小學(xué)奧數(shù)幾何專題一立體圖形（六年級）競賽測試

姓名:年級:學(xué)號:

題型選擇題填空題簡答題XX題XX題XX題總分

得分

評卷人得分一、XX題

（每空XX分，共XX分）

【題文】如圖，在一個棱長為10的立方體上截取一個長為8,寬為3,高為2的小長方體，那么新的幾何

體的表面積是多少？

【答案】600

【解析】我們從三個方向（前后、左右、上下）考慮，新幾何體的表面積仍為原立方體的表面積：10-106600

【題文】右圖是一個邊長為4厘米的正方體，分別在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個邊長I厘

米的正方體，做成一種玩具.它的表面積是多少平方厘米？（圖中只畫出了前面、右面、上面挖去的正方體

【答案】120

【解析】原正方體的表面積是4?4696（平方厘米）.每一個面被挖去一個邊長是1厘米的正方形，同時

又增加了5個邊長是1厘米的正方體作為玩具的表面積的組成部分.總的來看，每一個面都增加了4個邊

長是1厘米的正方形.

從而，它的表面積是：96'4-6120平方厘米.

【題文】在一個棱長為50厘米的正方體木塊，在它的八個角上各挖去一個棱長為5厘米的小正方體，問剩

下的立體圖形的表面積是多少？

【答案】15000

【解析】對于和長方體相關(guān)的立體圖形表面積，一般從上下、左右、前后3個方向考慮.變化前后的表面

積不變：50X506-15000（平方厘米）.

【題文】下圖是一個棱長為2厘米的正方體，在正方體上表面的正中，向下挖一個棱長為1厘米的正方體

小洞，接著在小洞的底面正中向下挖一個棱長為二厘米的正方形小洞，第三個正方形小洞的挖法和前兩個

相同為1厘米，那么最后得到的立體圖形的表面積是多少平方厘米？

【解析】我們?nèi)匀粡?個方向考慮.平行于上下表面的各面面積之和：222-8（平方厘米）；左右方向、前

工￡

后方向：22416（平方厘米），1144（平方厘米），？41（平方厘米），14（平方厘米），這個立體圖形的表面積

為：-E,41（平方厘米）.

【題文】一個正方體木塊，棱長是1米，沿著水平方向?qū)⑺彸?片，每片又鋸成3長條，每條又鋸成4

小塊，共得到大大小小的長方體24塊，那么這24塊長方體的表面積之和是多少？

【答案】18

【解析】鋸一次增加兩個面，鋸的總次數(shù)轉(zhuǎn)化為增加的面數(shù)的公式為：鋸的總次數(shù)2-增加的面數(shù).

原正方體表面積：1166（平方米），一共鋸了（21）?（31）（41）6次，

6112618（平方米）.

【題文】一個表面積為的長方體如圖切成27個小長方體，這27個小長方體表面積的和是多少平方厘

米？

【答案】168平方厘米

【解析】每一刀增加兩個切面，增加的表面積等于與切面平行的兩個表面積，所以每個方向切兩刀后，表

面積增加到原來的3倍，即表面積的和為‘'I"：；：，.

【題文】如圖，25塊邊長為1的正方體積木拼成一個幾何體，表面積最小是多少？

喳/箱霸

【答案】54

【解析】當(dāng)小積木互相重合的面最多時表面積最小.

設(shè)想27塊邊長為1的正方形積木，當(dāng)拼成一個；的正方體時，表面積最小，現(xiàn)在要去掉2塊小積木,

只有在兩個角上各去掉一塊小積木，或在同一個角去掉兩塊相鄰的積木時，表面積不會增加，該幾何體表

面積為54.

【題文】要把12件同樣的長a、寬b、高h的長方體物品拼裝成一件大的長方體，使打包后表面積最小，

該如何打包？

⑴當(dāng)b2h時，如何打包？

⑵當(dāng)b-2h時，如何打包？

⑶當(dāng)b，2h時，如何打包？

【答案】如解析圖

【解析】圖2和圖3正面的面積相同，側(cè)面面積正面周長長方體長，所以正面的周長愈大表面積越大,

圖2的正面周長是8h6b,圖3的周長是12h，4b.兩者的周長之差為2(b2h).

當(dāng)b-2h時，圖2和圖3周長相等，可隨意打包；當(dāng)6,2h時，按圖2打包；當(dāng)b2h時，按圖3打包.

【題文】要把6件同樣的長17、寬7、高3的長方體物品拼裝成一件大的長方體，表面積最小是多少？

【答案】1034

【解析】考慮所有的包裝方法，因為61-2-3,所以一共有兩種拼接方式：

第一種按長寬高116拼接，重疊面有三種選擇，共3種包裝方法.

第二種按長寬高123拼接，有3個長方體并列方向的重疊面有三種選擇，有2個長方體并列方向的重疊面

剩下2種選擇，一共有6種包裝方法.

其中表面積最小的包裝方法如圖所示，表面積為1034.

【題文】如圖，在一個棱長為5分米的正方體上放一個棱長為4分米的小正方體，求這個立體圖形的表面

積.

