2.2充分條件、必要條件、充要條件TOC\o"1-4"\h\z\u2.2充分條件、必要條件、充要條件 1知識框架 1一、基礎知識點 1知識點1充分條件與必要條件 2知識點2充要條件 3二、典型題型 3題型1充分不必要條件的判定及性質 4題型2必要不充分條件的判定及性質 6題型3充要條件的判定及性質 7三、難點題型 7題型1根據充分不必要條件求參數 8題型2根據必要不充分條件求參數 9題型3根據充要條件求參數 10四、活學活用培優訓練 19一．基礎知識點知識點1充分條件與必要條件命題真假“若p，則q”是真命題“若p，則q”是假命題推出關系p?qpq條件關系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件“p?q”含義的理解：一方面，一旦p成立，q一定也成立．即p對q的成立是充分的；另一方面，如果q不成立，那么p一定不成立；即q對p的成立是必要的．例1“0<x<2”成立是“”成立的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要例2（多選題）已知集合，集合，能使成立的充分不必要條件有（

）A． B． C． D．例3指出下列各組命題中，p是q的什么條件？q是p的什么條件？(1)p：，q：；(2)p：或；q：；(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除．知識點2充要條件：(1)如果p?q，且q?p，那么稱p是q的充分且必要條件，簡稱p是q的充要條件．為了方便起見，p是q的充要條件，就記作p?q，稱為“p與q等價”或“p等價于q”．“?”和“?”都具有傳遞性，即①如果p?q，q?s，則p?s；②如果p?q,q?s，則p?s；(2)若p?q，但qp，則稱p是q的充分不必要條件．(3)若q?p，但pq，則稱p是q的必要不充分條件．(4)若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件．例1“”的充要條件是（

）A．有 B．或C．且 D．或例2（多選題）設全集為，在下列選項中，是的充要條件的有（

）A． B．C． D．例3指出下列命題中，是的什么條件？（1）：或；：；（2）：與都是奇數；：是偶數；（3）：；：方程有兩個同號且不相等的實根.二．典型題型題型1充分不必要條件的判定及性質解題技巧：(1)確定誰是條件，誰是結論．(2)嘗試從條件推結論，若條件能推出結論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件．(3)嘗試從結論推條件，若結論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件．例1已知a∈R，則“a＞3”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件例2（多選題）下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的充分條件的有（

）A．若x＜1，則x＜2 B．若兩個三角形的三邊對應成比例，則這兩個三角形相似C．若|x|≠1，則x≠1 D．若ab＞0，則a＞0，b＞0例3下列所給的各組p，q中，p是q的充分條件的有哪些？（1）p：，q：；（2）p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是正方形；（3）p：同位角相等，q：兩條直線平行；（4）p：四邊形是平行四邊形，q：四邊形的對角線互相平分.題型2必要不充分條件的判定及性質解題技巧：(1)確定誰是條件，誰是結論．(2)嘗試從條件推結論，若條件能推出結論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件．(3)嘗試從結論推條件，若結論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件．例1荀子曰：“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”這句來自先秦時期的名言闡述了做事情不一點一點積累，就永遠無法達成目標的哲理．由此可得，“積跬步”是“至千里”的（

）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例2（多選題）p是q的必要條件的是（

）A． B．C．p：四邊形的兩條對角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形 D．，q：關于x的方程有唯一解例3集合．(1)若，求；(2)若是的必要條件，求實數m的取值范圍．題型3充要條件的判定及性質解題技巧：(1)確定誰是條件，誰是結論．(2)嘗試從條件推結論，若條件能推出結論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件．(3)嘗試從結論推條件，若結論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件．例1“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例2（多選題）對任意實數a，b，c，下列命題中真命題是（

