一、選擇題

1.如圖，正方形ABC。的邊長是4,ND4C的平分線交DC于點E,若點尸、Q分別是AD

和AE上的動點，則。Q+尸Q的最小值（）

A.2B.4C.272D.4&

考點：軸對稱-最短路線問題；正方形的性質

專題：探究型

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵.

2.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是菱形，

點C的坐標為（4,0）,ZA0C=60°,垂直于x軸的

直線，從y軸出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長

度的速度向右平移，設直線/與菱形0ABC的兩邊分

別交于點M,N（點M在點N的上方），若AOMN

的面積為S,直線/的運動時間為t秒（0WtW4），則

能大致反映S與t的函數關系的圖象是

度角的直角三角形;勾股定理;菱形的性質.

點評：本題主要考查對動點問題的函數圖象，勾股定理，三角形的面積，二次函數的圖象,

正比例函數的圖象，含30度角的直角三角形的性質，菱形的性質等知識點的理解和掌握，

能根據這些性質進行計算是解此題的關鍵，用的數學思想是分類討論思想.

3.（2011北京，8,4分）如圖在中，ZACB=90°,NBAC=30°,AB=2,。是

AB邊上的一個動點（不與點八、8重合），過點。作C。的垂線交射線CA于點E設

AD=x,CE=y,則下列圖象中，能表示y與x的函數關系圖象大致是（）

考點：動點問題的函數圖象。

專題：數形結合。

4.如圖，邊長都是1的正方形和正三角形，其一邊在同一水平線上，三角形沿該水平線

自左向右勻速穿過正方形.設穿過的時間為t,正方形與三角形重合部分的面積為S（空白

部分），那么S關于t的函數大致圖象應為（）

【答案】D

【考點】動點問題的函數圖象.

【點評】此題主要考查了函數圖象中動點問題，根據移動路線以及圖形邊長即可得出空白面

積的函數關系式情況是解決問題的關鍵.

k

5.如圖，已知4、B是反比例函數）=生錯誤!未找到引用源。（k>0,x>0）圖象上的兩

x

點，BC〃x軸，交y軸于點C.動點P從坐標原點0出發，沿O-ATBTC（圖中“―”

所示路線）勻速運動，終點為C.過戶作尸軸，軸，垂足分別為M、N.設

四邊形OMPN的面積為S,P點運動時間為t則S關于f的函數圖象大致為（）

考點：反比例函數綜合題；動點問題的函數圖象.

專題：綜合題.

點評：本題考查了反比例函數的綜合題和動點問題的函數圖象，解題的關鍵是根據點的

移動確定函數的解析式，從而確定其圖象.

6.如圖，在平面直角坐標系中，長、寬分別為2和1的矩形ABCD的邊上有一動點P,沿

ATB—C—DTA運動一周，則點P的縱坐標y與P所走過的路程S之間的函數關系用圖

象表示大致是（）

考點：動點問題的函數圖象。

點評：此題主要考查了動點問題的函數圖象問題，解決問題的關鍵是分解函數得出不同位置

時的函數關系，進而得出圖象.

7.（2011年山東省威海市，12,3分）如圖，在正方形ABCD中，AB=3cm,動點M自A點出發

沿AB方向以每秒1cm的速度運動，同時動點N自A點出發沿折線AD-DC-CB以每秒3cm的速度運動,

到達B點時運動同時停止.設AAMN的面積為y（cm2）.運動時間為x（秒），則下列圖象中能大致反

考點：動點問題的函數圖象.

專題：動點型.

點評：考查動點問題的函數圖象問題；根據自變量不同的取值范圍得到相應的函數關系式是解決本題的關

鍵.

8.如圖.在4ABC中,NB=90°,^A=30°,AC=4cm,^AABC繞頂點C順時針方向旋轉至

AA'B'C的位置，且4C、8'三點在同一條直線上，則點A所經過的最短路線的長為（）

[68

A.4v3cwB.8cmC.—兀cmD.—ncm

33

【考點】旋轉的性質；弧長的計算.

【點評】此題考查了性質的性質和弧長的計算，搞清楚點A的運動軌跡是關鍵.難度中等.