【答案】214

【解析】我們把上面的小正方體想象成是可以向下“壓縮”的，“壓縮”后我們發(fā)現(xiàn)：小正方體的上面與

大正方體上面中的陰影部分合在一起，正好是大正方體的上面.這樣這個立體圖形的表面積就可以分成這樣

兩部分：上下方向：大正方體的兩個底面；四周方向（左右、前后方向）：小正方體的四個側(cè)面，大正方體

的四個側(cè)面.上下方向：川（平方分米）；側(cè)面：:I0（平方分米），（平方分

米）.這個立體圖形的表面積為：-一1口-釬-1?（平方分米）.

【題文】如圖，棱長分別為I厘米、厘米、厘米、、厘米的四個正方體緊貼在一起，則所得到的多面體

的表面積是多少平方厘米？

【答案】194平方厘米

【解析】（法1）四個正方體的表面積之和為：門'''一&（平方厘米），

重疊部分的面積為：FX3?（2：X2+1：）+（3-：）+（3：?y??3?—4?40（平方厘米）,

所以，所得到的多面體的表面積為：---1"（平方厘米）.

（法2）三視圖法.從前后面觀察到的面積為?二,」一建平方厘米，從左右兩個面觀察到的面積為

--平方厘米，從上下能觀察到的面積為-平方厘米.

表面積為（38+34+?）*2?⑼（平方厘米）.

【題文】把19個棱長為1厘米的正方體重疊在一起，按右圖中的方式拼成一個立體圖形.，求這個立體圖

形的表面積.

【答案】54

【解析】從上下、左右、前后觀察到的的平面圖形如下面三圖表示.因此，這個立體圖形的表面積為：2個

上面'個左面?'個前面.上表面的面積為：9平方厘米，左表面的面積為：8平方厘米，前表面的面積為

：10平方厘米.因此，這個立體圖形的總表面積為：山〃平方厘米）.

上下面左右面前后面

【題文】用棱長是1厘米的立方塊拼成如圖所示的立體圖形，問該圖形的表面積是多少平方厘米?

【答案】46平方厘米

【解析】該圖形的上、左、前三個方向的表面分別由9、7、7塊正方形組成.

該圖形的表面積等于E,丁'一"個小正方形的面積，所以該圖形表面積為46平方厘米.

【題文】有30個邊長為1米的正方體，在地面上擺成右上圖的形式，然后把露出的表面涂成紅色.求被涂

成紅色的表面積.

【答案】56

［解析］.，I"-；*'?（平方米）.

【題文】棱長是“，厘米（"為整數(shù)）的正方體的若干面涂上紅色，然后將其切割成棱長是1厘米的小正方

體.至少有一面紅色的小正方體個數(shù)和表面沒有紅色的小正方體個數(shù)的比為廠廠，此時3”的最小值是多少

9

【答案】5

【解析】切割成棱長是1厘米的小正方體共有一個，由于其中至少有一面是紅色的小正方體與沒有紅色面

的個數(shù)之比為I?口，而?所以小正方體的總數(shù)是25的倍數(shù)，即，是25的倍數(shù)，那么”是5

的倍數(shù).

當(dāng)*一時，要使得至少有一面的小正方體有65個，可以將原正方體的正面、上面和下面涂色，此時至少

一面涂紅色的小正方體有，個，表面沒有紅色的小正方體有

125-65?60個,個數(shù)比恰好是13:12,符合題意.因此，州的最小值是5.

【題文】有64個邊長為1厘米的同樣大小的小正方體，其中34個為白色的，30個為黑色的.現(xiàn)將它們拼

成一個?14的大正方體，在大正方體的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？

【答案】74

【解析】要使大正方體的表面上白色部分最多，相當(dāng)于要使大正方體表面上黑色部分最少，那么就要使得

黑色小正方體盡量不露出來.

在整個大正方體中，沒有露在表面的小正方體有'：,（個），用黑色的；在面上但不在邊上的小正方體

有G?-2）：X6="（個），其中30-8-二個用黑色.

這樣，在表面的；個|I的正方形中，有22個是黑色，個）是白色，所以在大正方

體的表面上白色部分最多可以是74平方厘米.

【題文】三個完全一樣的長方體，棱長總和是288厘米，每個長方體相交于一個頂點的三條棱長恰是三個

連續(xù)的自然數(shù)，給這三個長方體涂色，一個涂一面，一個涂兩面，一個涂三面.涂色后把三個長方體都切

成棱長為1厘米的小正方體，只有一個面涂色的小正方體最少有多少個？

【答案】307

【解析】每個長方體的棱長和是-厘米，所以，每個長方體長、寬、高的和是「?厘米.

因為，每個長方體相交于一個頂點的三條棱長恰是三個連續(xù)的自然數(shù)，所以，每個長方體的長、寬、高分

別是9厘米、8厘米、7厘米.

要求切割后只有一個面涂色的小正方體最少有多少個，則需每一個長方體按題意涂色時，應(yīng)讓切割后只有

一個面涂色的小正方體最少.所以，涂一面的長方體應(yīng)涂一個；；‘面，有'"個；

涂兩面的長方體，若兩面不相鄰，應(yīng)涂兩個面，有&''7「個；若兩面相鄰，應(yīng)涂一個面和一個c面

，此時有個，所以涂兩面的最少有105個；

涂三面的長方體，若三面不兩兩相鄰，應(yīng)涂兩個面、一個面，有"一】廣個；若三面兩兩相鄰

,有（7-1卜（8-1）-（7-1卜（9-1）-（8-＞（9-1）=146個，所以涂三面的最少有146個.那么切割后只有

一個面涂色的小正方體最少有一IT〉；一；「個.

