專題33指數函數的性質及其應用1．指數函數值與1的大小關系(1)a>1時，當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1.(2)0<a<1時，當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>1.2．對稱關系函數y＝a－x與y＝ax的圖象關于y軸對稱．3．圖象位置關系指數函數在同一直角坐標系中的圖象的相對位置與底數大小的關系如圖所示，則0<c<d<1<a<b.在y軸右側，圖象從上到下相應的底數由大變??；在y軸左側，圖象從下到上相應的底數由大變小；即無論在y軸的左側還是右側，底數按逆時針方向遞增．4．函數圖象的對稱和變換規律一般地，把函數y＝f(x)的圖象向右平移m個單位得函數y＝f(x－m)的圖象(m∈R，若m<0就是向左平移|m|個單位)；把函數y＝f(x)的圖象向上平移n個單位，得到函數y＝f(x)＋n的圖象(n∈R，若n<0，就是向下平移|n|個單位)．函數y＝f(x)的圖象與y＝f(－x)的圖象關于y軸對稱，函數y＝f(x)的圖象與函數y＝－f(x)的圖象關于x軸對稱，函數y＝f(x)的圖象與函數y＝－f(－x)的圖象關于原點對稱．函數y＝f(|x|)的圖象是關于y軸對稱的，所以只要先把y軸右邊的圖象保留，y軸左邊的圖象刪去，再將y軸右邊部分關于y軸對稱得y軸左邊圖象，就得到了y＝f(|x|)的圖象．5．與指數函數復合的函數單調性(1)關于指數型函數y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調性由兩點決定，一是底數a>1還是0<a<1；二是f(x)的單調性．它由兩個函數y＝au，u＝f(x)復合而成．(2)若y＝f(u)，u＝g(x)，則函數y＝f[g(x)]的單調性有如下特點：u＝g(x)y＝f(u)y＝f[g(x)]增增增增減減減增減減減增(3)求復合函數的單調區間，首先求出函數的定義域，然后把函數分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通過考查f(u)和g(x)的單調性，求出y＝f[g(x)]的單調性．題型一指數函數的圖象變換1．利用函數f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象，作出下列各函數的圖象：(1)f(x－1)；(2)－f(x)；(3)f(－x)．2．畫出函數y＝2|x－1|的圖象，并根據圖象指出這個函數的一些重要性質．題型二利用指數函數的單調性比較大小1．下列判斷正確的是()A．2.52.5>2.53 B．0.82<0.83C．π2<πeq\s\up15(eq\r(2)) D．0.90.3>0.90.52．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，則a，b，c的大小關系是()A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b3．設a＝40.9，b＝80.48，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.5，則()A．c>a>b B．b>a>cC．a>b>c D．a>c>b4．若－1<x<0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，則a，b，c的大小關系是________．5．比較下列各組數的大?。?1)0.7－0.3與0.7－0.4；(2)2.51.4與1.21.4；(3)1.90.4與0.92.4.6．比較下列各題中的兩個值的大?。?1)0.8－0.1,1.250.2；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π，1.7．比較下列各組數的大?。?1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1與a0.3(a>0且a≠1)．8．比較下列各值的大小：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up8(\f(1,3))，2eq\s\up5(\f(2,3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))3，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(\f(1,2)).9．若0＜x＜y＜1,0＜a＜1＜b，則()A．xayb＜xbya B．xa＋ya＞(x＋y)aC．xb＋yb＞(x＋y)b D．x－a＋xa＜eq\f(3,2)題型三解簡單的指數不等式1．若2x＋1<1，則x的取值范圍是()A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)2．解不等式：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x－1≤2；3．已知32x－1≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－0.5，求實數x的取值范圍．4．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2a＋1<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－2a，則實數a的取值范圍是()A．(1，＋∞)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．(－∞，1)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))5．若0.72x－1≤0.7x2－4，則x的取值范圍是()A．[－1,3]B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)6．設eq\f(1,3)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))a<1，則()A．aa<ab<ba B．aa<ba<abC．ab<aa<ba D．ab<ba<aa7．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，則x的取值范圍是________．8．設0<a<1，解關于x的不等式a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3.9．若a－5x>ax＋7(a>0且a≠1)，求x的取值范圍．10．若ax＋1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))5－3x(a>0且a≠1)，求x的取值范圍．11．已知ax2－3x＋1<ax＋6(a>0，且a≠1)，求x的取值范圍．12．