）A．“”是“”的充要條件B．“是無理數”是“a是無理數”的充要條件C．“”是“”的充分條件D．“”是“”的必要條件例3求關于x的方程有一個正根和一個負根的充要條件．三．難點題型題型1根據充分不必要條件求參數解題技巧：(1)應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數的值或取值范圍問題．(2)求解步驟：先把p，q等價轉化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建立關于參數的不等式(組)進行求解．例1已知條件：，：，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2（多選題）已知集合，，則是的真子集的充分不必要條件可以是（

）A． B．m∈C．m∈ D．例3已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．題型2根據必要不充分條件求參數解題技巧：(1)應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數的值或取值范圍問題．(2)求解步驟：先把p，q等價轉化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建立關于參數的不等式(組)進行求解．例1“”是“”的必要不充分條件，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．例2（多選題）若“或”是“”的必要不充分條件，則實數k的值可以是（

）A． B． C．1 D．4例3已知集合，，全集．(1)當時，求；(2)若“”是“”的必要條件，求實數的取值范圍．題型3根據充要條件求參數解題技巧：(1)應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數的值或取值范圍問題．(2)求解步驟：先把p，q等價轉化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建立關于參數的不等式(組)進行求解．例1設，，若“”是“”的充要條件，則的值為（

）A． B． C． D．例2（多選題）設是的必要條件，是的充分條件，是的充分必要條件，是的充分條件，則下列說法正確的有（

）A．是的必要條件 B．是的充分條件C．是的充分必要條件 D．是的既不充分也不必要條件例3設全集為R，，．(1)若a=5，求，；(2)若，且“”是“”的______，求實數a的取值范圍．請在①充分不必要條件，②必要不充分條件，③充要條件這三個條件中選一個填在橫線上，并解答問題．四．活學活用培優訓練一、單選題1．設：實數，滿足且；：實數，滿足；則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．設為任一實數，表示不小于的最小整數，例如，，，那么“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件3．若、是全集的真子集，則下列五個命題：①；

②；③；④；⑤是的必要不充分條件.其中與命題等價的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個4．已知是的必要不充分條件，是的充分且必要條件，那么是成立的（

）A．必要不充分條件 B．充要條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知，，若P是Q的必要條件，則實數m的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題7．在整數集中，被6除所得余數為的所有整數組成一個“類”，記為，即，，1，2，3，4，5，則下列結論中正確的有（

）A．存在一個數，使得B．對于任意一個數，都能使成立C．“”是“整數，屬于同一‘類’”的充要條件D．“整數，滿足，”的必要條件是“”8．已知是實數集，集合，，則下列說法正確的是（

