5.3多元函數(shù)積分學(xué)5.3.1二重積分的概念與性質(zhì)5.3.2二重積分的計(jì)算5.3.3二重積分的應(yīng)用5.3.1二重積分的概念與性質(zhì)1.引例1)曲頂柱體的體積所謂曲頂柱體是指，它的底是

面上的有界閉區(qū)域D，它的側(cè)面是以D的邊界線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)，而母線(xiàn)平行于z軸的柱面，它的頂是由二元函數(shù)

所表示的曲面.下面用微元法求當(dāng)時(shí)，該曲頂柱體的體積.（1）分割將區(qū)域分割成個(gè)小區(qū)域并以表示第個(gè)小區(qū)域的面積，這樣所求曲頂柱體分成個(gè)以為底的小曲頂柱體；（2）取近似在每個(gè)小曲頂柱體的底上任取一點(diǎn)用以為高，為底的平頂柱體體積近似替代第個(gè)小曲頂柱體的體積，即(3)求和將這到原曲頂柱體體積的近似值，即個(gè)小平頂柱體的體積求和，得(4)取極限將區(qū)域分割得越細(xì)，就越接近于曲頂柱體的體積即其中λ=max{為中任意兩點(diǎn)距離最大者(1≤i≤n)}2.二重積分的概念設(shè)二元函數(shù)定義在有界閉區(qū)域上，將任意分割成

個(gè)小區(qū)域并以表示該小區(qū)域的面積，在每個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)作和式取為中任意兩點(diǎn)距離最大者如果當(dāng)時(shí)，此和式的極限存在，則稱(chēng)此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的二重積分，記作其中稱(chēng)為被積函數(shù)，稱(chēng)為被積表達(dá)式，稱(chēng)為面積元素，稱(chēng)為積分區(qū)域，稱(chēng)為積分變量，稱(chēng)為二重積分號(hào)3.二重積分的性質(zhì)二重積分具有與定積分類(lèi)似的性質(zhì)，列舉如下：性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3（區(qū)域可加性）如果將區(qū)域分割成和兩部分，則性質(zhì)4如果在區(qū)域?yàn)閰^(qū)域的面積,則性質(zhì)5如果在區(qū)域上，性質(zhì)6如果分別是函數(shù)上的最小值與最大值，為區(qū)域的面積，則性質(zhì)7（二重積分中值定理）設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，為區(qū)域的面積，則在上至少存在一點(diǎn)使得例5.3.1

比較二重積分與的大小，其中是由軸，軸與直線(xiàn)所圍成的閉區(qū)域.解在則由性質(zhì)5得例5.3.2

估計(jì)二重積分的值，其中是矩形閉區(qū)域：解因?yàn)樵谏嫌卸拿娣e為2，由性質(zhì)6得5.3.2二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算主要化為二次定積分來(lái)計(jì)算，簡(jiǎn)稱(chēng)化為二次積分或累次積分.假設(shè)被積函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，由于它是一張連續(xù)曲面，因此總可以把二重積分看作以為底，曲面為頂?shù)那斨w的體積，下面我們從二重積分的幾何意義來(lái)引出這種計(jì)算方法.1在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分從二重積分的定義可以看出，區(qū)域

的劃分是任意的.如果我們選擇平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域那么除的邊界小區(qū)域外都是矩形.從而如下圖所示，因此，二重積分可以記作下面按積分區(qū)域的形狀分三種類(lèi)型來(lái)討論二重積分的計(jì)算.（1）

型區(qū)域設(shè)平面區(qū)域由曲線(xiàn)及直線(xiàn)所圍成，如圖所示，這樣的區(qū)域稱(chēng)為型區(qū)域.型區(qū)域可以用不等式組表示為在區(qū)域上任取一點(diǎn)作平行于面的平面所得截面為一個(gè)區(qū)間為底，曲線(xiàn)的曲邊梯形，如上圖所示的陰影部分，這個(gè)截面的面積為一般地，過(guò)區(qū)間上任一點(diǎn)且平行于面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為于是，應(yīng)用微元法得曲頂柱體的體積為這個(gè)體積也就是所求二重積分的值。或：（2）Y型區(qū)域設(shè)平面區(qū)域由曲線(xiàn)及直線(xiàn)所圍成，這樣的區(qū)域稱(chēng)為

型區(qū)域.