【題文】把一個大長方體木塊表面上涂滿紅色后，分割成若干個同樣大小的小正方體，其中恰好有兩個面

涂上紅色的小正方體恰好是100塊，那么至少要把這個大長方體分割成多少個小正方體？

【答案】108

【解析】設(shè)小正方體的棱長為1,考慮兩種不同的情況，一種是長方體的長、寬、高中有一個是1的情況，

另一種是長方體的長、寬、高都大于1的情況.

當(dāng)長方體的長、寬、高中有一個是1時，分割后只有一層小正方體，其中有兩個面涂上紅色的小正方體是

去掉最外層一圈的小正方體后剩下的那些.因為有兩個面涂上紅色的小正方體恰好是100塊，設(shè)I、--

,那么分成的小正方體個數(shù)為

+2（0*5）*104為了使小正方體的個數(shù)盡量少，應(yīng)使最小,而

兩數(shù)之積一定，差越小積越小，所以當(dāng)7-一時它們的和最小，此時共有

7?個小正方體.

當(dāng)長方體的長、寬、高都大于1時，有兩個面涂上紅色的小正方體是去掉8個頂點所在的小正方體后12條

棱上剩余的小正方體，因為有兩個面涂上紅色的小正方體恰好是100塊，所以長方體的長、寬、高之和是

I1*-由于三個數(shù)的和一定，差越大積越小，為了使小正方體的個數(shù)盡量少，應(yīng)該令

此時共有「-1飛個小正方體.

因為I飛144,所以至少要把這個大長方體分割成108個小正方體.

【題文】把正方體的六個表面都劃分成9個相等的正方形.用紅、黃、藍三種顏色去染這些小正方形，要

求有公共邊的正方形染不同的顏色，那么，用紅色染的正方形最多有多少個？

【答案】22

【解析】一個面最多有5個方格可染成紅色（見左下圖）.因為染有5個紅色方格的面不能相鄰，可以相

對，所以至多有兩個面可以染成5個紅色方格.

對的面，每個面最多可以染2個紅色方格（見右上圖）.所以，紅色方格最多有?（個

）.

（另解）事實上上述的解法并不嚴(yán)密，“如果最初的假設(shè)并沒有兩個相對的有5個紅色方格的面，是否其

他的四個面上可以出現(xiàn)更多的紅色方格呢？”這種解法回避了這個問題，如果我們從約束染色方格數(shù)的本

質(zhì)原因入手，可嚴(yán)格說明是紅色方格數(shù)的最大值.

對于同一個平面上的格網(wǎng)，如果按照國際象棋棋盤的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成紅色.但

是現(xiàn)在需要染色的是一個正方體的表面，因此在分析問題時應(yīng)該兼顧棱、角等面與面相交的地方：

（3）

⑴如圖，每個角上三個方向的3個方格必須染成不同的三種顏色，所以8個角上最多只能有8個方格染成

紅色.

⑵如圖，陰影部分是首尾相接由?個方格組成的環(huán)，這9個方格中只能有4個方格能染成同一種顏色（如果

有5個方格染同一種顏色，必然出現(xiàn)相鄰，可以用抽屜原理反證之：先去掉一個白格，剩下的然后兩兩相

鄰的分成四個抽屜，必然有一個抽屜中有兩個紅色方格），像這樣的環(huán)，在正方體表面最多能找到不重疊的

兩道（關(guān)于正方體中心對稱的兩道），涉及的I：個方格中最多能有個可染成紅色.

⑶剩下--I,個方格，分布在八條棱上，這?個格子中只能有‘、個能染成紅色.

綜上所述，能被染成紅色的方格最多能有一個格子能染成紅色，第一種解法中已經(jīng)給出：,個紅

方格的染色方法，所以''個格子染成紅色是最多的情況.

【題文】一個長、寬、高分別為'I厘米、?厘米、「厘米的長方形.現(xiàn)從它的上面盡可能大的切下一個正

方體，然后從剩余的部分再盡可能大的切下一個正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大的切下一個

正方體，剩下的體積是多少立方厘米？

【答案】1107

【解析】本題的關(guān)鍵是確定三次切下的正方體的棱長.由于'I1-1':,為了方便起見.我們先考慮

長、寬、高分別為厘米、厘米、?厘米的長方體.

因為‘，7,容易知道第一次切下的正方體棱長應(yīng)該是?厘米，第二次切時，切下棱長為,厘米的正方體

符合要求.第三次切時，切下棱長為,厘米的正方體符合要求.

那么對于原長方體來說，三次切下的正方體的棱長分別是12厘米、9厘米和6厘米，所以剩下的體積應(yīng)是

21*15xl2-(12W)-1107（立方厘米）.

6

【題文】有黑白兩種顏色的正方體積木，把它擺成右圖所示的形狀，已知相鄰（有公共面）的積木顏色不同

,標(biāo)」的為黑色，圖中共有黑色積木多少塊？

【答案】17

【解析】分層來看，如下圖（切面平行于紙面）共有黑色積木17塊.

