初中數學競賽函數強化練習4

學校:姓名：班級:考號：

一、單選題

--11988

1.在實數范圍內，設彳=2）（14-1）+'（〃2）（1一同）+*,則X的個位數

i+_L?

-1一。_

字是（）.

A.1B.2C.4D.6

2.y=|x-l|+|x-2|+|x-3|的最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

3.設實數x,y,z滿足x+y+z=l,則知=口+2?+3工2的最大值為（）

A.gB.-C.-D.1

234

4.已知二次函數>=依2+m+1(。*0)的圖象的頂點在第二象限，且過點(1,0).當

為整數時，ab=()

A.0B.—C.—D.-2

44

5.已知。為坐標原點，位于第一象限的點A在反比例函數y=J(x>0)的圖象上，位

于第二象限的點B在反比例函數V=-；(x<0)的圖象上，且。4_LO8,則tan48O的

值為()

A±

A.2B.—C.1D.2

2

y>o,且五(?+77)=3萬(6+577),則代數式，+2''的值

6.若%>0,

為()

A.1B.2C.3D.4

7.若函數曠=(4+1)/+》+公+3%-2的圖象與x軸交點的縱坐標為T,則女的值是

()

A.-1B.-2C.-1或2D.-1或-2

8.已知二次函數>=以2+法+。的圖象如圖所示，則下列6個代數式：

aZ\ac,a+0+c,a-8+c,2a+6,2a-b中，其值為正的式子的個數為().

A.2個B.3個C.4個D.4個以上

二、填空題

9.如圖所示，點A、C都在函數)，=±亙。>0)的圖象上，點區。都在x軸上，且使得

X

△048,△5CO都是等邊三角形，則點。的坐標是.

10.設1995丁=1996：/=1997z3,Ayz>0,且

^/1995X24-1996/+1997Z2=V1995+V1996+V1997,則g+(+J=.

11.如圖所示，8船在A船的西偏北45。處，兩船相距100km.若A船向西航行，B

船同時向南航行，且8船的速度是4船速度的2倍，那么A8兩船的最近距離為

12.代數式1134^-110x的最小值是.

13.如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCQ的頂點。在第二象限，其余頂點都在第

一象限，AB〃x軸，AOLAD,AO=AD.過點A作AELCD,垂足為E,

DE=4CE.反比例函數y=：(x>0)的圖象經過點￡.與邊AB交于點F,連接OE,

OF,EF.則cosO=.若％；8=?，則點F坐標為.

O

14.邊長為整數的等腰三角形一腰上的中線將其周長分為1:2的兩部分，那么所有這些

等腰三角形中，面積最小的三角形的面積是.

15.已知4/為拋物線丫=(x-。)(工-。-4)-2與》軸交點的橫坐標，a<b,貝ij

"—c|+|c—切的值為.

16.函數y=f-3|x|+7的圖象與函數y=x2-3x+,-3耳+6的圖象的交點個數是

三、解答題

17.已知二次函數y=a(x—D(x—1-。)(。為常數，且"RO).

(1)求證：該函數的圖像與x軸總有兩個公共點；

⑵若點(。，乂)，(3,丫2)在函數圖像上，比較/與為的大小；

(3)當0<x<3時，><2,直接寫出。的取值范圍.

18.在直徑為5的圓內放入10個點，證明其中必有兩點的距離小于2.

19.一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多能容納32人，而且只能在

第2層至第33層中某一層停一次.對于每個人來說他往下走一層樓梯感到1分不滿

意，往上走一層樓梯感到3分不滿意.現在有32個人在第一層，并且他們分別在第2

至第33層的每一層，問：電梯停在哪一層，可以使32人不滿意的總分達到最小？最

小值是多少？(有些人可以不坐電梯而直接從樓梯上樓).

20.已知一次函數丫=必+6的圖象經過點4百,6+2),8(-1,0),C(c,2-c),求

a2+b2+c2-ab-bc-ca

21.(1)證明：若x取任意整數時，二次函數丫=以2+法+c總取整數值，那么

2a,a-b,c都是整數；

(2)寫出上述命題的逆命題，并判斷真假，且證明你的結論.