）A．是的充分不必要條件 B．是的必要不充分條件C．是的充分不必要條件 D．是的必要不充分條件三、填空題9．對于任意實數a，b，c，有以下命題：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要條件；②“a+5是無理數”是“a是無理數”的充要條件；③“（x﹣a）（x﹣b）＝0”是“x＝a”的充分條件；④“a＜5”是“a＜3”的必要條件.其中正確命題的序號是__.10．設，一元二次方程有實數根的充要條件是__．11．已知，且“”是“”的充分不必要條件，則a的取值范圍是___________.四、解答題12．設為的三邊，求證：方程與有公共根的充要條件是13．設p：x＞a，q：x＞3.(1)若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍；(2)若p是q的充分不必要條件，求a的取值范圍.14．設集合，集合．(1)若，求，；(2)設命題，命題，若是成立的必要不充分條件，求實數的取值范圍．2.2充分條件、必要條件、充要條件TOC\o"1-4"\h\z\u2.2充分條件、必要條件、充要條件 1知識框架 1一、基礎知識點 1知識點1充分條件與必要條件 2知識點2充要條件 3二、典型題型 3題型1充分不必要條件的判定及性質 4題型2必要不充分條件的判定及性質 6題型3充要條件的判定及性質 7三、難點題型 7題型1根據充分不必要條件求參數 8題型2根據必要不充分條件求參數 9題型3根據充要條件求參數 10四、活學活用培優訓練 19一．基礎知識點知識點1充分條件與必要條件命題真假“若p，則q”是真命題“若p，則q”是假命題推出關系p?qpq條件關系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件“p?q”含義的理解：一方面，一旦p成立，q一定也成立．即p對q的成立是充分的；另一方面，如果q不成立，那么p一定不成立；即q對p的成立是必要的．例1“0<x<2”成立是“”成立的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】利用充分不必要條件的定義判斷得解.【詳解】解：“0<x<2”成立時，“”一定成立，所以“0<x<2”成立是“”成立的充分條件；“”成立時，“0<x<2”不一定成立，所以“0<x<2”成立是“”成立的非必要條件.所以“0<x<2”成立是“”成立的充分不必要條件.故選：A例2（多選題）已知集合，集合，能使成立的充分不必要條件有（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據集合間的關系可得的取值范圍，再根據命題的充分必要性判斷各選項正誤.【詳解】由得，即，故能使成立的充分不必要條件有CD.故選：CD.例3指出下列各組命題中，p是q的什么條件？q是p的什么條件？(1)p：，q：；(2)p：或；q：；(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除．【答案】(1)p是q的充分非必要條件，q是p的必要非充分條件(2)p是q的必要非充分條件，q是p的充分非必要條件(3)p是q的充分非必要條件，q是p的必要非充分條件【分析】（1）根據集合的交、并運算以及利用充分條件、必要條件的定義即可得出結果.（2）由利用充分條件、必要條件的定義即可得出結果.（3）由利用充分條件、必要條件的定義即可得出結果.(1)若，可以推出，反之不一定成立，即，.所以p是q的充分非必要條件，q是p的必要非充分條件

，(2)或，推不出，反之成立，即，，所以p是q的必要非充分條件，q是p的充分非必要條件(3)a能被6整除，推出a能被3整除，反之不一定成立，即，.所以p是q的充分非必要條件，q是p的必要非充分條件.知識點2充要條件：(1)如果p?q，且q?p，那么稱p是q的充分且必要條件，簡稱p是q的充要條件．為了方便起見，p是q的充要條件，就記作p?q，稱為“p與q等價”或“p等價于q”．“?”和“?”都具有傳遞性，即①如果p?q，q?s，則p?s；②如果p?q,q?s，則p?s；(2)若p?q，但qp，則稱p是q的充分不必要條件．(3)若q?p，但pq，則稱p是q的必要不充分條件．(4)若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件．例1“”的充要條件是（

）A．有 B．或C．且 D．或【答案】D【分析】充要條件即為等價命題.【詳解】因為則或故選：D.例2（多選題）設全集為，在下列選項中，是的充要條件的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】結合圖即可得出結論.【詳解】由圖可知，B，C，D都是的充要條件，故選：BCD．例3指出下列命題中，是的什么條件？（1）：或；：；（2）：與都是奇數；：是偶數；（3）：；：方程有兩個同號且不相等的實根.【答案】（1）必要不充分條件；（2）充分不必要條件；（3）充要條件.【分析】（1）先對化簡，然后由充分條件和必要條件的定義判斷即可，（2）直接利用充分條件和必要條件的定義判斷即可，（3）由方程有兩個同號且不相等的實根求出的范圍，然后由充分條件和必要條件的定義判斷即可【詳解】（1）∵，∴或不能推出，而能推出或，∴是的必要不充分條件；（2）∵.都是奇數能推出為偶數，而為偶數不能推出.都是奇數，∴是的充分不必要條件；（3）∵有兩個同號不等實根，∴，∴，∴，∴是的充要條件.二．典型題型題型1充分不必要條件的判定及性質解題技巧：(1)確定誰是條件，誰是結論．(2)嘗試從條件推結論，若條件能推出結論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件．(3)嘗試從結論推條件，若結論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件．例1已知a∈R，則“a＞3”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】解出不等式的解集，可解決此題.【詳解】解：解不等式得：a＜0或a＞3，所以a＞3是的充分不必要條件.故選：A.例2（多選題）下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的充分條件的有（