【題文】有許多相同的立方體，每個立方體的六個面上都寫著同一個數(shù)字（不同的立方體可以寫相同的數(shù)字

）先將寫著2的立方體與寫著1的立方體的三個面相鄰，再將寫著3的立方體寫著2的立方體相鄰（見左下

圖）.依這樣構(gòu)成右下圖所示的立方體，它的六個面上的所有數(shù)字之和是多少？

【答案】216

【解析】第一層如下圖,第二層、第三層依次比上面一層每格都多1（見下圖）.

上面的9個數(shù)之和是27,由對稱性知，上面、前面、右面的所有數(shù)之和都是27.同理，下面的9個數(shù)之和

是45,下面、左面、后面的所有數(shù)之和都是45.所以六個面上所有數(shù)之和是'.

【題文】如圖所示，一個的立方體，在一個方向上開有?：的孔，在另一個方向上開有'的

孔，在第三個方向上開有?、的孔，剩余部分的體積是多少？表面積為多少？

【答案】100；204

【解析】求體積：

開了；，的孔，挖去?-1，開了II'的孔,

挖去IIT-L開了?'的孔，

挖去2“*5-(2+2)-6,

剩余部分的體積是：5X5X5-(1^4+6)-1OO.

(另解)將整個圖形切片，如果切面平行于紙面，那么五個切片分別如圖:

得到總體積為：'"12TOO.

求表面積：

表面積可以看成外部和內(nèi)部兩部分.外部的表面積為、內(nèi)部的面積可以分為前

后、左右、上下三個方向，面積分別為11,

11--1?3-1)-322所以總的表面積為

(另解)運用類似于三視圖的方法，記錄每一方向上的不同位置上的裸露正方形個數(shù):

前后方向：

上下方向：.：左右方向：■

總表面積為2X（32+M**＞）?叫

總結(jié)：“切片法”：全面打洞（例如本題，五層一樣），挖塊成線（例如本題，在前一層的基礎(chǔ)上，一條線一

條線地挖），這里體現(xiàn)的思想方法是：化整為零，有序思考！

【題文】如圖，原來的大正方體是由?個小正方體所構(gòu)成的.其中有些小正方體已經(jīng)被挖除，圖中涂黑色

的部分就是貫穿整個大正方體的挖除部分.請問剩下的部分共有多少個小正方體？

【答案】72

【解析】對于這一類從立體圖形中間挖掉一部分后再求體積（或小正方體數(shù)I【題文】一個由125個同樣的

小正方體組成的大正方體，從這個大正方體中抽出若干個小正方體，把大正方體中相對的兩面打通，右圖

就是抽空的狀態(tài).右圖中剩下的小正方體有多少個？

【答案】73

【解析】解法一：（用“容斥原理”來解）由正面圖形抽出的小正方體有-,個，由側(cè)面圖形抽出的小

正方體有-.個，由底面圖形抽出的小正方體有--1個，正面圖形和側(cè)面圖形重合抽出的小正方

體有??-個，正面圖形和底面圖形重合抽出的小正方體有?-個，底面圖形和側(cè)面

圖形重合抽出的小正方體有I71-個，三個面的圖形共同重合抽出的小正方體有4個.根據(jù)容

斥原理，-「19所以共抽出了52個小正方體.「一3，所以右圖中剩下的小

正方體有73個.

注意這里的三者共同抽出的小正方體是4個，必須知道是哪4塊，這是最讓人頭疼的事.

但你可以先構(gòu)造空的兩個方向上共同部分的模型，再由第三個方向來穿過“花墻”.

這里，化虛為實的思想方法很重要.

解法二：（用“切片法”來解）

可以從上到下切五層，得：

⑴從上到下五層，如圖：

⑵或者，從右到左五片，如圖:

請注意這里的挖空的技巧是：先認一種方向.

比如：從上到下的每一層，首先都應(yīng)該有第一層的空四塊的情況，即

如果挖第二層：第⑴步，把中間這些位置的四塊挖走如圖：

第⑵步，把從右向左的兩塊成線地挖走.(請注意挖通的效果就是成線挖去)，如圖:

第⑶步，把從前向后的一塊(請注意跟第二層有關(guān)的只是一塊！)挖成線！如圖:

【題文】右圖中的⑴⑵⑶⑷是同樣的小等邊三角形，⑸⑹也是等邊三角形且邊長為⑴的2倍，(7)⑻(9)(10)是

同樣的等腰直角三角形，(1。是正方形.那么，以⑸⑹⑺⑻⑼(10)(1。為平面展開圖的立體圖形的體積是以

⑴⑵⑶⑷為平面展開圖的立體圖形體積的多少倍.

【答案】16

【解析】本題中的兩個圖都是立體圖形的平面展開圖，將它們還原成立體圖形，可得到如下兩圖:

其中左圖是以⑴⑵⑶⑷為平面展開圖的立體圖形，是一個四個面都是正三角形的正四面體，右圖以

⑸⑹⑺⑻⑼(10)(11)為平面展開圖的立體圖形，是一個不規(guī)則圖形，底面是⑴)，四個側(cè)面是⑺⑻⑼(W),兩個斜

面是⑸⑹.

對于這兩個立體圖形的體積，可以采用套模法來求，也就是對于這種我們不熟悉的立體圖形，用一些我們

熟悉的基本立體圖形來套，看看它們與基本立體圖形相比，缺少了哪些部分.

由于左圖四個面都是正三角形，右圖底面是正方形，側(cè)面是等腰直角三角形，想到都用正方體來套.