22.當14x42時，計算Jx+2jx-l-Jx-2jx-l.

23.給定一個函數：y=x+'+l(x>()),為了研究它的圖象與性質，并運用它的圖象

與性質解決實際問題，進行如下探索:

(1)圖象初探

①列表如下

X......1234......

432

2113721

y......m3n......

T~42T

請直接寫出孫〃的值；

②請在如下的平面直角坐標系中描出剩余兩點，并用平滑的曲線畫出該函數的圖象.

圖①

(2)性質再探

請結合函數的圖象，寫出當'=,y有最小值為；

⑶學以致用

某農戶要建進一個如圖①所示的長方體無蓋水池，其底面積為1平方米，深為1

米.已知底面造價為3千元/平方米，側面造價為0.5千元/平方米.

設水池底面一邊長為x米，水池總造價為)，千元，可得到y與x的函數關系式為:

y=x+-+3.根據以上信息、，請回答以下問題：

X

①水池總造價的最低費用為千元；

②若該農戶預算不超過5.5千元，請直接寫出x的值應控制在什么范圍？

24.對于i=l,2,3,…有|看|<1且有l+M1+…+1%1=

2009+1演+X2+…+|.求正整數n的最小值.

參考答案:

【解析】

【分析】

【詳解】

解：要使X有意義，必須且只需

5-2)(同-1)20,

3-2)(1-同)20,(〃-2)刎_1)=0,

1-"0,QH1,=><7=-1

。W2

1+——。0

i-a

5x(-1)+])[988_(_2)19環_(_2)4x497_jg497

故X的個位數字為6,

故選：D.

2.D

【解析】

【分析】

【詳解】

在x=2取得最小值，正確答案為D

3.C

【解析】

【分析】

【詳解】

M-孫+(2y+3x)z=xy+(2y+3x)(1-x-y)=-3x2-4xy-ly1+3x+2y

=-2^y+x-—j-x2+x+—=-2^y+x-—\—J+—<^.

13

當且僅當苫=/,y=0時，〃取等號，故此而=京，故選C

4.B

答案第1頁，共15頁

【解析】

【分析】

【詳解】

依題意知。<0,一3<0，4+。+1=0,故b<0,且6=-。一1,

2a

ci—b=a—（—a—1）=2a-I-1,于是—1<。<0,—1<2tz+1<1,

又a-力為整數，/-2?+1=0,故a=-g=b,ab=：,故選B

5.A

【解析】

【分析】

【詳解】

過點A、8分別作ACJ_x軸，BZUx軸，垂足為C、。.由OAJ_OB得N4O3=90。，于是

6.B

【解析】

【分析】

【詳解】

已知等式可化為x—2向—15），=0,即（4+34乂&-5，7）=0,所以x=25y,于是

2x+y/xy+3y_50y+J25y，+3y_58y_2

x+y/xy-y25y+J25y2_y29y

7.B

【解析】

【分析】

【詳解】

解因x=0時，y=T代入函數關系得-4=二+3%—2,即（k+1）（左+2）=0,所以％=—1或

k=-2.故應選D.

注：本題中的函數可以是一次函數，也可以是二次函數.不能一開始就默認它是二次函

數，約定4+1*0,從而錯誤地選擇了B.

8.A

答案第2頁，共15頁

【解析】

【分析】

【詳解】

因圖象開口向下，故”0.又頂點的橫坐標0<-3<1,故。>0,2°+。<0,從而

2a

ab<0y2a-b<0.又x=0時，y=c<0,從而ac>0,a—b+cv。.又當x=l時，

y=a+b+c>0.綜上知所給代數式中只有2個為正.

故選：A.

9.(2底0)

【解析】

【分析】

【詳解】

解如圖所示，分別過4C作x軸垂線，垂足分別為E、F.設0E=",8尸=6,則

AE=￡a,CF=?,所以4、C的坐標分別是A（a,島）,C（2a+。,回）,代入沖=36得

y/3a2=36，

［向3麗3?解得

因此，。（2。+2仇0）的坐標為（26,0）.