）A．若x＜1，則x＜2 B．若兩個三角形的三邊對應成比例，則這兩個三角形相似C．若|x|≠1，則x≠1 D．若ab＞0，則a＞0，b＞0【答案】ABC【分析】根據充分條件的定義逐一判斷即可.【詳解】由x＜1，可以推出x＜2，所以選項A符合題意；由兩個三角形的三邊對應成比例，可以推出這兩個三角形相似，所以選項B符合題意；由|x|≠1，可以推出x≠1，所以選項C符合題意；由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如，所以本選項不符合題意，故選：ABC例3下列所給的各組p，q中，p是q的充分條件的有哪些？（1）p：，q：；（2）p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是正方形；（3）p：同位角相等，q：兩條直線平行；（4）p：四邊形是平行四邊形，q：四邊形的對角線互相平分.【答案】（1）p是q的充分條件；（2）p不是q的充分條件；（3）p是q的充分條件；（4）p是q的充分條件.【分析】（1）（3）（4）直接利用充分條件的定義判斷；（2）可以通過舉反例判斷.【詳解】解（1）因為，所以p是q的充分條件.（2）對角線相等的四邊形可以是等腰梯形，所以，p不是q的充分條件.（3）因為，所以p是q的充分條件（4）因為，所以p是q的充分條件.題型2必要不充分條件的判定及性質解題技巧：(1)確定誰是條件，誰是結論．(2)嘗試從條件推結論，若條件能推出結論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件．(3)嘗試從結論推條件，若結論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件．例1荀子曰：“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”這句來自先秦時期的名言闡述了做事情不一點一點積累，就永遠無法達成目標的哲理．由此可得，“積跬步”是“至千里”的（

）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據描述知：要達成目標必須一點一點積累，結合必要條件的定義判斷關系.【詳解】根據“做事情不一點一點積累，就永遠無法達成目標”，即要達成目標必須一點一點積累，所以“積跬步”是“至千里”的必要條件.故選：B例2（多選題）p是q的必要條件的是（

）A． B．C．p：四邊形的兩條對角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形 D．，q：關于x的方程有唯一解【答案】CD【分析】A選項解出不等式即可得到關系；B選項舉出反例即可判定；CD說法滿足題意.【詳解】對于A，，，∴p推不出q，q推不出p，p是q既不充分也不必要條件；對于B，；當時，滿足但q推不出p，故p是q的充分不必要條件；對于C，若“兩條對角線互相垂直平分”成立推不出“四邊形是正方形”；反之，若“四邊形是正方形”成立“兩條對角線互相垂直平分”成立，故p是q的必要條件；對于D，關于x的方程有唯一解，故p是q的充分必要條件.故選：CD.例3集合．(1)若，求；(2)若是的必要條件，求實數m的取值范圍．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）將的值代入集合，然后根據交集與并集的定義即可求解；（2）由題意，可得，根據集合的包含關系列不等式組求解即可得答案.(1)解：當時，，又，所以，；(2)解：因為是的必要條件，所以，即，所以有，解得，所以實數m的取值范圍為.題型3充要條件的判定及性質解題技巧：(1)確定誰是條件，誰是結論．(2)嘗試從條件推結論，若條件能推出結論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件．(3)嘗試從結論推條件，若結論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件．例1“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】對求解，結合充分條件、必要條件的定義即可得出答案【詳解】由題，將代入，等式成立，所以“”是“”的充分條件；求解，得到，故“”是“”的不必要條件；故選：A例2（多選題）對任意實數a，b，c，下列命題中真命題是（