對于左圖來說，相當(dāng)于由一個正方體切去4個角后得到(如下左圖，切去蟲K5)

;而對于右圖來說，相當(dāng)于由一個正方體切去2個角后得至IJ(如下右圖，切去，"3、DK。).

假設(shè)左圖中的立方體的棱長為，右圖中的立方體的棱長為、則以⑴⑵⑶⑷為平面展開圖的立體圖形的體

,111.1,

CTa-X4--4T

積為：233,

以⑸⑹⑺⑻⑼(10)(11)為平面展開圖的立體圖形的體積為]■.

由于右圖中的立方體的棱長即是題中正方形(11)的邊長，而左圖中的立方體的每一個面的對角線恰好是正三

角形⑴的邊長，通過將等腰直角三角形⑺分成4個相同的小等腰直角三角形可以得到右圖中的立方體的棱

長是左圖中的立方體的棱長的2倍，即-.

那么以⑴(2)(3)(4)為平面展開圖的立體圖形的體積與以(5)(6)(7)(8)(9)(W)(11)為平面展開圖的立體圖形的體積的比

2x(2^?.116__

為：；53，，也就是說以⑸⑹⑺⑻⑼(10)(11)為平面展開圖的立體圖形的體積是以

⑴⑵⑶⑷為平面展開圖的立體圖形體積的16倍.

【題文】圖⑴和圖⑵是以正方形和等邊三角形為面的立體圖形的展開圖，圖中所有的邊長都相同.請問：

圖⑴能圍起來的立體圖形的體積是圖⑵能圍起來的立體圖形的體積的幾倍？

【解析】首先，我們把展開圖折成立體圖形，見下列示意圖:

對于這類題目，一般采用“套模法”，即用一個我們熟悉的基本立體圖形來套，這樣做基于兩點考慮，一

是如果有類似的模型，可以直接應(yīng)用其計算公式；二是如果可以補上一塊或者放到某個模型里面，那么可

以從這個模型入手.

我們把圖⑴中的立體圖形切成兩半，再轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，正好放進去！我們看到圖⑴與圖⑶的圖形位置的微妙關(guān)系

和圖3一政!

圖

由圖⑷可見，圖⑴這個立體的體積與圖⑶這個被切去了8個角后的立體圖形的體積相等.

lwlwl?lwl1

假設(shè)立方體的1條邊的長度是1,那么一個角的體積是一「；「而，所以切掉8個角后的體積是

再看圖⑵中的正四面體，這個正四面體的棱長與圖⑶中的每一條實線線段相等，所以應(yīng)該用邊長為？的立

方體來套.如果把圖⑵的立體圖形放入邊長為的立方體里的話是可以放進去的.

這是切去了四個角后的圖形，從上面的分析可知一個角的體積為和，所以圖⑵的體積是：

11114151M

2224SI,那么前者的體積是后者的21倍.

【題文】如圖，用高都是：米，底面半徑分別為?米、：米和?米的?個圓柱組成一個物體.問這個物體

的表面積是多少平方米？。取口）

【答案】32.97

【解析】從上面看到圖形是右上圖，所以上下底面積和為:N1一【；3（立方米），側(cè)面積為

2x3」4*（。5+1+15）?1-1884（立方米）,所以該物體的表面積是14.13+1884?3297（立方米）.

【題文】有一個圓柱體的零件，高?厘米，底面直徑是厘米，零件的一端有一個圓柱形的圓孔，圓孔的

直徑是I厘米，孔深厘米（見右圖）.如果將這個零件接觸空氣的部分涂上防銹漆，那么一共要涂多少平方

厘米？

【答案】307.72

【解析】涂漆的面積等于大圓柱表面積與小圓柱側(cè)面積之和，為

6x-10?x-i-r<2*4x-5-501-1S1-2O.T98,x-30772

（平方厘米）.

【題文】圓柱體的側(cè)面展開，放平，是邊長分別為10厘米和12厘米的長方形，那么這個圓柱體的體積是

多少立方厘米.（結(jié)果用表示）

300

【答案】二立方厘米或T立方厘米

300

It*（I，1一-

【解析】當(dāng)圓柱的高是12厘米時體積為工（立方厘米）

當(dāng)圓柱的高是12厘米時體積為27X（立方厘米）.所以圓柱體的體積為立方厘米或立方厘米

【題文】如右圖，是一個長方形鐵皮，利用圖中的陰影部分，剛好能做成一個油桶（接頭處忽略不計），求

這個油桶的容積.（［一；h）

【答案】100.48

【解析】圓的直徑為：心‘?（米），而油桶的高為2個直徑長，即為：■'、1,11,故體積為

】0048立方米.

【題文】如圖，有一張長方形鐵皮，剪下圖中兩個圓及一塊長方形，正好可以做成1個圓柱體，這個圓柱

體的底面半徑為10厘米，那么原來長方形鐵皮的面積是多少平方厘米？（「-'】」）

【答案】2056

【解析】做成的圓柱體的側(cè)面是由中間的長方形卷成的，可見這個長方形的長與旁邊的圓的周長相等，則

剪下的長方形的長，即圓柱體底面圓的周長為：?,（厘米），

原來的長方形的面積為：1''】「'-、,、6（平方厘米）.