10.1

【解析】

【分析】

【詳解】

則1995=4/996=2,1997=與,

解：因“2>0,故1995/=1996y3=1997Z3=A>()

xyz

+&_

代入已知式兩端得;

兩端三次方得L+L+lnd+'+Jy.

xyzxyz

又x>0,y>0,z>0,所以，+'+,=1.

xyz

故答案為：1.

11.275km

答案第3頁，共15頁

【解析】

【分析】

【詳解】

設“、時后，48兩船分別航行到A和4處.設AA=x,則BA=2x,于是

耳耳二5/(10-2^)2+(10-%)2=>/5x2-60X+200=反二鏟而>^0=275.

即當x=6時，A4,取最小值2石km.

故答案為：2不km.

12.3x/223

【解析】

【分析】

【詳解】

解設y=113，_?+3-1101，

則(>+110x)2=113?(f+3),

B[Jy2+220xy=3x223x2+3x1132.

關于x的方程3x223d-220yx+3x113?-產=0有實根，所以

A=(-220y)2-4x3x223x(3xll32-y2)=4xll32(y2-32x223)>0

(因為2202+4x3x223=4x1⑶)，所以”30^.

當且僅當x=J黑時，y取最小值3衣L

，223

故應填3^/^.

【解析】

【分析】

延長E4交x軸于點G,過點F作用，x軸于點”，證明絲△AOG（A4S）,得到

DE=AG,AE=OG.根據四邊形ABC。是菱形，DE=4CE,得到AO=CD=*￡>E,即

答案第4頁，共15頁

4

可求出cosD=g；設￡>E=4a,則A￡>=04=5a,根據勾股定理求出OG=AE=3a,求出

點E(3a,7a),即可求出后=21/,證出四邊形AG//F為矩形，得到=AG=4a,求出點

尸，根據SMEF=Sa0EG+S梯形EGHF-S/X0F”，S^EOF=—,。>0,即可求出。的

值，則可以得出點尸的坐標.

【詳解】

解：延長石4交九軸于點G,過點尸作FHLx軸于點”，如圖所示

???AB〃x軸，AE±C￡>,AB//CD

/.AG_Lx軸

AO±AD

：.ZDAE+ZOAG=90°

,：AE1CD

：.ZDAE+ZD=90°

:.ZD=40AG

在和aAOG中

NQEA=/AGO=90。

,.?〈ZD=ZOAG

AD=OA

：.△DAE"4AOG(AAS)

:.DE=AG,AE=OG

???四邊形A3CQ是菱形，DE=4CE

:.AD=CD=-DE

4

4

cosD=—

5

設OE=4a,則AD=Q4=5〃

；?OG=AE=y/AD2-DE2=3a

答案第5頁，共15頁

:.EG=AE+AG=la

/.EG。」a）

?/反比例函數y=々x>o）的圖象經過點E

X

"=21/

VAG1GH,FHLGH,AFLAG,

???四邊形AG”尸為矩形

：.HF=AG=4a

???點尸在反比例函數y="（x>。）的圖象上

X

?21a221

??x=---=—a

4a4

：.OH=—a,FH=4a

4

9

：.GH=OH-OG=-a

4

**S^OEF=$4OEG+S梯形EGHF-，S.F=

O

???-xOGxEG+-(EG+FH)GH--OHxHF=—

2228

1d21/r/\91e211

—x21〃H—x(7tz+4-d)x—ci—x21〃——

22'7428

解得：

u：a>0

a=—

3

???點F(*

4

故答案為：—用

【點睛】

本題考查了反比例函數與四邊形的綜合，全等三角形的判定和性質，求角的三角函數值,

勾股定理，反比例函數圖象上點的坐標特征，菱形的性質，矩形的判定和性質等知識點,

根據點的坐標表示出相應線段的長度和利用線段長度表示出相應點的坐標是解答本題的關

鍵.