）A．“”是“”的充要條件B．“是無理數”是“a是無理數”的充要條件C．“”是“”的充分條件D．“”是“”的必要條件【答案】BD【分析】利用充分條件和必要條件的定義進行判斷【詳解】解：“”“”為真命題，但當時，“”“”為假命題，故“”是“”的充分不必要條件，故A為假命題；“是無理數”“a是無理數”為真命題，“a是無理數”“是無理數”也為真命題，故“是無理數”是“a是無理數”的充要條件，故B為真命題；“”“”為假命題，“”“”也為假命題，故“”是“”的即充分也不必要條件，故C為假命題；，故“”是“”的必要條件，故D為真命題.故選：BD.【點睛】此題考查充分條件和必要條件的判斷，考查推理能力例3求關于x的方程有一個正根和一個負根的充要條件．【答案】或【分析】充要條件問題解決，第一步需要充分性，第二步必要性.二次函數有一個正根和一個負根，先判斷二次函數與y軸交點，再判斷開口是最便捷的思路.【詳解】當開口向上，，所以,當開口向下，，所以滿足充要條件故答案為：或.三．難點題型題型1根據充分不必要條件求參數解題技巧：(1)應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數的值或取值范圍問題．(2)求解步驟：先把p，q等價轉化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建立關于參數的不等式(組)進行求解．例1已知條件：，：，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據充要條件與集合的包含關系可得.【詳解】因為是的充分不必要條件，所以，即.故選：D.例2（多選題）已知集合，，則是的真子集的充分不必要條件可以是（

）A． B．m∈C．m∈ D．【答案】AD【分析】根據集合是集合的真子集，求出的所有可能的值，再根據充分不必要條件的概念即可得到結果.【詳解】因為集合若集合是集合的真子集，當時，即集合，顯然成立；當時，則或，所以或所以若集合是集合的真子集，則；所以是的真子集的充分不必要條件可以是或.故選：AD.例3已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．【答案】【分析】由題設A是的真子集，結合已知集合的描述列不等式求a的范圍.【詳解】由“”是“”的充分不必要條件，即A是的真子集，又，，所以，可得，則實數a的取值范圍為．題型2根據必要不充分條件求參數解題技巧：(1)應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數的值或取值范圍問題．(2)求解步驟：先把p，q等價轉化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建立關于參數的不等式(組)進行求解．例1“”是“”的必要不充分條件，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將條件轉化為集合關系即可求解.【詳解】由題意得，是的真子集，故.故選：B例2（多選題）若“或”是“”的必要不充分條件，則實數k的值可以是（

）A． B． C．1 D．4【答案】ACD【分析】由題得或，化簡即得解.【詳解】若“或”是“”的必要不充分條件，所以或，所以或.故選：ACD例3已知集合，，全集．(1)當時，求；(2)若“”是“”的必要條件，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據補集與交集的運算性質運算即可得出答案.（2）若“”是“”的必要條件等價于.討論是否為空集，即可求出實數的取值范圍.(1)當時，集合，或，．(2)若“”是“”的必要條件，則，①當時，；②，則且，.綜上所述，或．題型3根據充要條件求參數解題技巧：(1)應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數的值或取值范圍問題．(2)求解步驟：先把p，q等價轉化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建立關于參數的不等式(組)進行求解．例1設，，若“”是“”的充要條件，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式可得、的值，即可得解.【詳解】解不等式可得，由題意可知，，因此，.故選：C.例2（多選題）設是的必要條件，是的充分條件，是的充分必要條件，是的充分條件，則下列說法正確的有（