型區(qū)域

可以用不等式組表示為二重積分可以轉(zhuǎn)化為先對(duì)

后對(duì)

的逐次積分，即xy（3）非

非

型區(qū)域如果區(qū)域

既非

型區(qū)域，又非

型區(qū)域，那么可以把區(qū)域

分成幾個(gè)小區(qū)域，如圖5.3.8所示，每個(gè)小區(qū)域可以看成是

型區(qū)域或

型區(qū)域.在直角坐標(biāo)系下，二重積分可按以下步驟計(jì)算：第一步畫(huà)出積分區(qū)域

；第二步選擇區(qū)域

的類(lèi)型；第三步化二重積分為二次積分.例5.3.3

計(jì)算二重積分其中區(qū)域由直線(xiàn)及軸所圍成.解積分區(qū)域如圖5.3.9所示，選擇型區(qū)域，例5.3.4

計(jì)算其中區(qū)域

由拋物線(xiàn)及直線(xiàn)所圍成.解解方程組得即拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)選擇

型區(qū)域，則例5.3.5

計(jì)算積分其中

例5.3.6

計(jì)算積分其中解法1

積分區(qū)域

如下圖所示,選擇

型區(qū)域求解區(qū)域

可表示為解法2

選擇

型區(qū)域求解,區(qū)域

分為兩個(gè)區(qū)域與求解.2.在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分平面上點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間有變換關(guān)系實(shí)際計(jì)算中，分三種情況來(lái)討論：（1）極點(diǎn)

在積分區(qū)域

之內(nèi)，區(qū)域有封閉的曲線(xiàn)圍成，如圖5.3.13所示，區(qū)域可表示為則有圖5.3.13（2）極點(diǎn)

在積分區(qū)域邊界上，區(qū)域有射線(xiàn)和曲線(xiàn)圍成，如圖5.3.14所示，則區(qū)域可表示為則有圖5.3.14（3）極點(diǎn)

在積分區(qū)域之外，區(qū)域有射線(xiàn)與曲線(xiàn)圍成，如圖5.3.15所示，則區(qū)域可表示為則有圖5.3.15例5.3.7計(jì)算

其中區(qū)域

解區(qū)域

如圖5.3.16所示，可表示為

則

圖5.3.16

例5.3.8計(jì)算其中

解區(qū)域

例5.3.9計(jì)算

其中

解區(qū)域

如圖5.3.18所示，表示為

則

圖5.3.18

5.3.3二重積分的應(yīng)用1.在幾何上的應(yīng)用

例5.3.10求曲面

和平面

所圍成的立體體積.

解由圖5.3.19知，

該立體是以

為底，

曲面

為頂?shù)那斨w.

其中域

（圖5.3.20）是圓域，

利用極坐標(biāo)計(jì)算：

例5.3.11求兩個(gè)半徑相同，對(duì)稱(chēng)軸垂直相交的

圓柱體所圍立體的體積.

解設(shè)兩個(gè)圓柱面方程為

和

（圖5.3.21），

由對(duì)稱(chēng)性，所求體積是它位于第一極限

那部分的8倍，

這一部分的曲頂為

底

為

面上的四分之一圓域：

2.在物理上的應(yīng)用例5.3.12設(shè)以原點(diǎn)為圓心，

半徑為2的平面薄圓

板上的密度函數(shù)為

求薄片的質(zhì)量.解該薄片在

面上的區(qū)域

在極坐標(biāo)下

可表示為