求滿足下列條件的x的取值范圍：(1)3x－1>9x；(2)0.2x<25；(3)a－5x<ax－7(a>0，且a≠1)．題型四指數型函數的單調性1．若函數f(x)＝(1－2a)x在實數集R上是減函數，則實數a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))2．若函數f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是減函數，則實數a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))3．已知函數f(x)＝a2－x(a>0且a≠1)，當x>2時，f(x)>1，則f(x)在R上()A．是增函數B．是減函數C．當x>2時是增函數，當x<2時是減函數D．當x>2時是減函數，當x<2時是增函數4．函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x的單調增區間為()A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0,1)5．函數f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x2的單調遞增區間為________．6．求函數f(x)＝3－x2＋2x＋3的單調區間．7．若函數f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，滿足f(1)＝eq\f(1,9)，則f(x)的單調遞減區間是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C.[－2，＋∞) D．(－∞，－2]8．求下列函數的單調區間：(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>1)；(2)y＝2|x－1|.9．函數y＝3x2－2x的值域為________．10．函數y＝32x＋2·3x－1，x∈[1，＋∞)的值域為______________．11．函數y＝ax在[0,1]上的最大值與最小值的和為3，則函數y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是12．函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋3a，x<0，,ax，x≥0))(a>0，且a≠1)是R上的減函數，則a的取值范圍是()A．(0,1)B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))13．若函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x>1，,2－3ax＋1，x≤1))是R上的減函數，則實數a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))14．若函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1x，x≥1，,－x2＋2ax－3，x＜1))在R上是單調遞增函數，則a的取值范圍為()A．(1，＋∞) B．(2,3]C．(2，＋∞) D．[1,2)15．已知函數f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x.(1)判斷函數f(x)的單調性；(2)求函數f(x)的值域．16．已知函數f(x)＝2－x2＋2x.(1)求函數f(x)的單調區間；(2)求函數f(x)在[0,3]上的值域．17．已知函數f(x)＝f(x)＝2|2x－1|.(1)判斷函數f(x)的單調性；(2)求函數f(x)的值域．18．如果函數y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在[－1，1]上有最大值14，試求a的值．19．已知函數y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，當x≥0時，求函數f(x)的值域．20．已知函數f(x)＝ax(a>0且a≠1)的圖象經過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,9))).(1)比較f(2)與f(b2＋2)的大小；(2)求函數g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域．21．已知函數f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(ax2－4x＋3).(1)若a＝－1，求函數f(x)的單調增區間；(2)如果函數f(x)有最大值3，求實數a的值．題型五指數函數性質的綜合應用1．滿足方程4x＋2x－2＝0的x值為________．2．已知函數f(x)＝eq\f(m·2x－1,2x＋1)為奇函數，則m的值等于________．3．若不等式3>eq\f(1,3)對一切實數x恒成立，則實數a的取值范圍是________．4．函數f(x)＝eq\f(3x－3－x,3x＋3－x)＋2，若有f(a)＋f(a－2)＞4，則a的取值范圍是________．5．已知f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x－1)＋\f(1,2))).(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；(3)證明f(x)>0.6．設函數f(x)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2x＋1)，(1)證明函數f(x)是奇函數；(2)證明函數f(x)在(－∞，＋∞)內是增函數；(3)求函數f(x)在[1,2]上的值域．7．已知函數f(x)＝a－eq\f(1,2x＋1)(x∈R)．(1)用定義證明：不論a為何實數，f(x)在R上為增函數；(2)若f(x)為奇函數，求a的值；(3)在(2)的條件下，求f(x)在區間[1,5]上的最小值．8．已知定義域為R的函數f(x)＝a－eq\f(2,3x＋1)(a∈R)是奇函數．(1)求a的值；(2)判斷函數f(x)在R上的單調性，并證明你的結論；(3)求函數f(x)在R上的值域．9．已知定義域為R的函數f(x)＝eq\f(b－2x,2x＋a)是奇函數．(1)求a，b的值；(2)用定義證明f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數；(3)若對于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍．10．已知函數f(x)＝9x－3x＋1＋c(其中c是常數)．(1)若當x∈[0,1]時，恒有f(x)＜0成立，求實數c的取值范圍；(2)若存在x0∈[0,1]，使f(x0)＜0成立，求實數c的取值范圍．