）A．是的必要條件 B．是的充分條件C．是的充分必要條件 D．是的既不充分也不必要條件【答案】BC【分析】根據條件得到可判斷每一個選項.【詳解】由題意，，則.故選：BC.例3設全集為R，，．(1)若a=5，求，；(2)若，且“”是“”的______，求實數a的取值范圍．請在①充分不必要條件，②必要不充分條件，③充要條件這三個條件中選一個填在橫線上，并解答問題．【答案】(1)，或；(2)答案見解析.【分析】（1）確定集合A,B，根據集合的運算即可求得答案；（2）選①，則，列出不等式組求得實數a的取值范圍．選②，則，列出不等式組求得實數a的取值范圍．選③，則，結合題意判斷，確定實數a的取值范圍．（1）當a=5時，，因為需滿足，解得，所以，所以，或．（2）若選擇①充分不必要條件，則，因為，故，不等式無解，故，若選擇②必要不充分條件，則，所以，解得，所以實數a的取值范圍為．若選擇③充要條件，則A＝B，由題意，故．四．活學活用培優訓練一、單選題1．設：實數，滿足且；：實數，滿足；則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先考查是否成立，再考查是否成立,即可得結論.【詳解】解：因為且，所以，即成立；反之若，滿足，如，但不滿足且，即不成立，所以是的充分不必要條件.故選：A.2．設為任一實數，表示不小于的最小整數，例如，，，那么“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【分析】根據必要不充分條件的定義判斷可得答案.【詳解】當，時，滿足，但，，即；當時必有，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：C．3．若、是全集的真子集，則下列五個命題：①；

②；③；④；⑤是的必要不充分條件.其中與命題等價的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】就5個命題逐個分析后可得正確的選項.【詳解】對于①，即為，故符合；對于②，即為，故不符合；對于③，結合圖可得即為，故符合；對于④，即為，故可得，但得不到，故不符合；對于⑤，因為是的必要不充分條件，故是的真子集，這與不等價，故五個命題中，與等價的有2個，故選:B.4．已知是的必要不充分條件，是的充分且必要條件，那么是成立的（

）A．必要不充分條件 B．充要條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據充分，必要條件的關系，即可判斷選項.【詳解】由條件可知，，所以，，所以是的充分不必要條件.故選：C5．設，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由充分條件和必要條件的定義分析判斷即可【詳解】當時，，則成立，而當時，或，所以“”是“”的充分而不必要條件，故選：A6．已知，，若P是Q的必要條件，則實數m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題可得，列出不等式組，解之即可得解.【詳解】因為P是Q的必要條件，∴，又，，∴，解得.故選：B.二、多選題7．在整數集中，被6除所得余數為的所有整數組成一個“類”，記為，即，，1，2，3，4，5，則下列結論中正確的有（

）A．存在一個數，使得B．對于任意一個數，都能使成立C．“”是“整數，屬于同一‘類’”的充要條件D．“整數，滿足，”的必要條件是“”【答案】CD【分析】對A，假設存在一個數，使得，從而推出矛盾即可；對B，舉反例判斷即可；對C，設整數，屬于同一“類”，再分別分析充分與必要性判斷即可；對D，設，，，判斷即可.【詳解】對于A，假設存在一個數，使得，則，，，顯然不成立，故A錯誤；對于B，當時，，故B錯誤；對于C，若整數，屬于同一“類”，則整數，被6除所得余數相同，從而被6除所得余數為0，即，若，則被6除所得余數為0，則整數，被6除所得余數相同，故“整數，屬于同一‘類’”的充要條件是“”，故C正確；對于D，若整數，滿足，，則，，，，所以，，所以，故D正確．故選：CD．8．已知是實數集，集合，，則下列說法正確的是（

）A．是的充分不必要條件 B．是的必要不充分條件C．是的充分不必要條件 D．是的必要不充分條件【答案】AD【分析】根據題意得到，且，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，集合，，可得，且，所以是的充分不必要條件，且是的必要不充分條件成立.故選：AD.三、填空題9．對于任意實數a，b，c，有以下命題：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要條件；②“a+5是無理數”是“a是無理數”的充要條件；③“（x﹣a）（x﹣b）＝0”是“x＝a”的充分條件；④“a＜5”是“a＜3”的必要條件.其中正確命題的序號是__.【答案】②④【分析】本題考查的知識點是必要條件、充分條