答案第6頁，共15頁

14.亞

4

【解析】

【分析】

【詳解】

x

x+—=n

2

設等腰三角形的腰為x,底為y,周長被分為的兩部分的長分別為〃和2〃,則

x-

y+—=2n

2

或2,解得(x,y)=(?，當或佟,。因為2x?丹(此時不能夠成三角

y+-=n33

I2

形，舍去)，所以其中〃是3的倍數.則三角形面積

s=lx￡當〃20時，S隨著"的增大而增大.所以〃=3時.S取

最小值，最小值為

4

15.h-a

【解析】

【分析】

【詳解】

依題意，該拋物線開口向上，又當x="或b時，y=0.當x=c時，y=-2<0,所以

a<c<b,^,\a-c\+\c-b\=c-a+b-c=b-a.

故答案為：b-a.

16.4

【解析】

【分析】

【詳解】

x2+3x+7(x<0),6(04x43),

第一個函數化為y=<第二個函數化為丫=

x2-3x+7(x>0),2x?-6x+6(x〈0WU〉3).

分別作它們的圖象知，它們共有4個交點.

答案第7頁，共15頁

或者分別解方程組k；：+7,a＜0),卜丫=：一+7,僅w*＜O)及

y=2x-6x+6[y=6

,)一：,3：+7[(X＞3),可得4個交點為

A(g(9一甸,(62-8病)，嗚(3-扃6),(7(；(3+石),6),嗚(3+呵8).

故答案為：4.

17.(1)證明見解析

(2)當。＜0或時，當＞必；當。=1時，％=＞2；當0＜。＜1時，％＜必

(3)-2＜。41,且"0

【解析】

【分析】

(1)令y=o,可得出x的兩個解，且兩個解不相等即可得出結論；

(2)先求出*-%=3“(。-1),然后分三種情況討論即可；

(3)先求出拋物線與x軸的交點，對稱軸，頂點坐標，然后在0Vx＜3范圍內分。＞0和

“＜0兩種情況確定函數的最大值，從而得出結論.

(1)

證明：令y=o,

即a(x-l)(x-l-?)=0,

x—1=0x—1—a=0,

即X=1,超=1+Q,

;?1。1+〃，

.??方程有兩個不相等的實數根，

?,?該函數的圖像與X軸總有兩個公共點.

(2)

解：點(O，x),(3,%)在函數圖像上，

.,.當x=0時，y,=a2+a,

答案第8頁，共15頁

2

當x=3時，y2=-2a+4a,

222

/.y,-y2=a+a-(-2a+4a)=3a-3a=3a(a-l),

.?.當"0或a>l時，J,>y2,

當a=i時，yt=y2,

當Ovavi時,yt<y2.

(3)

,二次函數y=a(x—l)(x—1—a),

整理可得：y^cvc-a(a+2)x+a(a+l),

由(1)可知：當y=o時，解得：占=1,x2=\+a,

二次函數的圖像交x軸于(1,0)和(l+a,O)兩點，

對稱軸x=_「"(叱)=—,

2a2

???二次函數圖像的頂點坐標為(94)

由(2)可知：當x=0時，y,=a2+a,

2

當x=3時，y2=-2a+4a,

當a>0時，二次函數的圖像開口向上,

V0<x<3,

.(a2+a<2

'[-2ai+^a<2,

解得：—2<iz<1,

."<0<a<l,

當a<0時，二次函數圖像開口向下，

答案第9頁，共15頁

,**對稱軸x=——,

當即一2<a<0時，

2

.?.二次函數圖像在頂點處取得最大值，

./、

??------<2,

4

解得：a>-2,

—2<。<0,

當*40,即。4一2,

a

由題意可知，/+〃42,解得：-2<a<l,BPa=-2;

綜上所述，當0<x<3時，y<2,。的取值范圍是：-2<a<l,且awO.

【點睛】

本題考查了二次函數圖像與系數的關系，二次函數圖像與x軸的交點，二次函數的性質，

二次函數圖像上點的坐標特征，作差法比較函數值的大小，解一元二次方程，解不等式

（組）等知識，采用了分情況討論的解題方法.解題的關鍵是x在某一范圍內的函數最大

值的確定.

18.見解析

【解析】

【分析】

【詳解】

分析把圓等分為9個扇形顯然不行（雖然必有一扇形內至少有2點，但不保證它們的距

離小于2）,因此，我們先作一個與已知圓同心的小圓（其直徑必須小于2,但不能太小）,

然后將余下的圓環部分8等分.