【題文】把一個高是8厘米的圓柱體，沿水平方向鋸去2厘米后，剩下的圓柱體的表面積比原來的圓柱體

表面積減少I'''平方厘米.原來的圓柱體的體積是多少立方厘米？

【答案】25.12

【解析】沿水平方向鋸去2厘米后，剩下的圓柱體的表面積比原來的圓柱體表面積減少的部分為減掉的2

厘米圓柱體的側(cè)面積，所以原來圓柱體的底面周長為I'不-'-6厘米，底面半徑為6送-：II--厘

米，所以原來的圓柱體的體積是‘一：'-（立方厘米）.

【題文】一個圓柱體的體積是立方厘米，底面半徑是2厘米.將它的底面平均分成若干個扇形后，再

截開拼成一個和它等底等高的長方體，表面積增加了多少平方厘米？3-31）

【答案】16

【解析】從圖中可以看出，拼成的長方體的底面積與原來圓柱體的底面積相同，長方體的前后兩個側(cè)面面

積與原來圓柱體的側(cè)面面積相等，所以增加的表面積就是長方體左右兩個側(cè)面的面積.

（法1）這兩個側(cè)面都是長方形，且長等于原來圓柱體的高，寬等于圓柱體底面半徑.

可知，圓柱體的高為二't；，U：1'（厘米），所以增加的表面積為'?（平方厘米）；

（法2）根據(jù)長方體的體積公式推導(dǎo).增加的兩個面是長方體的側(cè)面，側(cè)面面積與長方體的長的乘積就是長方

體的體積.由于長方體的體積與圓柱體的體積相等，為立方厘米，而拼成的長方體的長等于圓柱體底

面周長的一半，為1*-厘米，所以側(cè)面長方形的面積為-8平方厘米，所以增加的表面

積為J、-16平方厘米.

【題文】一個擰緊瓶蓋的瓶子里面裝著一些水（如圖），由圖中的數(shù)據(jù)可推知瓶子的容積是多少立方厘米.

（X取3U）

【答案】100.48

【解析】由于瓶子倒立過來后其中水的體積不變，所以空氣部分的體積也不變，從圖中可以看出，瓶中的

水構(gòu)成高為,厘米的圓柱，空氣部分構(gòu)成高為1＞一厘米的圓柱，瓶子的容積為這兩部分之和，所以瓶

Xx(iyX(6>2)-3.14x32-10048

子的容積為:（立方厘米）.

【題文】一個酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），如圖.已知它的容積為h立方厘米.當(dāng)瓶子正

放時，瓶內(nèi)的酒精的液面高為6厘米；瓶子倒放時，空余部分的高為2厘米.問：瓶內(nèi)酒精的體積是多少

立方厘米？合多少升？

【答案】62.172立方厘米,合0.062172升

【解析】由題意，液體的體積是不變的，瓶內(nèi)空余部分的體積也是不變的，因此可知液體體積是空余部分

264x■—-62172

體積的倍.所以酒精的體積為3+1立方厘米，而62172立方厘米-62172毫升

=。062172升.

【題文】一個蓋著瓶蓋的瓶子里面裝著一些水，瓶底面積為?平方厘米，（如下圖所示），請你根據(jù)圖中標(biāo)

明的數(shù)據(jù)，計算瓶子的容積是多少立方厘米？

【答案】60

【解析】由已知條件知，第二個圖上部空白部分的高為'-,從而水與空著的部分的比為

由圖1知水的體積為I"I,所以總的容積為.「」"一切立方厘米.

【題文】一個盛有水的圓柱形容器，底面內(nèi)半徑為5厘米，深20厘米，水深15厘米.今將一個底面半徑

為2厘米，高為17厘米的鐵圓柱垂直放入容器中.求這時容器的水深是多少厘米？

【答案】17.72

【解析】若圓柱體能完全浸入水中，則水深與容器底面面積的乘積應(yīng)等于原有水的體積與圓柱體在水中體

.177，

積之和，因而水深為：■一（厘米）.

它比圓柱體的高度要大，可見圓柱體可以完全浸入水中.

于是所求的水深便是I''厘米.

【題文】有甲、乙兩只圓柱形玻璃杯，其內(nèi)直徑依次是10厘米、20厘米，杯中盛有適量的水.甲杯中沉沒

著一鐵塊，當(dāng)取出此鐵塊后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后將鐵塊沉沒于乙杯，且乙杯中的水未外溢

.問：這時乙杯中的水位上升了多少厘米？

【答案】0.5

【解析】兩個圓柱直徑的比是I,所以底面面積的比是II.鐵塊在兩個杯中排開的水的體積相同，所以

-2?1-0.5

乙杯中水升高的高度應(yīng)當(dāng)是甲杯中下降的高度的匕即?（厘米）.

【題文】如圖，甲、乙兩容器相同，甲容器中水的高度是錐高的"乙容器中水的高度是錐高的：，比較

甲、乙兩容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的幾倍？

19

【答案】§

【解析】設(shè)圓錐容器的底面半徑為、高為，則甲、乙容器中水面半徑均為；，則有，

1z?J2.8?1,.1,2J2.19

IQ,一x（工廠翼一—nrhJ,一燈?方—nOrx-h-—燈,力

*33381333381,

:

>>—JtrA10

匚,38

S1,即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的倍.