題型六指數函數的實際應用1．春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天新長出荷葉覆蓋水面面積是前一天的2倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，當荷葉剛好覆蓋水面面積一半時，荷葉已生長了________天．2．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留污垢不超過原來的1%，則至少要漂洗________次．3．某林區2016年木材蓄積量為200萬立方米，由于采取了封山育林、嚴禁采伐等措施，使木材蓄積量的年平均增長率能達到5%.若經過x年后，該林區的木材蓄積量為y萬立方米，求y＝f(x)的表達式，并寫出此函數的定義域．4．某城市現有人口總數為100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答下面的問題：(1)寫出該城市的人口總數y(萬人)與年份x(年)的函數關系式；(2)計算10年以后該城市人口總數(精確到0.1萬人)．(參考數據：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)專題33指數函數的性質及其應用1．指數函數值與1的大小關系(1)a>1時，當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1.(2)0<a<1時，當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>1.2．對稱關系函數y＝a－x與y＝ax的圖象關于y軸對稱．3．圖象位置關系指數函數在同一直角坐標系中的圖象的相對位置與底數大小的關系如圖所示，則0<c<d<1<a<b.在y軸右側，圖象從上到下相應的底數由大變?。辉趛軸左側，圖象從下到上相應的底數由大變?。患礋o論在y軸的左側還是右側，底數按逆時針方向遞增．4．函數圖象的對稱和變換規律一般地，把函數y＝f(x)的圖象向右平移m個單位得函數y＝f(x－m)的圖象(m∈R，若m<0就是向左平移|m|個單位)；把函數y＝f(x)的圖象向上平移n個單位，得到函數y＝f(x)＋n的圖象(n∈R，若n<0，就是向下平移|n|個單位)．函數y＝f(x)的圖象與y＝f(－x)的圖象關于y軸對稱，函數y＝f(x)的圖象與函數y＝－f(x)的圖象關于x軸對稱，函數y＝f(x)的圖象與函數y＝－f(－x)的圖象關于原點對稱．函數y＝f(|x|)的圖象是關于y軸對稱的，所以只要先把y軸右邊的圖象保留，y軸左邊的圖象刪去，再將y軸右邊部分關于y軸對稱得y軸左邊圖象，就得到了y＝f(|x|)的圖象．5．與指數函數復合的函數單調性(1)關于指數型函數y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調性由兩點決定，一是底數a>1還是0<a<1；二是f(x)的單調性．它由兩個函數y＝au，u＝f(x)復合而成．(2)若y＝f(u)，u＝g(x)，則函數y＝f[g(x)]的單調性有如下特點：u＝g(x)y＝f(u)y＝f[g(x)]增增增增減減減增減減減增(3)求復合函數的單調區間，首先求出函數的定義域，然后把函數分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通過考查f(u)和g(x)的單調性，求出y＝f[g(x)]的單調性．題型一指數函數的圖象變換1．利用函數f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象，作出下列各函數的圖象：(1)f(x－1)；(2)－f(x)；(3)f(－x)．[解析]作出f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象，如圖所示：(1)f(x－1)的圖象：需將f(x)的圖象向右平移1個單位長度得f(x－1)的圖象，如下圖(1)．(2)－f(x)的圖象：作f(x)的圖象關于x軸對稱的圖象得－f(x)的圖象，如下圖(2)．(3)f(－x)的圖象：作f(x)的圖象關于y軸對稱的圖象得f(－x)的圖象，如下圖(3)．2．畫出函數y＝2|x－1|的圖象，并根據圖象指出這個函數的一些重要性質．[解析]y＝2|x－1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≥1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1，x<1.))其圖象是由兩部分組成的：一是把y＝2x的圖象向右平移1個單位長度，取x≥1的部分；二是把y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象向右平移1個單位長度，取x<1的部分，如圖中實線部分所示．由圖象可知，函數有三個重要性質：①對稱性：圖象的對稱軸為直線x＝1；②單調性：在(－∞，1]上單調遞減，在[1，＋∞)上單調遞增；③函數的值域：[1，＋∞).題型二利用指數函數的單調性比較大小1．下列判斷正確的是()A．2.52.5>2.53 B．0.82<0.83C．π2<πeq\s\up15(eq\r(2)) D．0.90.3>0.90.5[解析]函數y＝0.9x在R上為減函數，所以0.90.3>0.90.5.[答案]D2．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，則a，b，c的大小關系是()A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b[解析]∵函數y＝0.8x在R上為減函數，∴0.80.7>0.80.9，即a>b.又0.80.7<1,1.20.8>1，∴0.80.7<1.20.8，即a<c.∴c>a>b.選D.3．設a＝40.9，b＝80.48，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.5，則()A．c>a>b B．b>a>cC．a>b>c D．a>c>b[解析]a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.5＝21.5，因為函數y＝2x在R上是增函數，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b.4．若－1<x<0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，則a，b，c的大小關系是________．[解析]因為－1<x<0，所以由指數函數圖象和性質可得：2x<1,2－x>1,0.2x>1，又因為0.5x<0.2x，所以b<a<c.5．比較下列各組數的大?。?1)0.7－0.3與0.7－0.4；(2)2.51.4與1.21.4；(3)1.90.4與0.92.4.