證明設。是已知圓心，如圖，以O為圓心作半徑為0.9的圓，再將余下的圓環8等分，

于是將已知圓面分成了9個部分，由抽屜原理知其中必有一部分內至少有已知10點中的

'10-1"

—^―+1=2點M,N,若在小圓內，則20c=2*0.9=L8v2.

若同在一個扇面形內，則由余弦定理，有

MN<AC=4OC2+O^~2OC-OAcos45°

<V0.81+6.25-2x0.9x2.5x0.7=<2.

答案第10頁，共15頁

從例2可以看出，分割圖形制造“抽屜”時，可能不是將圖形等分為幾部分，而是要求分割

的每一部分圖形都具有所需要的性質(例2中每一部分圖形內任意兩點的距離都小于2),

讀者應用這種方法解題時，應該注意到這一點.

19.當電梯停在第27層時，這32人不滿意的總分達到最小，最小值為316分.

【解析】

【分析】

【詳解】

易知I,這32人恰好是第2至第33層各住一人，對于每個乘電梯上、下梯的人，他所住的

層數一定大于直接走樓梯上樓的人所住的層數.

事實上，設住s層的人乘電梯，而住第，層的人直接走樓梯上樓，且s<f,交換兩人上樓

方式，其余人不變，則不滿意總分不增.現分別證明如下：設電梯停在第x層，

①當時，若住在第s層的坐電梯，住第f層的人直接走樓梯上樓，則這兩者不滿意

總分為3Q-l)+3(s-x)=3r+3s-3x-3；交換兩人上樓方式，則兩者不滿意總分為

3(s-l)+3(-s-3x-3,兩者相等；

②當s<x<r時，若住s層的人乘電梯，而住第r層的人直接走樓梯上樓，則這兩人不滿意

總分為3(f-l)+(x-s)=3f+x-s-3；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分為

3(s—1)+3(…x)=3f—3x+3s—3,前者比后者多4(x—s)>0；

③當時，若住s層的人乘電梯，住，層的人直接走樓梯上樓，則這兩者不滿意總分

為3(r-l)+(x-s)=3f+x-s-3；交換兩人上樓方式，則這兩者的不滿意總分為

3(s-l)+(x-f)=3s+x-t-3,前者比后者多4Q-s)>0.

今設電梯停在第x層，設有y人直接走樓梯上樓，則y+lVx-l,那么不滿意總分為

5=3(1+24--by)+3[1+2H---i-(33-x)J+[1+2H---l-(x-y-l-l)]

=型產+里等出+工獰口=2dfT02X+2/+3y+1684

=2x2-(y+102)x+2y+3y+1684=2x-y+102+-(15y2-180y+3068)

48'

答案第11頁，共15頁

=2卜-卡15,

|++y(y-6)2+316>316.

當x=27,y=6時，5=316,所以，當電梯停在第27層時，這32人不滿意的總分達到最

小，最小值為316分.

20.4+石.

【解析】

【分析】

【詳解】

y/3+2=yfia+b,。=百-1,

由已知條件得,6=-4+"n*b=2￡-l,

2-c=ac+bc=-^3—2.

故a2+b2+c2-ab-bc-ca=-^(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=4+G

21.(1)證明見解析；(2)逆命題為：若2a,a-b,。為整數，則對一切整數x,二次函

數》=以2+法+c總取整數值；逆命題是真命題；證明見解析

【解析】

【分析】

【詳解】

解設y,?=am2+bm+c.

(1)當x=0時，％=山。2+60+。=?為整數，所以c為整數.

當x=-l時，h=。-匕+。為整數，所以。-。=上|-。為整數.

當x=-2時，％=4a-2A+c為整數，所以2a=y_2-2((z-6)-c為整數.

于是2a,a-A,c都為整數.

(2)所求逆命題為：若2a,a-4c為整數，則對一切整數x,二次函數y=o?+6x+c總取

整數值.

下面證明這是一個真命題.

設2a,a-h,c都為整數.由y=ox2+6x+c=2〃-gx(x+l)-(a-6)x+c知對一切整數x,有

答案第12頁，共15頁

X(x+1)為偶數，從而1x(x+l)為整