【題文】如圖，有一卷緊緊纏繞在一起的塑料薄膜，薄膜的直徑為20厘米，中間有一直徑為8厘米的卷軸

,已知薄膜的厚度為04厘米，則薄膜展開后的面積是多少平方米？

?>|-?*（VlT00-8400X

【解析】纏繞在一起時塑料薄膜的體積為：-',（立方厘米），薄膜展開后為

一個長方體，體積保持不變，而厚度為「小厘米，所以薄膜展開后的面積為

S400x-004-6閃。0平方厘米?6、I平方米.

另解：也可以先求出展開后薄膜的長度，再求其面積.

x*；——算x|一|■S4x

由于展開前后薄膜的側(cè)面的面積不變，展開前為（平方厘米），展開后為一個長方

形，寬為厘米，所以長為Xb-0U=6一厘米，所以展開后薄膜的面積為，…二I-，"平方厘米平

方米.

【題文】圖為一卷緊繞成的牛皮紙，紙卷直徑為20厘米，中間有一直徑為6厘米的卷軸.已知紙的厚度為

「?毫米，問：這卷紙展開后大約有多長？

【答案】71.4

【解析】將這卷紙展開后，它的側(cè)面可以近似的看成一個長方形，它的長度就等于面積除以寬.這里的寬

就是紙的厚度，而面積就是一個圓環(huán)的面積.

因此，紙的長度：

、卷側(cè)面枳314*10=314x3：14（100-9）

胸■==71435

紙的。度0040G4（厘米）

所以，這卷紙展開后大約：4米.

【題文】如圖，力是直角三角形，.」￡、的長分別是3和4.將白，“繞旋轉(zhuǎn)一周，求掃出的立體圖

形的體積.（?3II）

【答案】37.68

【解析】如右上圖所示，＞…掃出的立體圖形是一個圓錐，這個圓錐的底面半徑為3,高為4,

【題文】已知直角三角形的三條邊長分別為：。，，…，分別以這三邊軸，旋轉(zhuǎn)一周，所形成的立

體圖形中，體積最小的是多少立方厘米？（：取U）

【答案】30.144

【解析】以的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的是底面半徑是4,心，高是的圓錐體，體積為

Ixjl4x4:*3-5O24（cxn3）

以’小的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的是底面半徑是「高是.m的圓錐體，體積為

14?31*4-3708（0113）

以m的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的是底面半徑是斜邊上的高*--的兩個圓錐，高之和是m的兩

--314-24-?5-30144ICU1?

個圓的組合體，體積為；

【題文】如圖，直角三角形如果以6,邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的圓錐的體積為1所，以，「邊為軸旋

轉(zhuǎn)一周，那么所形成的圓錐的體積為「I,那么如果以’3為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的幾何體的體積是多

少？

【答案】9.6n

ab^n

【解析】設(shè)."一），X；,那么以不邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的圓錐的體積為一，以」「邊為軸旋

crbn

轉(zhuǎn)一周，那么所形成的圓錐的體積為一，由此可得到兩條等式：

卜b4

…"，兩條等式相除得到W3,將這條比例式再代入原來的方程中就能得到-I根據(jù)勾股定理，

直角三角形的斜邊”的長度為，那么斜邊上的高為'I.

如果以‘月為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的幾何體相當(dāng)于兩個底面相等的圓錐疊在一起，底面半徑為，高的和

4*xx5

-_-——

為5,所以體積是

【題文】如圖，是矩形，5C-6an,4S-10an,對角線HC、8D相交0.E、尸分別是與3c

的中點，圖中的陰影部分以：:為軸旋轉(zhuǎn)一周，則白色部分掃出的立體圖形的體積是多少立方厘米？（；取

3）

BFCBC

【答案】180

【解析】掃出的圖形如右上圖所示，白色部分實際上是一個圓柱減去兩個圓錐后所形成的圖形.

2?-?n<3:■5-30x-90

兩個圓錐的體積之和為：（立方厘米）；

圓柱的體積為」,?I。、F（立方厘米）,

所以白色部分掃出的體積為-T（立方厘米）.

【題文】如圖，.?8是矩形，45-10cm,對角線d。、BD相交O.圖中的陰影部分以CD

為軸旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分掃出的立體的體積是多少立方厘米？

D

8

【答案】540

【解析】

設(shè)三角形m「。以為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的立體圖形的體積是，則一等于高為io厘米，底面半徑是6厘

米的圓錐，減去2個高為5厘米，底面半徑是3厘米的圓錐的體積后得到.

r-—?x,6,>10-24-（Jt,3,,5-90x

所以，33（立方厘米），

那么陰影部分掃出的立體的體積是"-1（立方厘米）.

【題文】如圖，在一個正方體的兩對側(cè)面的中心各打通一個長方體的洞，在上下底面的中心打通一個圓柱

形的洞.已知正方體邊長為10厘米，側(cè)面上的洞口是邊長為4厘米的正方形，上下底面的洞口是直徑為4

厘米的圓，求此立體圖形的表面積和體積.

【答案】24n；668.64

【解析】⑴先求表面積.表面積可分為外側(cè)表面積和內(nèi)側(cè)表面積.