[解析](1)∵y＝0.7x在R上為減函數，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.(2)在同一坐標系中作出函數y＝2.5x與y＝1.2x的圖象，如圖所示．由圖象可知2.51.4>1.21.4.(3)∵1.90.4>1.90＝1，0．92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4.6．比較下列各題中的兩個值的大?。?1)0.8－0.1,1.250.2；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π，1.[解析](1)∵0<0.8<1，∴y＝0.8x在R上是減函數．∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2>0.8－0.1，又∵0.8－0.2＝1.250.2∴0.8－0.1<1.250.2.(2)∵0<eq\f(1,π)<1，∴函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))x在R上是減函數．又∵－π<0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))0＝1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π>1.7．比較下列各組數的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1與a0.3(a>0且a≠1)．[解析](1)1.52.5,1.53.2可看作函數y＝1.5x的兩個函數值，由于底數1.5>1，所以函數y＝1.5x在R上是增函數，因為2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函數y＝0.6x的兩個函數值，因為函數y＝0.6x在R上是減函數，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指數函數性質得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1.(4)當a>1時，y＝ax在R上是增函數，故a1.1>a0.3；當0<a<1時，y＝ax在R上是減函數，故a1.1<a0.3.8．比較下列各值的大?。篹q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up8(\f(1,3))，2eq\s\up5(\f(2,3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))3，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(\f(1,2)).[解析]先根據冪的特征，將這4個數分類：(1)負數：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))3；(2)大于1的數：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up8(\f(1,3))，2eq\s\up5(\f(2,3))；(3)大于0且小于1的數：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(\f(1,2)).(2)中，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up8(\f(1,3))<2eq\s\up5(\f(1,3))<2eq\s\up5(\f(2,3))(也可在同一平面直角坐標系中，分別作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))x，y＝2x的圖象，再分別取x＝eq\f(1,3)，x＝eq\f(2,3)，比較對應函數值的大小，如圖)，故有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))3<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(\f(1,2))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up8(\f(1,3))<2eq\s\up5(\f(2,3)).9．若0＜x＜y＜1,0＜a＜1＜b，則()A．xayb＜xbya B．xa＋ya＞(x＋y)aC．xb＋yb＞(x＋y)b D．x－a＋xa＜eq\f(3,2)[解析]因為x，y，a，b均大于0，所以eq\f(xayb,xbya)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))a－b，eq\f(x,y)＜1，a－b＜0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))a－b＞1，即xayb＞xbya，A錯誤；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x＋y)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x＋y)))a＞eq\f(x,x＋y)＋eq\f(y,x＋y)＝1，故xa＋ya＞(x＋y)a，B正確；而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x＋y)))b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x＋y)))b＜1，所以C錯誤；而x－a＋xa＝eq\f(1,xa)＋xa≥2＞eq\f(3,2)，故D錯誤．題型三解簡單的指數不等式1．若2x＋1<1，則x的取值范圍是()A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)[解析]∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函數，∴x＋1<0，∴x<－1.2．解不等式：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x－1≤2；[解析]∵2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1，∴原不等式可以轉化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x－1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上是減函數，∴3x－1≥－1，∴x≥0.故原不等式的解集是{x|x≥0}．3．已知32x－1≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－0.5，求實數x的取值范圍．