9.如圖，直線y=+G與x軸、y軸分別相交于A,B兩點，圓心P的坐標為（1,

0）,圓P與y軸相切于點O.若將圓P沿x軸向左移動，當圓P與該直線相交時，橫坐

標為整數的點P的個數是（）

考點：直線與圓的位置關系；一次函數綜合題.

分析：根據直線與坐標軸的交點，得出A,B的坐標，再利用三角形相似得出圓與直線相切

時的坐標，進而得出相交時的坐標.

點評：此題主要考查了直線與坐標軸的求法，以及相似三角形的判定，題目綜合性較強，注

意特殊點的求法是解決問題的關鍵.

10.如圖，正方形ABC。的邊長為4,尸為正方形邊上一動點，運動路線

是AfOfC-B-A設尸點經過的路程為X,以點4、P、。為頂點的三

角形的面積是y.則下列圖象能大致反映y與x的函數關系的是（）

考點：動點問題的函數圖象.

點評：本題考查了動點問題的函數圖象，解決動點問題的函數圖象問題關鍵是發現y隨x

的變化而變化的趨勢.

11.將拋物線y=-x2向左平移2個單位后，得到的拋物線的解析式是（）

A.y=-（x+2）2B.y=-x2+2C.y=-（x-2）2D.y=-x2-2

考點：二次函數圖象與幾何變換。

專題：動點型。

點評：考查二次函數的幾何變換；用到的知識點為：二次函數的平移不改變二次項的系

數；左右平移只改變頂點的橫坐標，左加右減.

二、填空題

1.如圖,/XABC為等邊三角形,AB=6,動點。在aABC的邊上從點人出發沿著A-CTB-A

的路線勻速運動一周，速度為1個長度單位每秒，以。為圓心、力為半徑的圓在運動過程

中與△ABC的邊第二次相切時是出發后第秒.

考點：直線與圓的位置關系；等邊三角形的性質。

專題：動點型。

點評：此題考查了直線和圓相切時數量之間的關系，能夠正確分析出以0為圓心、G錯誤!

未找到引用源。為半徑的圓在運動過程中與4ABC的邊第二次相切時的位置.

2.拋物線y=x2的圖象向上平移1個單位，則平移后的拋物線的解析式為v=x?+1.

考點：二次函數圖象與幾何變換。

專題：動點型。

點評：考查二次函數的平移問題；用到的知識點為：上下平移只改變頂點的縱坐標，上加下

減.

3.把拋物線y=（x-2）2-3向下平移2個單位，得到的拋物線與y軸交點坐標為（0,

-1）.

考點：二次函數圖象與幾何變換。

專題：動點型。

點評：考查二次函數的平移問題；得到平移前后的頂點是解決本題的關鍵；用到的知識

點為：二次函數的平移，看頂點的平移即可：二次函數的平移不改變二次項的系數.

4.如圖，在梯形A8CD中，AD//BC,AD=6,BC=16,E是BC的中點.點尸以每秒1

個單位長度的速度從點A出發，沿A。向點。運動；點Q同時以每秒2個單位長度的速度

從點C出發，沿CB向點B運動.點尸停止運動時?,點Q也隨之停止運動.當運動時間秒

時，以點尸，Q,E,。為頂點的四邊形是平行四邊形.

考點：梯形；平行四邊形的性質。

專題：動點型。

點評：此題考查的知識點是梯形及平行四邊形的性質，關鍵是由已知明確有兩種情況，不能

漏解.

13.如圖，在四邊形ABCD中，ZA=90°,AD=4,連接8。，BD1CD,ZADB=ZC.若

P是BC邊上一動點，則。尸長的最小值為4.

考點：角平分線的性質；垂線段最短

點評：本題主要考查了直線外一點到直線的距離垂線段最短、全等三角形的判定和性質、角

平分的性質，解題的關鍵在于確定好。尸處置于BC.

