納，當時，對①：或1，注意到：，；對②：，注意到：．從而時，結論①、②成立．當時，對①：或1，注意到：，；對②：，注意到：．從而時，結論①、②成立．假設結論①、②對時成立，考察的情形：對于①，分情況討論：對任意，（1-1）．易知，此時結論①成立．（1-2）對任意，注意此時，，（1-3），此時，成立．所以結論①對任意