[解析]由32x－1≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－0.5，得32x－1≥30.5.∵函數y＝3x在R上為增函數，∴2x－1≥0.5，得x≥eq\f(3,4).故x的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).4．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2a＋1<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－2a，則實數a的取值范圍是()A．(1，＋∞)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．(－∞，1)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))[解析]函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上為減函數，∴2a＋1>3－2a，∴a>eq\f(1,2).[答案]B5．若0.72x－1≤0.7x2－4，則x的取值范圍是()A．[－1,3]B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)[解析]∵函數y＝0.7x在R上為減函數，且0.72x－1≤0.7x2－4，∴2x－1≥x2－4，即x2－2x－3≤0.解得－1≤x≤3，故選A.6．設eq\f(1,3)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))a<1，則()A．aa<ab<ba B．aa<ba<abC．ab<aa<ba D．ab<ba<aa[解析]由已知條件得0<a<b<1，∴ab<aa，aa<ba，∴ab<aa<ba.[答案]C7．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，則x的取值范圍是________．[解析]∵a2＋a＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq\f(7,4)>1，∴y＝(a2＋a＋2)x為R上的增函數，∴x>1－x，即x>eq\f(1,2).8．設0<a<1，解關于x的不等式a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3.[解析]∵0<a<1，∴y＝ax在R上是減函數．又∵a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3，∴2x2－3x＋2<2x2＋2x－3，解得x>1.∴不等式的解集是(1，＋∞)．9．若a－5x>ax＋7(a>0且a≠1)，求x的取值范圍．[解析]①當a>1時，∵a－5x>ax＋7，且函數y＝ax為增函數，∴－5x>x＋7，解得x<－eq\f(7,6).②當0<a<1時，∵a－5x>ax＋7，且函數y＝ax為減函數，∴－5x<x＋7，解得x>－eq\f(7,6).綜上所述，當a>1時，x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(7,6))).當0<a<1時，x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)，＋∞)).10．若ax＋1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))5－3x(a>0且a≠1)，求x的取值范圍．[解析]因為ax＋1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))5－3x，所以ax＋1>a3x－5，當a>1時，y＝ax為增函數，可得x＋1>3x－5，所以x<3；當0<a<1時，y＝ax為減函數，可得x＋1<3x－5，所以x>3.綜上，當a>1時，x的取值范圍為(－∞，3)；當0<a<1時，x的取值范圍為(3，＋∞)．11．已知ax2－3x＋1<ax＋6(a>0，且a≠1)，求x的取值范圍．[解析]分情況討論：①當0<a<1時，函數f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是減函數，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，解得x<－1或x>5；②當a>1時，函數f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函數，∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0，解得－1<x<5.綜上所述，當0<a<1時，x<－1或x>5；當a>1時，－1<x<5.12．求滿足下列條件的x的取值范圍：(1)3x－1>9x；(2)0.2x<25；(3)a－5x<ax－7(a>0，且a≠1)．[解析](1)∵3x－1>9x，∴3x－1>32x，又y＝3x在定義域R上是增函數，∴x－1>2x，∴x<－1，即x的取值范圍是(－∞，－1)．(2)∵0<0.2<1，∴指數函數f(x)＝0.2x在R上是減函數．又25＝0.2－2，∴0.2x<0.2－2，∴x>－2，即x的取值范圍是(－2，＋∞)．(3)當a>1時，∵a－5x<ax－7，∴－5x<x－7，解得x>eq\f(7,6)；當0<a<1時，∵a－5x<ax－7，∴－5x>x－7，解得x<eq\f(7,6).綜上所述，當a>1時，x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)，＋∞))；當0<a<1時，x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,6))).題型四指數型函數的單調性1．若函數f(x)＝(1－2a)x在實數集R上是減函數，則實數a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))[解析]由已知，得0<1－2a<1，解得0<a<eq\f(1,2)，即實數a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).故選B.2．若函數f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是減函數，則實數a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))[解析]由于底數3∈(1，＋∞)，所以函數f(x)＝3(2a－1)x＋3的單調性與y＝(2a－1)x＋3的單調性相同．