5.已知一個半圓形工件，未搬動前如圖所示，直徑平行于地面放置，搬動時為了保護圓弧

部分不受損傷，先將半圓作如圖所示的無滑動翻轉，使它的直徑緊貼地面，再將它沿地面平

移50m,半圓的直徑為4m,則圓心。所經過的路線長是m.（結果用n表示）

考點：弧長的計算。

分析：根據弧長的公式先求出半圓形的弧長，即半圓作無滑動翻轉所經過的路線長，把

它與沿地面平移所經過的路線長相加即為所求.

點評：本題主要考查了弧長公式/=〃"n80,同時考查了平移的知識.解題關鍵是得出

半圓形的弧長=半圓作無滑動翻轉所經過的路線長.

6.如圖所示，在邊長為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點，點

P為線段EF上一個動點，連接BP、GP,則4BPG的周長的最小值是3.

考點：軸對稱-最短路線問題；等邊三角形的性質；平行線分線段成比例。

專題：計算題。

點評：本題主要考查對等邊三角形的性質，軸對稱-最短路線問題，平行線分線段成比例定

理等知識點的理解和掌握，能求出BP+PG的最小值是解此題的關鍵.

7.如圖，動點P在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點（1,

1）,第2次接著運動到點（2,0）,第3次接著運動到點（3,2）,按這樣的運動規律,

經過第2011次運動后，動點P的坐標是（2011,2）.

考點：點的坐標。

專題：規律型。

點評：此題主要考查了點的坐標規律，培養學生觀察和歸納能力，從所給的數據和圖形中尋

求規律進行解題是解答本題的關鍵.

8.如圖，等腰直角三角形ABC的直角邊AB的長為6cm,將4ABC繞點A逆時針旋轉15°

后得到△AB'C',則圖中陰影部分面積等于Bc

考點:旋轉的性質；解直角三角形.

專題:計算題.

點評:此題考查了旋轉的性質和解直角三角形的相關計算，找到圖中的特殊角/BAD

是解題的關鍵.

9.菱形OCAB在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點。的坐標是（0,0）,點A在y軸

的正半軸上，點P是菱形對角線的交點，點C坐標是（J5,3）若把菱形。CA8繞點

A逆時針旋轉90°,則點P的對應點尸'的坐標是.

考點：坐標與圖形變化-旋轉；菱形的性質

專題：計算題

點評：本題主要考考查對菱形的性質，坐標與圖形變化-旋轉等知識點的理解和掌握,

能根據題意確定P的位置是解此題的關鍵.

10.如圖1所示，在矩形ABCD中，動點P從點B出發，沿BC、CD、DA運動至點A停

止，設點P運動的路程為x,AABP的面積為y,如果y關于x的函數圖象如圖2所示，那

么4ABC的面積是10.

圖1圖2

考點：動點問題的函數圖象。

點評：本題主要考查了動點問題的函數圖象，在解題時要能根據函數的圖象求出線段的長度

從而得出三角形的面積是本題的關鍵.

三、解答題

1.如圖，在中，ZC=90°,AC=8,BC=6,點尸在AB上，A尸=2.點E,尸同時

從點尸出發，分別沿玄、尸B以每秒1個單位長度的速度向點A、B勻速運動，點E到

達點A后立即以原速度沿AB向點B運動，點尸運動到點B時停止，點E也隨之停止.

在點E、尸運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH,使它與aABC在線段AB的同側,

設E、尸運動的時間為f秒(f>0),正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S.

(1)當f=1時，正方形EFGH的邊長是；當f=3時，正方形EFGH的邊長

是；

(2)當OVfW2H寸，求S與f的函數關系式；

(3)直接答出：在整個運動過程中，當t為何值時，S最大？最大面積是多少？

考點：相似三角形的判定與性質；二次函數的最值；勾股定理；正方形的性質。

專題：計算題；幾何動點問題；分類討論。

點評：本題考查了動點函數問題，其中應用到了相似形、正方形及勾股定理的性質，鍛煉了

學生運用綜合知識解答題目的能力.

2.在平面直角坐標系xOy中，邊長為a（a為大于。的常數）的正方形ABCD的對角線AC、

BD相交于點P,頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、

y軸的正半軸都不包含原點0）,頂點C、D都在第一象限.

（1）當NBAO=45。時，求點P的坐標；

（2）求證：無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在NAOB

的平分線上；

（3）設點P到x軸的距離為h,試確定h的取值范圍，并說明理由.