外側(cè)為6個邊長10厘米的正方形挖去4個邊長4厘米的正方形及2個直徑4厘米的圓，所以，外側(cè)表面積

為：'-536?8x（平方厘米）；

內(nèi)側(cè)表面積則為右上圖所示的立體圖形的表面積，需要注意的是這個圖形的上下兩個圓形底面和前后左右4

個正方形面I【答案】592；632；648；672

【解析】按圖1所示沿一條棱挖，為592平方厘米；

按圖2所示在某一面上挖，為632平方厘米；

按圖3所示在某面上斜著挖，為648平方厘米；

按圖4所示挖通兩個對面，為672平方厘米.

【題文】一個酒瓶里面深「m,底面內(nèi)直徑是?；瓶里酒深I(lǐng)F.把酒瓶塞緊后使其瓶口向下倒立

這時酒深",.酒瓶的容積是多少？。取3）

T

1-5

I

【答案】1500

【解析】觀察前后，酒瓶中酒的總量沒變，即瓶中液體體積不變.

當(dāng)酒瓶倒過來時酒深>n,因為酒瓶深,“巾，這樣所剩空間為高.的圓柱，再加上原來Im高的酒即

為酒瓶的容積.酒的體積：：：

瓶中剩余空間的體積（--）外x亍—?三—-12一5-酒瓶容積：；E725“500x-1500（M

【題文】如右圖所示，由三個正方體木塊粘合而成的模型，它們的棱長分別為1米、2米、4米，要在表面

涂刷油漆，如果大正方體的下面不涂油漆，則模型涂刷油漆的面積是多少平方米？

【答案】100

【解析】該圖形從前、后、左、右四面觀察到的面積都是1一,-1平方米，從上面觀察到的面積是

?平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面積是I-」一1I平方米.

【題文】一個圓柱體形狀的木棒，沿著底面直徑豎直切成兩部分.已知這兩部分的表面積之和比圓柱體的

表面積大則這個圓柱體木棒的側(cè)面積是多少加二（；［取71）

【答案】3152.56

【解析】根據(jù)題意可知，切開后表面積增加的就是兩個長方形縱切面.

設(shè)圓柱體底面半徑為，高為，，那么切成的兩部分比原來的圓柱題表面積大:

",所以一「「「，所以，圓柱體側(cè)面積為：

Xixrx/r-2*314x502-315256(on:)

【題文】如圖，厚度為「毫米的銅版紙被卷成一個空心圓柱（紙卷得很緊，沒有空隙），它的外直徑是180

厘米，內(nèi)直徑是50厘米.這卷銅版紙的總長是多少米？

【答案】9388.6

,J180V/50V

【解析】卷在一起時銅版紙的橫截面的面積為‘

（平方厘米），如果將其展開,

展開后橫截面的面積不變，形狀為一個長方形，寬為1毫米（即「；厘米），所以長為

〃廠一廠、，厘米米所以這卷銅版紙的總長是：米.

本題也可設(shè)空心圓柱的高為,，根據(jù)展開前后銅版紙的總體積不變進行求解，其中在計算過程將會消掉.

【題文】如右圖，一個正方體形狀的木塊，棱長I米，沿水平方向?qū)⑺彸?片，每片又鋸成4長條，每

條又鋸成5小塊，共得到大大小小的長方體60塊.那么，這60塊長方體表面積的和是多少平方米？

【答案】24

【解析】我們知道每切一刀，多出的表面積恰好是原正方體的2個面的面積.現(xiàn)在一共切了

（31）?（41）（51）-9刀，而原正方體一個面的面積1T1（平方米），所以表面積增加了92118（平方米）.原

來正方體的表面積為616（平方米），所以現(xiàn)在的這些小長方體的表積之和為618=24（平方米）.

【題文】一個透明的封閉盛水容器，由一個圓柱體和一個圓錐體組成，圓柱體的底面直徑和高都是12厘米

.其內(nèi)有一些水，正放時水面離容器頂U厘米，倒放時水面離頂部5厘米，那么這個容器的容積是多少立

方厘米？（：-"）

【答案】1620

【解析】設(shè)圓錐的高為厘米.由于兩次放置瓶中空氣部分的體積不變，有：

;:

5-n--（11-A）?x-6?n-6-A八

,解得-9,

r-x>6;?9-540x-1620

所以容器的容積為：3（立方厘米）.

【題文】如圖，有一個邊長為20厘米的大正方體，分別在它的角上、棱上、面上各挖掉一個大小相同的小

立方體后，表面積變?yōu)?454平方厘米，那么挖掉的小立方體的邊長是多少厘米？

【答案】3

【解析】大立方體的表面積是20-2062400平方厘米.在角上挖掉一個小正方體后，外面少了3個面，但

里面又多出3個面；在棱上挖掉一個小正方體后，外面少了2個面，但里面多出4個面；在面上挖掉一個

小正方體后，外面少了1個面，但里面多出5個面.所以，最后的情況是挖掉了三個小正方體，反而多出

了6個面，可以計算出每個面的面積：（24542400）-69平方厘米，說明小正方體的棱長是3厘米.

【題文】一個圓柱體底面周長和高相等.如果高縮短4厘米，表面積就減少?平方厘米.求這個圓柱體

的表面積是多少？

【答案】182.8736

【解析】圓柱體底面周長和高相等，說明圓柱體側(cè)面展開是一個正方形.高縮短4厘米，表面積就減少；0

平方厘米.陰影部分的面積為圓柱體表面積減少部分，值是