因為函數f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是減函數，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是減函數，所以2a－1<0，即a<eq\f(1,2)，從而實數a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))，選A.3．已知函數f(x)＝a2－x(a>0且a≠1)，當x>2時，f(x)>1，則f(x)在R上()A．是增函數B．是減函數C．當x>2時是增函數，當x<2時是減函數D．當x>2時是減函數，當x<2時是增函數[解析]令2－x＝t，則t＝2－x是減函數，因為當x>2時，f(x)>1，所以當t<0時，at>1.所以0<a<1，所以f(x)在R上是增函數，故選A.4．函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x的單調增區間為()A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0,1)[解析]設t＝1－x，則y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t，則函數t＝1－x的遞減區間為(－∞，＋∞)，即為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x的遞增區間．5．函數f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x2的單調遞增區間為________．[解析]由于底數eq\f(1,2)∈(0,1)，所以函數f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x2的單調性與y＝1－x2的單調性相反，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x2的單調遞增區間就是y＝1－x2的單調遞減區間．由y＝1－x2的圖象(圖略)可知：當x≤0時，y＝1－x2是增函數；當x≥0時，y＝1－x2是減函數，所以函數f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x2的單調遞增區間為[0，＋∞)．6．求函數f(x)＝3－x2＋2x＋3的單調區間．[解析]由題意可知，函數y＝f(x)＝3－x2＋2x＋3的定義域為實數集R.設u＝－x2＋2x＋3(x∈R)，則y＝3u，故原函數是由u＝－x2＋2x＋3與y＝3u復合而成．∵y＝3u是增函數，而u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4在x∈(－∞，1]上是增函數，在[1，＋∞)上是減函數．∴f(x)的單調遞增區間為(－∞，1]，單調遞減區間為[1，＋∞).7．若函數f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，滿足f(1)＝eq\f(1,9)，則f(x)的單調遞減區間是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C.[－2，＋∞) D．(－∞，－2][解析]∵f(1)＝a|2－4|＝a2＝eq\f(1,9)，∴a＝eq\f(1,3)，a＝－eq\f(1,3)(舍去)．∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))|2x－4|.∴f(x)的單調遞減區間為[2，＋∞)．8．求下列函數的單調區間：(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>1)；(2)y＝2|x－1|.[解析](1)設u＝－x2＋3x＋2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\f(17,4)，易知u在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是增函數，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上是減函數，∴a>1時，y＝au在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是增函數，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上是減函數．(2)當x∈(1，＋∞)時，函數y＝2x－1，因為t＝x－1為增函數，y＝2t為增函數，∴y＝2x－1為增函數；當x∈(－∞，1)時，函數y＝21－x.而t＝1－x為減函數，y＝2t為增函數，∴y＝21－x為減函數．故函數y＝2|x－1|在(－∞，1)上為減函數，在(1，＋∞)上為增函數．9．函數y＝3x2－2x的值域為________．[解析]設u＝x2－2x，則y＝3u，u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以y＝3u≥3－1＝eq\f(1,3)，所以函數y＝3x2－2x的值域是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).10．函數y＝32x＋2·3x－1，x∈[1，＋∞)的值域為______________．[解析]令3x＝t，由x∈[1，＋∞)，得t∈[3，＋∞)．∴y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2≥(3＋1)2－2＝14.故所求函數的值域為[14，＋∞)．11．函數y＝ax在[0,1]上的最大值與最小值的和為3，則函數y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是[解析]函數y＝ax在[0,1]上是單調的，最大值與最小值都在端點處取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函數y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是單調遞增函數，故x＝1時，ymax＝3.12．函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋3a，x<0，,ax，x≥0))(a>0，且a≠1)是R上的減函數，則a的取值范圍是()A．(0,1)B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))[解析]由單調性定義，f(x)為減函數應滿足：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,3a≥a0))，即eq\f(1,3)≤a<1，故選B.13．