考點：正方形的性質；坐標與圖形性質；全等三角形的判定與性質；解直角三角形。

專題：幾何動點問題；幾何綜合題。

點評：本題考查里正方形的性質，四邊相等，四角相等，對角線互相垂直平分，且平分每一

組對角，以及坐標與圖形的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形等知識點.

3.如圖①，在AABC中，AB=AC,BC=acm,ZB=30°.動點P以1cm/s的速度從點B出

發,沿折線B-A-C運動到點C時停止運動.設點P出發xsB-J-,APBC的面積為ycm?.已

知ly與x的函數圖象如圖②所示.請根據圖中信息，解答下列問題：

(1)試判斷ADOE的形狀，并說明理由；

(2)當a為何值時，與AABC相似？

考點：相似三角形的性質；等腰三角形的判定與性質；解直角三角形。

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質以及線段垂直平分線

的性質等知識.此題綜合性較強，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用.

4.如圖，等腰梯形MNPQ的上底長為2,腰長為3,一個底角為60。.正方形ABCD的邊

長為1,它的一邊AD在MN上，且頂點A與M重合.現將正方形ABCD在梯形的外面沿

邊MN、NP、PQ進行翻滾，翻滾到有一個頂點與Q重合即停止滾動.

(1)請在所給的圖中，用尺規畫出點A在正方形整個翻滾過程中所經過的路線圖；

(2)求正方形在整個翻滾過程中點A所經過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ

所圍成圖形的面積S.

考點：扇形面積的計算；等腰梯形的性質；弧長的計算；解直角三角形。

專題：作圖題；幾何綜合題。

點評：本題考查了扇形的面積的計算、等腰梯形的性質、弧長的計算，是一道不錯的綜合題,

解題的關鍵是正確的得到點A的翻轉角度和半徑.

5.如圖，已知。(0,0)、A(4,0)、B(4,3).動點P從。點出發，以每秒3個單位的

速度，沿AOAB的邊0A、AB、B0作勻速運動；動直線I從AB位置出發，以每秒1個單

位的速度向x軸負方向作勻速平移運動.若它們同時出發，運動的時間為t秒，當點P運動

到。時，它們都停止運動.

(1)當P在線段OA上運動時，求直線I與以P為圓心、1為半徑的圓相交時t的取值范

圍；

(2)當P在線段AB上運動時，設直線I分別與OA、OB交于C、D,試問：四邊形CPBD

是否可能為菱形？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由，并說明如何改變直線I的

出發時間，使得四邊形CPBD會是菱形.

考點：直線與圓的位置關系；解一元一次方程；坐標與圖形性質；勾股定理；菱形的性質。

專題：計算題；代數幾何綜合題；動點型。

點評：本題考查了直線與圓的關系，勾股定理的運用，菱形的性質.關鍵是根據菱形的性質,

對邊平行，鄰邊相等，得出相似比及邊相等的等式，運用代數方法，列方程求解.

3

6.在平面直角坐標系xoy中，一次函數錯誤!未找到引用源。y='x+3的圖象是直線/1,

4

%與x軸.y軸分別相交于AB兩點.直線勿過點C(a,0)且與直線/1垂直，其中a>0.點

P.Q同時從A點出發，其中點尸沿射線運動，速度為每秒4個單位；點Q沿射線A。

運動，速度為每秒5個單位.

(1)寫出A點的坐標和AB的長；

(2)當點尸.Q運動了多少秒時，以點Q為圓心，尸Q為半徑的。Q與直線匕y軸都相

切，求此時a的值.

yM

ii

考點：一次函數綜合題；切線的性質；相似三角形的判定與性質.

專題：幾何動點問題；分類討論.

點評：此題主要考查了切線的性質以及相似三角形的判定與性質，利用數形結合進行分析注

意分類討論才能得出正確答案.

7.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是平行四邊形，直線/經過0、C兩點，點

A的坐標為(8,0),點B的坐標為(11,4),動點尸在線段OA上從點O出發以

每秒1個單位的速度向點A運動，同時動點Q從點A出發以每秒2個單位的速度沿A

BC的方向向點C運動，過點尸作尸M垂直于x軸，與折線O—C—B相交于點M,

當尸、Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設點尸、Q運動的時間為

t秒(f>0),△M/3Q的面積為S.