若函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x>1，,2－3ax＋1，x≤1))是R上的減函數，則實數a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))[解析]若f(x)在R上為減函數，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,2－3a<0，,2－3a＋1≥a，))解得eq\f(2,3)<a≤eq\f(3,4).14．若函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1x，x≥1，,－x2＋2ax－3，x＜1))在R上是單調遞增函數，則a的取值范圍為()A．(1，＋∞) B．(2,3]C．(2，＋∞) D．[1,2)[解析]依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＞1，,a≥1，,a－11≥－12＋2a×1－3))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞2，,a≥1，,a≤3.))即2＜a≤3.故選B.15．已知函數f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x.(1)判斷函數f(x)的單調性；(2)求函數f(x)的值域．[解析](1)令u＝x2－2x，則原函數變為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上單調遞減，在[1，＋∞)上單調遞增，又∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u在(－∞，＋∞)上單調遞減，∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x在(－∞，1]上單調遞增，在[1，＋∞)上單調遞減．(2)∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u，u∈[－1，＋∞)，∴0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1＝3，∴原函數的值域為(0,3]．16．已知函數f(x)＝2－x2＋2x.(1)求函數f(x)的單調區間；(2)求函數f(x)在[0,3]上的值域．[解析](1)函數y＝2－x2＋2x的定義域是R.令u＝－x2＋2x，則y＝2u.當x∈(－∞，1]時，函數u＝－x2＋2x為增函數，函數y＝2u是增函數，所以函數y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函數．當x∈[1，＋∞)時，函數u＝－x2＋2x為減函數，函數y＝2u是增函數，所以函數y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是減函數．綜上，函數y＝2－x2＋2x的單調減區間是[1，＋∞)，單調增區間是(－∞，1]．(2)由(1)知f(x)在[0,1]上單調遞增，在[1,3]上單調遞減，且f(0)＝1，f(1)＝2，f(3)＝eq\f(1,8)，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝eq\f(1,8)，所以f(x)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)).17．已知函數f(x)＝f(x)＝2|2x－1|.(1)判斷函數f(x)的單調性；(2)求函數f(x)的值域．[解析](1)設u＝|2x－1|，由函數y＝2u和u＝|2x－1|的定義域為R，故函數y＝2|2x－1|的定義域為R.∵u＝|2x－1|在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))上單調遞減，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調遞增，而y＝2u是增函數，∴y＝2|2x－1|在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))上單調遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調遞增．(2)∵u＝|2x－1|≥0，∴2u≥1.∴原函數的值域為[1，＋∞)．18．如果函數y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在[－1，1]上有最大值14，試求a的值．[解析]令t＝ax(t>0)，則原函數可化為y＝(t＋1)2－2，其圖象的對稱軸為直線t＝－1.①若a>1，因為x∈[－1,1]，所以t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))，則y＝(t＋1)2－2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))上單調遞增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．②若0<a<1，因為x∈[－1,1]，所以t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，則y＝(t＋1)2－2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))上單調遞增，所以ymax＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))2－2＝14，解得a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,5)(舍去)．綜上可知，a的值為3或eq\f(1,3).19．已知函數y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，當x≥0時，求函數f(x)的值域．[解析]y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，則y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.當a>1時，∵x≥0，∴t≥1，∴當a>1時，y≥2.當0<a<1時，∵x≥0，∴0<t≤1.∵g(0)＝－1，g(1)＝2，∴當0<a<1時，－1<y≤2.綜上所述，當a>1時，函數的值域是[2，＋∞)；當0<a<1時，函數的值域是(－1,2]．20．已知函數f(x)＝ax(a>0且a≠1)的圖象經過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,9))).(1)比較f(2)與f(b2＋2)的大??；(2)求函數g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域．[解析](1)由已知得a2＝eq\f(1,9)，解得a＝eq\f(1,3)，因為f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上遞減，2≤b2＋2，所以f(2)≥f(b2＋2)．