(1)點C的坐標為，直線/的解析式為；

(2)試求點Q與點M相遇前S與t的函數關系式，并寫出相應的t的取值范圍.

(3)試求題(2)中當t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值.

(4)隨著尸、Q兩點的運動，當點M在線段BC上運動時，設尸M的延長線與直線/

相交于點M試探究：當t為何值時，△QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值.

考點：二次函數，一次函數，三角形面積，最值，分類討論

專題：壓軸題

點評：根據題意合理分類，是學生解題中遇到的難點，也是易錯點.用分類討論的思想

來研究動態型題是解此類問題常用的方法.

8.(2011四川廣安，30,12分)如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABC。是直角

梯形，BC//AD,ZBAD=90°,BC與y軸相交于點M,且M是8c的中點，4B、

。三點的坐標分別是A(-1,0),8(-1,2),D(3,0),連接。M,并把線段。M沿

DA方向平移到OM若拋物線/=2/2+6+(:經過點。、M、N.

(1)求拋物線的解析式.

(2)拋物線上是否存在點尸.使得E4=QC.若存在，求出點尸的坐標；若不存在.請

說明理由.

(3)設拋物線與x軸的另一個交點為E.點Q是拋物線的對稱軸上的一個動點，當點

Q在什么位置時有最大？并求出最大值.

點評：(1)待定系數法是確定函數解析式的常用方法，運用時要確定好圖象上關鍵點

的坐標，本題中點N的坐標可以根據平面直角坐標系中點的坐標的平移規律來得到.

(2)求函數的交點坐標，通常是通過解由兩個函數的解析式聯立所得的方程組來求解.

本題綜合性強，解答時需具備較強的數學基本功，若知識掌握欠缺，則不容易得分.

9,如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=4,BC=9,ZB=45°.動點P從點B出發沿BC向

點C運動，動點Q同時以相同速度從點C出發沿CD向點。運動，其中一個動點到達

端點時，另一個動點也隨之停止運動.

(1)求人8的長;

(2)設BQ=x,問當x為何值時△尸CQ的面積最大，并求出最大值；

(3)探究：在A8邊上是否存在點使得四邊形PCQM為菱形？請說明理由.

考點：等腰梯形的性質；二次函數的最值；菱形的性質；解直角三角形.

點評：本題主要考查等腰梯形的性質、解直角三角形、二次函數的最值、內角和定理、菱

形的性質，關鍵在于根據圖形畫出相應的輔助線，熟練掌握相關的性質定理即可.

10.已知直線I經過A(6,0)和B(0,12)兩點，且與直線y=x交于點C.

(1)求直線I的解析式；

(2)若點P(X,0)在線段OA上運動，過點P作I的平行線交直線y=x于D,求4PCD

的面積S與x的函數關系式；S有最大值嗎？若有，求出當S最大時x的值；

(3)若點P(x,0)在x軸上運動，是否存在點P,使得4PCA成為等腰三角形？若存在,

請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

考點：一次函數綜合題。

點評:此題主要考查了一次函數的綜合應用以及三角形的相似的性質與判定和二次函數的最

值、勾股定理等知識，題目綜合性較強，相似經常與函數綜合出現，利用數形結合得出是解

決問題的關鍵.

11.如圖，拋物線y=錯誤!未找到引用源。x?+bx-2與x軸交于A,B兩點，與y軸交于C

點，且A(-1,0).

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

(2)判斷4ABC的形狀，證明你的結論；

(3)點M(m,0)是x軸上的一個動點，當MC+MD的值最小時，求m的值.

考點：二次函數綜合題。

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、直角三角形的性質及判定、軸對稱性

質以及相似三角形的性質，關鍵在于求出函數表達式，做好輔助點，找對相似三角形.

12.如圖，RtAABC中，ZA=30°,BC=10cm,點Q在線段BC上從B向C運動，點P

在線段BA上從B向A運動.Q、P兩點同時出發，運動的