(2)因為x≥0，所以x2－2x≥－1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up25(x2－2x)≤3，即函數g(x)＝aeq\s\up15(x2－2x)(x≥0)的值域為(0,3]．21．已知函數f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(ax2－4x＋3).(1)若a＝－1，求函數f(x)的單調增區間；(2)如果函數f(x)有最大值3，求實數a的值．[解析](1)當a＝－1時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，由于g(x)在(－2，＋∞)上遞減，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上是減函數，∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函數，即f(x)的單調增區間是(－2，＋∞)．(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)應有最小值－1.因此必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(12a－16,4a)＝－1，))解得a＝1，即當f(x)有最大值3時，a的值為1.題型五指數函數性質的綜合應用1．滿足方程4x＋2x－2＝0的x值為________．[解析]設t＝2x(t>0)，則原方程化為t2＋t－2＝0，∴t＝1或t＝－2.∵t>0，∴t＝－2舍去．∴t＝1，即2x＝1，∴x＝0.2．已知函數f(x)＝eq\f(m·2x－1,2x＋1)為奇函數，則m的值等于________．[解析]由題意可知，f(0)＝eq\f(m·20－1,20＋1)＝eq\f(m－1,2)＝0，∴m＝1.3．若不等式3>eq\f(1,3)對一切實數x恒成立，則實數a的取值范圍是________．[解析]不等式即為3>3－1，則有ax2－2ax>－1，即ax2－2ax＋1>0對一切實數x恒成立．當a＝0時，滿足題意；當a≠0時，要滿足題意，則需a>0且Δ＝(－2a)2－4a<0，即a2－a<0，解得0<a<1.綜上，實數a的取值范圍是[0,1)．4．函數f(x)＝eq\f(3x－3－x,3x＋3－x)＋2，若有f(a)＋f(a－2)＞4，則a的取值范圍是________．[解析]設F(x)＝f(x)－2，則F(x)＝eq\f(3x－3－x,3x＋3－x)，易知F(x)是奇函數，F(x)＝eq\f(3x－3－x,3x＋3－x)＝eq\f(32x－1,32x＋1)＝1－eq\f(2,32x＋1)在R上是增函數，由f(a)＋f(a－2)＞4得F(a)＋F(a－2)＞0，于是可得F(a)＞F(2－a)，即a＞2－a，解得a＞1.5．已知f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x－1)＋\f(1,2))).(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；(3)證明f(x)>0.[解析](1)函數f(x)的定義域為{x|x≠0}．(2)f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x－1)＋\f(1,2)))＝eq\f(x,2)·eq\f(2x＋1,2x－1)，f(－x)＝－eq\f(x,2)·eq\f(2－x＋1,2－x－1)＝eq\f(x,2)·eq\f(2x＋1,2x－1)＝f(x)，∴f(x)為偶函數．(3)證明：f(x)＝eq\f(x,2)·eq\f(2x＋1,2x－1)，當x>0時，2x－1>0，則f(x)>0；當x<0時，2x－1<0，則f(x)>0.綜上f(x)>0.6．設函數f(x)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2x＋1)，(1)證明函數f(x)是奇函數；(2)證明函數f(x)在(－∞，＋∞)內是增函數；(3)求函數f(x)在[1,2]上的值域．[解析](1)證明：函數的定義域為R，關于原點對稱．f(－x)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,\f(1,2x)＋1)＝eq\f(1,2)－eq\f(2x,2x＋1)＝eq\f(1－2x,22x＋1)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2x＋1)＝－f(x)，所以函數f(x)為奇函數．(3)因為函數f(x)在(－∞，＋∞)內是增函數，所以函數f(x)在[1,2]上也是增函數，所以f(x)min＝f(1)＝eq\f(1,6)，f(x)max＝f(2)＝eq\f(3,10).所以函數f(x)在[1,2]上的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(3,10))).7．已知函數f(x)＝a－eq\f(1,2x＋1)(x∈R)．(1)用定義證明：不論a為何實數，f(x)在R上為增函數；(2)若f(x)為奇函數，求a的值；(3)在(2)的條件下，求f(x)在區間[1,5]上的最小值．[解析](1)證明：∵f(x)的定義域為R，任取x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝a－eq\f(1,2x1＋1)－a＋eq\f(1,2x2＋1)＝eq\f(2x1－2x2,2x1＋12x2＋1).∵x1<x2，∴2x1－2x2<0，(1＋2x1)(1＋2x2)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴不論a為何實數，f(x)在R上為增函數．(2)∵f(x)在x∈R上為奇函數，∴f(0)＝0，即a－eq\f(1,20＋1)＝0，解得a＝eq\f(1,2).(3)由(2)知，f(x)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2x＋1)，由(1)知，f(x)為增函數，∴f(x)在區間[1,5]上的最小值為f(1)．∵f(1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，∴f(x)在區間[1,5]上的最小值為eq\f(1,6).8．已知定義域為R的函數f(x)＝a－eq\f(2,3x＋1)(a∈R)是奇函數．(1)求a的值；(2)判斷函數f(x)在R上的單調性，并證明你的結論；(3)求函數f(x)在R上的值域．[解析](1)若存在實數a使函數f(x)為R上的奇函數，則f(0)＝0，得a＝1.當a＝1時，f(x)＝1－eq\f(2,3x＋1).∵f(－x)＝1－eq\f(2,3－x＋1)＝1－eq\f